高三數(shù)學(xué)數(shù)列的極限

1、高三數(shù)學(xué)試題及高考分析本周復(fù)習(xí)內(nèi)容：數(shù)列的極限本周復(fù)習(xí)重點(diǎn)：數(shù)列的極限運(yùn)算，數(shù)列及其極限的綜合問(wèn)題<一>關(guān)于數(shù)列極限的運(yùn)算1運(yùn)算法則：an=A, bn=B. (1) (2) (3) 注意：運(yùn)算法則只可應(yīng)用于有限個(gè)數(shù)列的運(yùn)算當(dāng)中。2幾個(gè)基本數(shù)列的極限 (1) c=c (2) (3) qn=0 (0<|q|<1)3數(shù)列極限運(yùn)算的幾種基本類(lèi)型：(1) 關(guān)于n的分式型 (2) 關(guān)于n的指數(shù)型(3) 無(wú)窮多項(xiàng)的和與積 (4) 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列<二> 本周例題例1求下列數(shù)列的極限：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (a,b>0

2、)分析：求數(shù)列的極限首先應(yīng)判斷屬于哪一種基本類(lèi)型，然后考慮如何轉(zhuǎn)化哪一種基本數(shù)列的極限解決問(wèn)題。解: (1) (2) =.(3) = = =(4) = =或另解：原式= (5) 分析：應(yīng)能夠很快地由數(shù)列的通項(xiàng)可識(shí)別出此數(shù)列為公比為(-)的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列。 。(6) = =注：數(shù)列不存在極限，不能直接用運(yùn)算法則，因此變形后化為基本數(shù)列的極限解決。(7) = 當(dāng)0|a|<3時(shí)，=. 當(dāng)|a|>3時(shí)，=. 當(dāng)a=3時(shí)，=。 當(dāng)a=-3時(shí)，=（極限不存在）。 綜- ，(8) =(9) a>b>0時(shí)，=。 當(dāng)b>a>0時(shí)，=。 當(dāng)b=a>0時(shí)，=。綜上：=小結(jié)

3、：求數(shù)列的極限難點(diǎn)問(wèn)題有幾類(lèi)，<i> 無(wú)窮多項(xiàng)的和與積；如上例中第(3),(4),(5),(7),(8)，不能直接用極限的運(yùn)算法則，先要將所給形式變形，化簡(jiǎn)，如(3)是約分化簡(jiǎn)，(4) 是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等比數(shù)列的和，(5) 的關(guān)鍵是能夠判斷其為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，(7) 則是光用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)，(8)卻應(yīng)用的是特殊數(shù)列求和的基本方法裂項(xiàng)求和達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。<i i >關(guān)于n的指數(shù)型數(shù)列的極限，若含有參數(shù)的冪的形式（關(guān)于n的），則需要討論，以確保符合條件0<|q|<1，才可應(yīng)用來(lái)解決問(wèn)題。例2. (1) 已知 求a, b.(2) 已知, , 求：。(3) 已知

4、： , 求a.解：(1) 即有：，則有(2) , , .又 , , .又 =,由，得 ， =6。(3) , 當(dāng)|a2|>4時(shí)，= 不存在，當(dāng)0<|a2|<4時(shí)，=，當(dāng)a2=4時(shí)，=， 有：a2=4, 即a=±2.小結(jié)：本例中幾問(wèn)共同特點(diǎn)是已知數(shù)列的極限，反過(guò)來(lái)求式子中待定的系數(shù)。解決的方法仍是化歸為求數(shù)列的極限問(wèn)題。如(1)中，已知一個(gè)關(guān)于n的分式型的極限，實(shí)際上考察了對(duì)關(guān)于n的分式型極限求法的掌握情況。應(yīng)使學(xué)生明確形如：的極限問(wèn)題關(guān)鍵看分子，分母中關(guān)于n的項(xiàng)的最高次項(xiàng)的系數(shù)，如果不能確定其系數(shù)時(shí)，即需要討論。例3(1)在等比數(shù)列 an中，a1>1，且前n項(xiàng)和

5、Sn滿足，求a1的取值范圍。(2) 數(shù)列an, bn均是公差不為0的等差數(shù)列，且，求。解：(1) an為等比數(shù)列，又a1>1,且 , 因此an為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，設(shè) an公比為q. , 1-q=a12, 0<|q|<1, 0<|1-a12|<1,解得：a.(2) 設(shè) an公差為d, bn公差為d', , , na2n=na1+(2n-1)d, .小結(jié)：數(shù)列的極限與等差，等比數(shù)列的知識(shí)的結(jié)合是經(jīng)?？疾斓膯?wèn)題，尤其要注意對(duì)于無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的識(shí)別，及求和公式的正確運(yùn)用。例4已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn, 此無(wú)窮數(shù)列對(duì)于不小于2的正整數(shù)n, 滿足1-Sn=an-1

6、-an.(1) 求a1, a2, a3. (2) 證明an為等比數(shù)列。(3) 設(shè)，求(b1+b2+bn)的值。解：(1) S2=a1+a2, 1-(a1+a2)=a1-a2, 解得:, S3=a1+a2+a3, 同理解得：, .(2) <方法1>,由a1,a2,a3推測(cè) (nN).用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時(shí)，上式成立假設(shè)當(dāng)n=k(k1, kN)時(shí)，成立。欲證當(dāng)n=k+1時(shí)，成立， 1-Sk+1=ak-ak+1, 1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1, 1-Sk=ak.(I)同理，1-Sk+1=ak+1.(II)(II)-(I)得：1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak -ak+1=ak+1-ak, 2ak+1=ak, , n=k+1時(shí)，命題也成立。由對(duì)于 nN, 均成立。<方法2> 當(dāng)n2時(shí)，1-Sn=an-1-an.1-Sn+1=an-an+1.-得：Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1, an+1=an-1-2an+an+1, ,即 ， an為等比數(shù)列。(3) (b1+b2+b3+bn)=.小結(jié)：數(shù)列，極限，數(shù)學(xué)歸納法常常將幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)考察，因此需要清理解決問(wèn)題的方法及知識(shí)體系，這是提高能力的關(guān)鍵。<二> 本周參考練習(xí)：(1) an為等比數(shù)列，a1=-1，前n項(xiàng)和為Sn,