二次函數(shù)復(fù)習(xí)自己整理

1、二次函數(shù)復(fù)習(xí)提綱一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)，叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函數(shù)的圖象如圖，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D(zhuǎn)第一、三、四象限二、二次函數(shù)的解析式（1）二次函數(shù)有四種表達(dá)形式二次一項(xiàng)式型：形如y=ax2（

2、a是常數(shù)，且a0），x取任意實(shí)數(shù)。二次二項(xiàng)式型：形如y=ax2+bx（a是常數(shù)，且a0，b是常數(shù)，b0），x取任意實(shí)數(shù)。二次二項(xiàng)式型：形如y=ax2+c（a是常數(shù)，且a0，c是常數(shù)，c0），x取任意實(shí)數(shù)。二次三項(xiàng)式型：形如y=ax2+bx +c（a是常數(shù)，且a0，b是常數(shù)，b0，c是常數(shù)，c0），x取任意實(shí)數(shù)。（2）不論是哪一種表示形式，都必須規(guī)定a0，否則，就沒有了二次項(xiàng)，二次函數(shù)就沒有意義了。（3）二次函數(shù)解析式的三種形式：（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（3）交點(diǎn)式：（a0）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式（a0）。如果

3、沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。例:（2012泰安）將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ）ABCD三、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。四、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限

4、延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：0時(shí)，拋物線開口向上，0時(shí)，拋物線開口向下與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，）例2（2012煙臺(tái)）已知二次函數(shù)y=2（x3）2+1下列說法：其圖象的開口向下；其圖象的對(duì)稱軸為直線x=3；其圖象頂點(diǎn)

5、坐標(biāo)為（3，1）；當(dāng)x3時(shí)，y隨x的增大而減小則其中說法正確的有（ ） A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)例3（2012德陽）設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c，當(dāng)x1時(shí)，總有y0，當(dāng)1x3時(shí)，總有y0，那么c的取值范圍是（） A c=3 B c3 C1c3 D c3五、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方

6、，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

7、根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：例1（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（ ） A2B3C4D5例2：（2012泰安）二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則 的最大值為（ ） A B3 C D9六、確定二次函數(shù)關(guān)系式的基本題型1二次函數(shù)關(guān)系式設(shè)為：y=ax2（a0）例1、 有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，AB寬為20米，水位上升3米就

8、達(dá)到警戒水位線CD，這時(shí)水面的寬度為10米。請(qǐng)你在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，求出二次函數(shù)的解析式。2二次函數(shù)關(guān)系式設(shè)為：y=ax2+bx（a0）例2、（2008年巴中市）王強(qiáng)在一次高爾夫球的練習(xí)中，在某處擊球，其飛行路線滿足拋物線，其中（m）是球的飛行高度，（m）是球飛出的水平距離，結(jié)果球離球洞的水平距離還有2m，如圖2所示。（1）請(qǐng)寫出拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸（2）請(qǐng)求出球飛行的最大水平距離（3）若王強(qiáng)再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進(jìn)洞，則球飛行路線應(yīng)滿足怎樣的拋物線，求出其解析式3二次函數(shù)關(guān)系式設(shè)為：y=ax2+c（a0）例3、桂林紅橋位于桃花江上，是桂

9、林兩江四湖的一道亮麗的風(fēng)景線，該橋的部分橫截面如圖3所示，上方可看作是一個(gè)經(jīng)過、三點(diǎn)的拋物線，以橋面的水平線為軸，經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)與軸垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，已知此橋垂直于橋面的相鄰兩柱之間距離為米（圖中用線段、等表示橋柱）米，米（1）求經(jīng)過、三點(diǎn)的拋物線的解析式。（2）求柱子的高度。4二次函數(shù)關(guān)系式設(shè)為：y=a(x-h)2（a0）例4、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（1，0），且過點(diǎn)B（3，4）求該二次函數(shù)的解析式。5.二次函數(shù)關(guān)系式設(shè)為：y=a(x-h)2+k(a0）例5、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（1，-4），且過點(diǎn)B（3，0）求該二次函數(shù)的解析式。七 二

10、次函數(shù)壓軸題常考公式1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為2，二次函數(shù)圖象的平移圖象平移示意圖一般地，平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)y=a（x- h）2+k的圖象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移圖象的平移方法1、用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化成y=a（x- h）2+k的形式 即y=ax2bxc 圖1y=ax2x y O y= a（x）2y= a（x）2+=

11、 a（x2x）= a x22x（）2（）2= a（x）22、圖象的平移的方向和大小根據(jù)的正（負(fù)）將其圖象向左（右）平移|個(gè)單位；再根據(jù)的正（負(fù)）將其圖象向上（下）平移|個(gè)單位，即可得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，如圖1所示平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”特別記憶-同左上加 異右下減 (必須理解記憶)說明： 函數(shù)中ab值同號(hào)，圖像頂點(diǎn)在y軸左側(cè)同左，a b值異號(hào)，圖像頂點(diǎn)必在Y軸右側(cè)異右。向左向上移動(dòng)為加左上加，向右向下移動(dòng)為減右下減。3.直線斜率： ， b為直線在y軸上的截距。4、直線方程：兩點(diǎn) 由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩式: 此公式有

12、多種變形 牢記點(diǎn)斜 斜截 直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式: ykxb(k0)截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式：5、設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若6， 點(diǎn)P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 7，拋物線中， a b c,的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). 口訣 - 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸； ,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .例1（2012樂山）二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（1，0）設(shè)t=a+b+1，則t值的變化范圍是（）A0t1B0t2C1t2D1t1例2：（2012潛江）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（1，0），（3，0）對(duì)于下列命題：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正確的有（）A3個(gè)B2個(gè)C1個(gè)D0個(gè)例3：（2012菏澤）如圖，在平面直角坐