高等數(shù)學(xué)五2010新版

1、2 左、右極限在函數(shù)極限的概念中，自變量 的變化趨向， x 可以從 x0的左、右兩側(cè)趨向于 x0但有時(shí)只需考慮 x 僅從x0的左側(cè)趨向于x0（記成），或x僅從x0的右側(cè)趨向于x0（記成）若當(dāng)時(shí)， f （ x ）無限趨近于常數(shù) A ，則稱 f （ x ）當(dāng)時(shí)的左極限為 A ，記成 或 。類似地，有 f （ x ）當(dāng)時(shí)的右極限，記成或，以及 與。函數(shù) f （ x ）當(dāng)（或）時(shí)的極限存在的充分必要條件，是函數(shù)的左、右極限均存在且相等，即3 極限運(yùn)算法則 （ l ） （極限的四則運(yùn)算法則）注意：上述記號(hào)“ lim ”下的自變量變化過程可以是、，但等號(hào)兩端出現(xiàn)的必需是同一種。（ 3 ） （復(fù)合函數(shù)的極限

2、運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù) y = fg （ x ）是由函數(shù) y = f （ u）與函數(shù)u = g （ x）復(fù)合而成， f g （ x） 在點(diǎn) x0 的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，且存在當(dāng)時(shí)，有 ，則（二）極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限1 夾逼準(zhǔn)則和極限準(zhǔn)則I（數(shù)列情形）若數(shù)列且xn、yn、及zn滿足條件： （n= 1 , 2 , 3 ，）且則數(shù)列xn的極限存在且 準(zhǔn)則I（函數(shù)情形）若函數(shù) f （ x ）、 g （ x ）及 h （ x ）滿足條件：利用準(zhǔn)則I，可得一個(gè)重要極限2 單調(diào)有界準(zhǔn)則和極限準(zhǔn)則II 單調(diào)有界的數(shù)列（或函數(shù)）必有極限。利用準(zhǔn)則II，可得另一個(gè)重要極限其中 e 是一個(gè)無理數(shù)， e =2 .

3、 71828 （三）無窮小的比較設(shè) a 及都是在同一個(gè)自變量變化過程中的無窮小,且0， lim 也是在這個(gè)變化過程中的極限。若 lim =0，就稱是比a高階的無窮小，記作=（a）；并稱a是比低階的無窮小；若 lim =C 0，就稱是與 a 同階的無窮小；若 lim =1, 就稱是與 a 等階的無窮小，記作a 。關(guān)于等價(jià)無窮小，有以下性質(zhì)：若,且 lim 存在，則當(dāng) x 0時(shí)，有以下常用的等價(jià)無窮小：（四）例題一般地，對(duì)有理分式函數(shù)其中P（ x ）、 Q （ x ）是多項(xiàng)式， 若（x）=Q（x0） 0,則注意：若 Q （ x 0） = 0 ，則關(guān)于商的極限運(yùn)算法則不能應(yīng)用，需特殊考慮。【例1-2

4、-2】 求 【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則。但分子、分母有公因子x-3,故【例1-2-3】 ?！?解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故從而【例 l -2 -4】 求?！?解 】 當(dāng) x 時(shí)，分子、分母都為無窮大，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故【例1-2-5】 等于（ A ） 1 （ B ） 0 （ C ）不存在且不是 （ D ） 【解】 由于=0，按照“有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小”，故應(yīng)選（B）, 注意不要與極限=1相混淆?！纠?-2-6】 求?！纠?-2-7】 求。【 解 】 令 x- t ,則當(dāng) x

5、 時(shí)，t 。于是【例1-2-8】 求。【例1-2-9】 求。【解】當(dāng) x 0 時(shí)，tan2x 2x, sin5x 5x，所以【例1-2-10】 求。【解】 當(dāng) x 0時(shí)，,cosx-1-,所以【例1-2-11】 等于（ A ）2 （ B ） 0 （ C ） （ D ）不存在且不是 【解】 因?yàn)樗?故極限不存在，且不是 ，應(yīng)選（ D ）?！?例 1 -2- 12 】 設(shè)f（ x ） = 2x 3 x -2 ，則當(dāng) x 0 時(shí)，有（ A ） f （ x ） 與 x 是等價(jià)無窮小 （ B ） f （ x ）與 x 同階但非等價(jià)無窮小 （ C ） f （ x ）是比 x 高階的無窮小 （D）f （ x ）是比 x 低階的無窮小【解】 所以應(yīng)選（ B ）。【 例 1 -2 -13 】 當(dāng) x 0 時(shí)， tanx - sinx 是x3的 （ A ）高階無窮小 （ B ）低階無窮小（ C ）同階但非等價(jià)無窮小 （ D ）等價(jià)無窮小【解】應(yīng)選（ C ）。注意：當(dāng) x O 時(shí)， tanx x ，sinx x ，但不能得出 tanx - sinx x - x = 0 ，從而得出上述極限為零，而選（ A ）。事實(shí)上，上面的計(jì)算結(jié)果表明 tanx- sinx。由此可知，在利用等價(jià)無窮小求極限時(shí)，不能對(duì)分子或分母中的某個(gè)加項(xiàng)作代換，而應(yīng)該對(duì)分子或分母的整