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1、湖州師院第二屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（工科組）競(jìng)賽時(shí)間：2004年11月7日 8:00-11:00下屬學(xué)院-專業(yè)-班級(jí)-學(xué)號(hào)-成績(jī)-一二三四五六一、計(jì)算題1、求的值。（選自廣東省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解：=令 則原式2、計(jì)算積分（選自2000年全國(guó)碩士研究生入學(xué)試題）解：，由定積分的幾何意義知，表示由上半圓與直線所圍成的圖形的面積。故3、 求冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)。（選自1990年高數(shù)一、二碩士研究生入學(xué)試題）解： （分別求出數(shù)和的和函數(shù)） 由可知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 收斂區(qū)間為，并且 因此 4、 求積分值（選自高等數(shù)學(xué)雙博士課堂）解： 因?yàn)?故不是瑕點(diǎn)。但此反常積分還是可以這樣處理：而 故

2、二、求曲面和所圍成的體積V和表面積S。解： 由得 故得 解得（舍去），所以投影區(qū)域 因?yàn)?三、計(jì)算曲線積分 其中是由位于第一象限中的直線段與位于第二象限中的圓弧構(gòu)成的曲線，方向是由到再到（選自高等數(shù)學(xué)雙博士課堂）解： 添加輔助線，使成為封閉曲線，故由格林公式，得 +=四、 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，其中且，試證明：在內(nèi)必有一點(diǎn)。使（選自廣東省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）證：關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)合適的輔助函數(shù)，使它符合羅爾定理的三個(gè)條件。令， 此函數(shù)顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。由羅爾定理知：在內(nèi)必有一點(diǎn)，使 即，故得 五、求半徑為的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者。（選自第一屆北京市大學(xué)生（非理科）數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解： 設(shè)圓心到此內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的圓心角分別為，則設(shè)所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形的面積分別為 圓內(nèi)接三角形面積 令得 或當(dāng)此時(shí)圓內(nèi)接三角形縮為此三角形邊界上的一段直線段，所以當(dāng) 此時(shí)為最大。即圓的內(nèi)接三角形中面積最大者是內(nèi)接正三角形。六、求證當(dāng)時(shí)，對(duì)且有（選自高等數(shù)學(xué)雙博士課堂）

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