數(shù)學(xué)建模第七章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章  生態(tài)學(xué)模型§7.1 微分方程穩(wěn)定性理論簡介一 基本概念考慮維空間中的向量值函數(shù)，當(dāng)、時我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點的運動曲線，它描述質(zhì)點在時刻的位置。許多物理或社會系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡記為，其中，通常稱之為自治的動力系統(tǒng)。稱點為動力系統(tǒng)的一個平衡點，若。這時為動力系統(tǒng)的一個奇解。平衡點在對一個動力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動力系統(tǒng)的平衡點是（漸近）穩(wěn)定的，若對該動力系統(tǒng)的任一解，均有。例：求解微分方程組 的平衡點，并討論其穩(wěn)定性。解：很容易該微分方程組的唯一平衡點；

2、由已知微分方程組可以得到，進(jìn)而，對該微分方程組的任一解，因此，因此平衡點是穩(wěn)定的。讀者可以自己驗證是微分方程組的唯一平衡點，但不是穩(wěn)定的。對于一個齊次的線性微分方程組（為一階實方陣），有如下結(jié)果： 定理：若非退化，則是線性動力系統(tǒng)唯一平衡點，且平衡點是穩(wěn)定的充分必要條件為的所有特征值的實部均小于0。 二 二階方程平衡點的拓?fù)浞诸惻c判別   對于二維平面中（二階方程）的情形，根據(jù)平衡點的局部拓?fù)湫誀罘譃榻Y(jié)點、焦點、鞍點以及中心等四類，其中鞍點、中心這兩類型的平衡點是不穩(wěn)定的，而結(jié)點、焦點類型的平衡點還可以分為穩(wěn)定與不穩(wěn)定的情形，可參照。

3、就二階齊次線性微分方程組（），下表給出其平衡點的類型和穩(wěn)定性：二特征值，平衡點類型穩(wěn)定性，穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定鞍點不穩(wěn)定，穩(wěn)定退化結(jié)點穩(wěn)定，不穩(wěn)定退化結(jié)點不穩(wěn)定，穩(wěn)定焦點穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定，中心不穩(wěn)定（其中、分別表示復(fù)數(shù)的實部、虛部） 對于一般的非線性微分方程組的討論，由于其平衡點不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部穩(wěn)定的概念：稱動力系統(tǒng)的平衡點是局部（漸近）穩(wěn)定的，若存在，對該動力系統(tǒng)的任一解，只要存在某滿足，均有。而對平衡點局部（漸近）穩(wěn)定性的判別，只須對原微分方程的右端項取一階Taylor展式，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)進(jìn)行討論，這里。§7.2 種群

4、競爭問題：在自然環(huán)境中，生物種群豐富多彩，它們之間通常存在著或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食等這樣的三種基本關(guān)系。在本章，我們將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度，對具有如上提及的某種關(guān)系的兩個種群的人口發(fā)展進(jìn)行討論。設(shè)想有兩個種群為了爭奪有限的同一食物來源和生活空間時，從長遠(yuǎn)的眼光來審視，其最終結(jié)局是它們中的競爭力若的一方首先被淘汰，然后另一方獨占全部資源而以單種群模式發(fā)展；還是存在某種穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，兩個物種按照某種規(guī)模構(gòu)成雙方長期共存？    這里不妨將我們討論的對象想象為生活在同一草原上的羚羊和老鼠。 一   模型假

5、設(shè)以、表示處于相互競爭關(guān)系中甲、乙二種群在時刻的數(shù)量，1資源有限，設(shè)為，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；2種群數(shù)量的增長率與該種群數(shù)量成正比，同時也與有閑資源成正比；3各種群在對所占據(jù)資源的利用上是不充分的，分別表示甲、乙二種群對對方以占用資源的相對挑剔程度，通俗的講，是在對方用過的盤子里撿“剩骨頭”。比方，若時，表示在甲種群看來，乙種群是“奢侈的”，它可以在乙種群用過的盤子里撿到“剩骨頭”，若時，說明甲種群在食物選擇上是“過分”挑剔的，或者可理解為，對于甲種群，乙種群在資源利用上對資源有破壞性；換一個說法，反映了甲、乙二種群適應(yīng)能力，越小、越大，則甲種群的相

