馬爾科夫鏈模型的應(yīng)用研究

1、 管 理 預(yù) 測(cè) 與 決 策馬爾科夫鏈模型的應(yīng)用研究姓 名： 學(xué) 號(hào)： 專 業(yè)： 指導(dǎo)教師： 2012年11月1日摘 要 預(yù)測(cè)春運(yùn)客流量是鐵路部分的一項(xiàng)重要工作。運(yùn)用馬爾科夫鏈模型可以對(duì)春運(yùn)期間一天中的客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先，介紹了馬爾科夫鏈模型及其預(yù)測(cè)的基本原理；其次，分析了*火車站2011年春運(yùn)期間每天的客流量，并按照*火車站突發(fā)事件三級(jí)預(yù)警方案將客流量數(shù)據(jù)處理為三個(gè)狀態(tài)；最后，運(yùn)用馬爾科夫鏈模型對(duì)2011年的春運(yùn)客流進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，運(yùn)用馬爾科夫鏈模型具有良好的預(yù)測(cè)結(jié)果。關(guān)鍵詞 ：馬爾科夫鏈模型；火車站；客流量馬爾科夫鏈模型的應(yīng)用研究*站每年春運(yùn)都面臨著大規(guī)?？土?。大量人群的聚集會(huì)帶來(lái)許

2、多安全隱患，相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)部門非常重視。如果能夠根據(jù)以往的客流量，對(duì)下一年的春運(yùn)客流量做出正確預(yù)測(cè)，就能夠?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)決策層提供有力的信息支持，使他們能夠提前做好應(yīng)對(duì)高峰客流的準(zhǔn)備，從而降低風(fēng)險(xiǎn)。影響春運(yùn)客流的因素很多，并且各個(gè)因素的作用機(jī)制無(wú)法用精確的熟悉模型描述。目前常用的預(yù)測(cè)方法主要有數(shù)學(xué)模型方法和人工經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头?。?duì)客流量做預(yù)測(cè)，目前所知道的是以前客流量的記錄。如何從大量已知的數(shù)據(jù)中挖掘出有用的信息或知識(shí)，為下一步工作服務(wù)，這是數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)所完成的工作。數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域中有許多新的研究成果，如關(guān)聯(lián)規(guī)則、Web挖掘、馬爾科夫鏈模型等。其中馬爾科夫鏈模型是近年來(lái)在數(shù)據(jù)挖掘方法的一個(gè)研究熱點(diǎn)。本文運(yùn)用該方法對(duì)

3、*站春運(yùn)客流進(jìn)行預(yù)測(cè)。1.馬爾科夫鏈模型11馬爾科夫鏈馬爾科夫鏈，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有馬爾科夫性質(zhì)的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。該過(guò)程中，在給定當(dāng)前指示或信息的情況下，過(guò)去（即現(xiàn)在時(shí)期以前的歷史狀態(tài)）對(duì)與預(yù)測(cè)將來(lái)（即現(xiàn)在時(shí)期以后的狀態(tài)）是無(wú)關(guān)的。如果n個(gè)連續(xù)變動(dòng)事物在變動(dòng)過(guò)程中，其中任一次變動(dòng)的結(jié)果都具有無(wú)后效性，那么，這n個(gè)連續(xù)變動(dòng)事物的集合就叫做馬爾科夫鏈，這類事物演變的過(guò)程稱為馬爾科夫過(guò)程。1.2 馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本原理對(duì)事件的全面預(yù)測(cè)，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率，說(shuō)明被預(yù)測(cè)的事件在預(yù)測(cè)期內(nèi)出現(xiàn)每一種結(jié)果的可能性程度。這就是關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測(cè)。馬爾科夫

4、預(yù)測(cè)法，就是一種關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測(cè)方法。它是根據(jù)事件的目前狀況來(lái)預(yù)測(cè)其將來(lái)各個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）變動(dòng)狀況的一種預(yù)測(cè)方法。1.2.1 狀態(tài)在馬爾科夫預(yù)測(cè)中，“狀態(tài)”是一個(gè)重要的術(shù)語(yǔ)。所謂狀態(tài)，就是指某一事件在某個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的某種結(jié)果。譬如，在商品銷售預(yù)測(cè)中，有“暢銷”、“一般”、“滯銷”等狀態(tài)。1.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程（馬爾科夫過(guò)程）在事件的發(fā)展過(guò)程中，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。譬如，天氣變化從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁?、從“陰天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁?、從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁薄摹瓣幪臁鞭D(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁钡榷际菭顟B(tài)轉(zhuǎn)移。事件的發(fā)展，隨著時(shí)間的變化而所作的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。若每次狀

