高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文構(gòu)造三角形重心巧定兩平面法向量的方向

1、構(gòu)造三角形重心巧定兩平面法向量的方向利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于兩法向量的夾角未必就是二面角的平面角的大小，許多雜志上都介紹了直接從圖形上觀察兩法向量的方向，來確定兩法向量的夾角是否為兩平面的夾角。這種方法雖然簡單，但由于空間任意兩個向量都是共面的，要從圖形上直接判定他們的方向，需要很強(qiáng)的空間想象能力，好多學(xué)生是達(dá)不到這種境界的。在最后的復(fù)習(xí)中，我利用下面的兩個定理引導(dǎo)學(xué)生用向量法求二面角的大小時，而學(xué)生不知道如何找二面角內(nèi)的點(diǎn)，結(jié)果給解題帶來麻煩。為了幫助學(xué)生更好更快的解題，我們在二面角內(nèi)總可以找到一個三角形，將此三角形的重心作為二面角內(nèi)的點(diǎn)，可以不加思索的讓學(xué)生很

2、方便的正確求解，偶有所得，現(xiàn)結(jié)合近年的年高考題，寫出來與大家同享。為了解決問題的方便，現(xiàn)給出如下的兩個定理：定理1：向量是平面的一個法向量，點(diǎn)O在平面內(nèi)，點(diǎn)P在平面外。若，則向量與向量指向平面的同側(cè)（如圖1）；若，則向量與向量指向平面的異側(cè)（如圖2）。圖2圖1證明：當(dāng)時，0，向量與向量指向平面的同側(cè)。同理可證當(dāng)時，0，向量與向量指向平面的異側(cè)。定理2：點(diǎn)是二面角內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O是棱上一點(diǎn)，向量分別是平面的一個法向量，二面角大小為。若與同號，則；若與異號，則（如圖3）圖3證明：（一）若與異號1） 當(dāng)且時，由定理1易知：向量與向量指向平面的同側(cè)；向量與向量指向平面的異側(cè)，而始終都是指向兩平面外部的，所

3、以向量與向量與兩平面的指向互異，所以2） 同理可證當(dāng)且時，（二）若與同號1）當(dāng)且時，由定理1易知：向量與向量指向平面的同側(cè)；向量與向量也指向平面的同側(cè)，而始終都是指向兩平面外部的，所以向量與向量與兩平面的指向一致，所以；2）同理可證：當(dāng)且時，例1、（2008年全國高考數(shù)學(xué)北京卷文）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC.（）求證：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.解：（）略圖4（）由題易知：APCBPC，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系。，則，中點(diǎn)， ，。設(shè)平面BAP的一個法向量為，則

4、由，可得即，故可取.設(shè)平面APC的一個法向量為，則由，可得即，故可取，由于二面角的棱AP的中點(diǎn)，而在二面角內(nèi)，則的重心Q， 與異號，二面角的大小與的大小相等，所以，故二面角的大小為點(diǎn)評：利用三角形重心判定兩平面法向量的方向，先在棱上找一點(diǎn)，為方便期間，一般找二面角棱的中點(diǎn)，再結(jié)合定理就可以求出二面角的大小。例2. （2008年全國高考數(shù)學(xué)全國卷理科18題），四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小解：（）略。（）取CB的中點(diǎn)O, ，AOCB，又側(cè)面底面，AO底面BCDE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，Oy，OA所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

5、設(shè)，因此 ，二面角的棱AD的中點(diǎn)，設(shè)平面CAD的法向量為，圖5則由，可得，故可取，同理可得平ADE的一個法向量為，由于棱AD的中點(diǎn)，而在二面角內(nèi)，且的重心Q的坐標(biāo)為，與同號，所求的二面角大小與的大小互補(bǔ)，所以，由于CE與平面ABE成的角，由題易知平面ABE的一個法向量為，而，所以，故二面角的大小=.點(diǎn)評: 法向量的夾角與二面角的大小可能相等也可能互補(bǔ)，要注意法向量的方向。利用法向量確定兩平面的夾角的基本思想是：根據(jù)所求得的法向量的坐標(biāo)，確定兩法向量的指向（可以以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，以兩坐標(biāo)對應(yīng)的點(diǎn)分別為終點(diǎn)）若兩法向量的指向互異，則它們的夾角與二面角的大小相等；若兩法向量的指向一致，則它們的夾角與二面角的大小是互補(bǔ)的。即向量指向互異，則，；若向量指向一致，則，參考文獻(xiàn)：1、 袁智斌.由動手操作上升到計算推理，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中）（