6、對適應(yīng)能力越強(qiáng)；4分別表示甲、乙二種群的固有增長率。  二    模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡，得： 三   模型求解令，可得該模型的四個平衡點：、。先討論平衡點的穩(wěn)定性，為此，將微分方程的右端項以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)，此時系數(shù)矩陣，其二特征值（，），故是不穩(wěn)定性的（結(jié)點）；就平衡點，將微分方程的右端項以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)，此時系數(shù)矩陣，其二特征值，當(dāng)且僅當(dāng)，平衡點是（局部）穩(wěn)定的；類似可以得平衡點是（局部）穩(wěn)定的充要條

7、件為；平衡點只有在第一象限內(nèi)方有實際意義，為此應(yīng)有同時大于“1”或同時小于“1”，采用類似的分析，可以得到當(dāng)同時大于“1”時，平衡點為一鞍點，是不穩(wěn)定的；當(dāng)同時小于“1”時，平衡點為一穩(wěn)定的結(jié)點。§7.3 種群相互依存問題：自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。比方植物與昆蟲，一方面植物為昆蟲提供了食物資源，另一方面，盡管植物可以獨立生存，但昆蟲的授粉作用又可以提高植物的增長率。事實上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系。我們關(guān)心兩個相互依存的種群，它們之間有著類似于在農(nóng)業(yè)社會中人和牛的關(guān)系。其發(fā)展和演進(jìn)有著一些什么樣的定性性質(zhì)呢？ 一

8、   模型假設(shè)以、表示處于相互依存關(guān)系中甲、乙二種群在時刻的數(shù)量，1種群數(shù)量的增長率與該種群數(shù)量成正比，同時也與有閑資源成正比；2兩個種群均可以獨立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，均設(shè)為“”，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；此外，兩種群的存在均可以促進(jìn)另一種群的發(fā)展，我們視之為另一種群發(fā)展中可以利用的資源，為二折算因子，表示一個單位數(shù)量的乙可以充當(dāng)種群甲的生存資源的量，表示一個單位數(shù)量的甲可以充當(dāng)種群乙的生存資源的量；3分別表示甲、乙二種群的固有增長率。 二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡

9、，得： 三 模型求解令，可得該模型的四個平衡點：、。    類似于在種群競爭模型中的討論，我們可以得到平衡點均不穩(wěn)定，而只有當(dāng)時，平衡點為第一象限內(nèi)的點，可以論證它是穩(wěn)定的。§7.4 弱肉強(qiáng)食模型問題：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，種群之間捕食與被捕食的關(guān)系普遍存在。兩個弱肉強(qiáng)食的種群，其發(fā)展和演進(jìn)又會遵循一些什么樣的規(guī)律呢？ 一 模型假設(shè)以、表示處于弱肉強(qiáng)食關(guān)系中甲、乙二種群在時刻的數(shù)量，1、甲種群只以乙種群為食物資源，為兩個折算因子，分別表示一個單位數(shù)量的甲物種維持其正常生存需占用的資

10、源量、一個單位數(shù)量的乙物種為甲種群提供的資源量；甲種群數(shù)量的增長率與該種群數(shù)量成正比，同時也與有閑資源成正比。表示甲種群的固有增長率；2、乙種群可以獨立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，設(shè)為“”，表示一個單位數(shù)量的乙物種維持其正常生存需占用的資源量，表示乙種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量。乙種群數(shù)量的增長率可以分解為兩部分考慮：其一，不考慮甲種群的影響，乙種群自由發(fā)展，其增長率與該種群數(shù)量成正比，同時也與有閑資源成正比，表示甲種群的固有增長率；其二，由于被甲種群捕食造成乙種群增長的負(fù)面影響，稱這一部分為被捕殺率，它與甲乙兩個種群的數(shù)量均正相關(guān)，這里簡單地設(shè)為服從正比例關(guān)系，比例系數(shù)取為。 二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡，得：  三 模型求解令，可得該模型的三個平衡點：、。類似于在種群競爭模型中的討論，我們可以得到平衡點均不穩(wěn)定；討論平衡點的穩(wěn)定性，為此，將微分方程的右端項以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)：此時系數(shù)矩陣，故的。  四 點評本章介紹了三個生態(tài)學(xué)模型，盡管所處理的對象均為多（二）種群系統(tǒng)，但