5、態(tài)的轉(zhuǎn)移只與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，或者說(shuō)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程是無(wú)后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程就稱為馬爾科夫過(guò)程。1.2.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣在事件的變化過(guò)程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)條件概率的定義，由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P（EiEj）就是條件概率P（Ei/Ej）,假定某一被預(yù)測(cè)的事件有E1，E2，E3，En，共n個(gè)可能的狀態(tài)。記Pij為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，作矩陣則稱P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。如果被預(yù)測(cè)的某一事件目前處于狀E1，那么在下一時(shí)刻，它可能由狀態(tài)E1轉(zhuǎn)向E1，E2，EiEn中的任一個(gè)狀態(tài)。所以Pi

6、j滿足條件：一般地，將滿足條件（3）的任何矩陣都稱為概率矩陣。不難證明，如果P為概率矩陣，則對(duì)任意整數(shù)m>0，矩陣Pm都是概率矩陣。如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m> 0 ，使得概率矩陣Pm中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在非零向量=x1,x2,xn，而且xi滿足0xi1及，這樣的向量稱為平衡向量或終極向量。計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是要求出每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它任何一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率Pi j （i，j = 1 ，2，n）。為求出每一個(gè)Pij，這里采用頻率近似概率的思想計(jì)算 。1.2.4 馬爾科夫預(yù)測(cè)法為運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)法對(duì)事件發(fā)展過(guò)程中狀態(tài)出

7、現(xiàn)的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要介紹一個(gè)名詞：狀態(tài)概率 i ( k ) 。 i ( k)表示事件在初始（k = 0 ）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過(guò)k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，第k個(gè)時(shí)刻處于狀態(tài)Ei的概率。根據(jù)概率的性質(zhì)，顯然有：從初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ei這一狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程，可以看作是首先經(jīng)過(guò)（k-1）次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ei （ i = 1 ，2 ，n），然后再由Ei經(jīng)過(guò)一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej。根據(jù)馬爾科夫過(guò)程的無(wú)后效性及Bayes條件概率公式，有若記行向量 (k ) = 1 (k )， 2 (k )， n (k ) ，則由（5）式可得逐次計(jì)算狀態(tài)概率的遞推公式：2 客流量數(shù)據(jù)處理根據(jù)上面的分析，運(yùn)

8、用馬爾科夫鏈模型預(yù)測(cè)客流量，需要對(duì)客流量數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的處理，按照一定的規(guī)則轉(zhuǎn)化為若干“狀態(tài)”，然后，才能進(jìn)行預(yù)測(cè)。2.1 三級(jí)預(yù)警方案要對(duì)客流量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為若干“狀態(tài)”，需要一定的依據(jù)，這里將北京西站突發(fā)事件三級(jí)預(yù)警方案作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行數(shù)據(jù)到“狀態(tài)”的轉(zhuǎn)換。三級(jí)預(yù)警方案如下（見(jiàn)表1）：（下列達(dá)到條件中的一條就啟動(dòng)相應(yīng)預(yù)警。管規(guī)第208條規(guī)定：候車室旅客占用面積標(biāo)準(zhǔn)為1 . 1 1 . 2 m 2/人，此表標(biāo)準(zhǔn)按1 . 2 m 2/ 人計(jì)算，最大可容納人數(shù)為經(jīng)驗(yàn)值。）2.2 生成狀態(tài)這里根據(jù)三級(jí)預(yù)警將預(yù)測(cè)狀態(tài)規(guī)定如表2：3 馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)過(guò)程3.1 歷史數(shù)據(jù)（見(jiàn)表3）表3:2011年春運(yùn)期間的上車人數(shù)3.2 計(jì)算轉(zhuǎn)移概率4.結(jié)論 通過(guò)馬爾科夫鏈模型及其預(yù)測(cè)的基本原理，分析*火車站2011年春運(yùn)期間每天的客流