高中數(shù)學(xué)配套Word版文檔53平面向量的數(shù)量積

1、5.3平面向量的數(shù)量積2014高考會這樣考1.考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的求法；2.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積求向量的夾角、向量的模；3.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積證明兩個(gè)向量垂直復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解數(shù)量積的意義，掌握求數(shù)量積的各種方法；2.理解數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)；3.利用數(shù)量積解決向量的幾何問題1 平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是ab0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是ab|a|b|.2 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于

2、a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|，aaa2，|a|；(4)cos ；(5)|ab|_|a|b|.4 平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)abba(交換律)；(2)(a)ba(b)(ab)ab(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)cacbc.5 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x

3、2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍2 ab0是兩個(gè)向量ab夾角為銳角的必要不充分條件因?yàn)槿鬭，b0，則ab0，而a，b夾角不是銳角；另外還要注意區(qū)分ABC中，、的夾角與角B的關(guān)系3 計(jì)算數(shù)量積時(shí)利用數(shù)量積的幾何意義是一種重要方法1 已知向量a和向量b的夾角為135，|a|2，|b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積ab_.答案3解析

4、ab|a|b|cos 135233.2 已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實(shí)數(shù)的值為_答案解析由ab知ab0.又3a2b與ab垂直，(3a2b)(ab)3a22b23222320.3 已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_答案解析設(shè)a和b的夾角為，|a|cos |a|.4 (2011遼寧改編)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k_.答案12解析由已知得a(2ab)2a2ab2(41)(2k)0，k12.5 (2012陜西改編)設(shè)向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，則cos 2_.答案0解析a(1，cos )，b(1,2co

5、s )ab，ab12cos20，cos2，cos 22cos21110.題型一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)在RtABC中，C90，AC4，則_.(2)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)c30，則x_.思維啟迪：(1)由于C90，因此選向量，為基底(2)先算出8ab，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x.答案(1)16(2)4解析(1)()()16.(2)a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.探究提高求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何

6、意義本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件(2012北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_答案11解析方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值為1.方法二由圖知，無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，|11，當(dāng)E運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，()max|11.題型二向量的夾角與向量的模例2已知|a|4，|b|

7、3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積思維啟迪：運(yùn)用數(shù)量積的定義和|a|.解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.探究提高(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，它是求距離常用的公式(2)要注意向量運(yùn)算律

8、與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 (1)已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且ab2，則a與b的夾角為_答案解析cosa，b，a，b.(2)已知向量a(1，)，b(1,0)，則|a2b|_.答案2解析|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.題型三向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實(shí)數(shù))思維啟迪：(1)證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問題，數(shù)量積為零即得證(2)由模相等，列等式、化簡(1)證明

9、(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.探究提高(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明ab，則只需證明ab0x1x2y1y20.(2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明ab0.(3)數(shù)量積的運(yùn)算中，ab0ab中，是對非零向量而言的，若a0

10、，雖然有ab0，但不能說ab. 已知平面向量a(，1)，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)(1)證明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0，又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t) (t0)三審圖形抓特點(diǎn)典例：(5分)如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若 xy，則x_，y_.圖形有一副三角板構(gòu)成(注意一副三角板的特點(diǎn))令|AB|1，|AC|1(一副三角板的兩斜邊等長)

11、|DE|BC|(非等腰三角板的特點(diǎn))|BD|DE|sin 60(注意ABD4590135)在上的投影即為xx|AB|BD|cos 4511在上的投影即為yy|BD|sin 45.解析方法一結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由xy知，x，y分別為在，上的投影又|BC|DE|，|sin 60.在上的投影x1cos 4511，在上的投影ysin 45.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，(x1)2.設(shè)|1，則由題意|.又BED60，|.顯然與的夾角為45.由(x1)2，得1cos 45(x1)12.x1.同理，在(x1)y兩邊取數(shù)量積可得y.答案1溫馨提醒突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由

12、一副三角板構(gòu)成)根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜.方法與技巧1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧失誤與防范1(1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系2ab0不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab.3aba

13、c(a0)不能推出bc，即消去律不成立A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：62分)一、填空題(每小題5分，共35分)1 (2012遼寧改編)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，則x_.答案1解析ab(1，1)(2，x)2x1x1.2 (2012重慶改編)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|_.答案解析a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc，得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.3 已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c

14、_.答案解析設(shè)c(x，y)，則ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.聯(lián)立解得x，y.4 在ABC中，AB3，AC2，BC，則_.答案解析由于|cosBAC(|2|2|2)(9410).5 (2012課標(biāo)全國)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.答案3解析a，b的夾角為45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.6 (2012浙江)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則_.答案16解析如圖所示，()()22|2|292516.7 已知a(2，1)，

15、b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_答案(，6)解析由ab0，即230，解得，由ab得：6，即6.因此1)，a與b的夾角是45.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.解(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c與b同向，故可設(shè)cb (0)，(ca)a0，ba|a|20，cb(1,3)9 (14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)0，求t的值解(1

16、)由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題設(shè)知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，從而5t11，所以t.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：35分鐘，滿分：58分)一、填空題(每小題5分，共30分)1 (2012湖南改編)在ABC中，AB2，AC3，1，則BC_.答案解析1，且AB2，1|cos(B)，|cos B1.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|22(1)|BC|.2 已知|a|6，|b|3，ab12，則向量a在向量b方向上的投影是_答案

17、4解析ab為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，得ab|b|a|cosa，b，即123|a|cosa，b，|a|cosa，b4.3 (2012江西改編)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則_.答案10解析，|2222.，|2222.|2|2(22)2()2222222.又2162，2，代入上式整理得|2|210|2，故所求值為10.4 (2012安徽)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.答案解析利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30

18、，m.a(1，1)，|a|.5 (2012江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_答案解析方法一坐標(biāo)法以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是關(guān)鍵設(shè)x，則(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.6 (2012上海)在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_答案1,4解析如圖所示，設(shè)(01)，則，(1)，()()()(1)(1)4(1)43，當(dāng)0時(shí)，取得最大值4；當(dāng)1時(shí)，取得最小值1.1,4二、解答題(共28分)7 (14分)設(shè)平面上有兩個(gè)向量a(cos ，sin ) (0360)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時(shí)，求的大小(1)證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故向量ab與ab垂直(2)解由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0，而|a|b