等價(jià)無(wú)窮小量替換定理

1、§2-6無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1、無(wú)窮小的比較定義1設(shè)a、3是某一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，若limc(c為常數(shù))則(1)當(dāng)cw0時(shí)，稱在此極限過(guò)程中B與“是同階無(wú)窮??；(2)當(dāng)C=0時(shí)，稱在此極限過(guò)程中B是a的高階無(wú)窮小，記作B=0(a)(讀作小歐a)；(3)當(dāng)C=1時(shí)，稱在此極限過(guò)程中B與a是等價(jià)無(wú)窮小，記作3a。2、無(wú)窮大的比較定義2設(shè)Y、Z是同一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮大量，、Z(1)如果lim=cW0則稱Y與Z是同階無(wú)窮大量；Y，、Z(2)如果lim=8時(shí)，則稱Z是Y的高階無(wú)窮大量；Z(3)如果limYk=c豐0(k>0)，則稱Z是關(guān)于(基本無(wú)窮大量)Y的k階無(wú)窮

2、大量。3、無(wú)窮小的階與主部定義3把某極限過(guò)程中的無(wú)窮小a作為基本無(wú)窮小，如果B與k(k>0)是同階的無(wú)窮小，即limT=cw0則稱3是關(guān)于a的k階無(wú)窮小。重點(diǎn)難點(diǎn)突破1 .關(guān)于無(wú)窮小的比較要確定兩個(gè)無(wú)窮小量是同階、高階和等價(jià)的關(guān)系，其實(shí)就是求這兩個(gè)無(wú)窮小量比的極限，再根據(jù)定義判斷兩個(gè)無(wú)窮小的關(guān)系。注意(1)符號(hào)B=O(a)與Ba的含義B=O(a)表示B是a的高階無(wú)窮小，即lim0；Ba表小B與a是等價(jià)無(wú)窮小，即lim1(1) 同階不一定等價(jià)，等價(jià)一定同階。(2) 利用等價(jià)無(wú)窮小求極限等價(jià)無(wú)窮小在求極限的過(guò)程中可以進(jìn)行如下替換：若aa',B且lim存在，則lim一=lim一無(wú)窮小量

3、的比較表設(shè)在自變量XX0的變化過(guò)程中，(x)與(x)均是無(wú)窮小量無(wú)窮小的比較記號(hào)(x)是比(x)高階的無(wú)窮小lim()0Xx0(x)(x)(x)(xx0)(x)與(x)是同階的無(wú)窮小limqC(C為不等于零的常數(shù))Xx0(x)a(x)與(x)是等階無(wú)分小lim()1xxoa(x)(x)(x)(xx°)2.關(guān)于無(wú)窮小的階當(dāng)x-0時(shí)，由恒等式(i)o(xn)+o(xm)=o(xn)(ii)o(xn)o(xm)=o(xm+n)3.關(guān)于無(wú)窮小的替換定理0V n v mm>0, n>0設(shè)當(dāng)xx0時(shí)，1(x)2(x)1(x)2(x)limxx故存在，則lim上)2(x)xX。1(x)

4、解題方法指導(dǎo)2(x)2(x)limx01.判斷無(wú)窮小的階有以下幾種方法例1當(dāng)x-0時(shí)，下列無(wú)窮小量是(僅供參考)：x的幾階無(wú)窮小x-3x3+x5sinxtgx解：因?yàn)楫?dāng)x-0時(shí)，在x-3x3+x5中3x3與x5都是x的高階無(wú)窮小,35x3xx)1由恒等式(i)x所以，當(dāng)x一0時(shí)，x-3x3+x5是x的一階無(wú)窮小因?yàn)楫?dāng)x一0時(shí)，sinxx,tgxx,由恒等式(ii)可得sinxtgx=o(x2),即limx0sinxtgx所以，當(dāng)x一0時(shí)，sinxtgx是x的二階無(wú)窮小(2)先將原式變形，再判斷階數(shù)例2當(dāng)x-0時(shí)，下列無(wú)窮小量是x的幾階無(wú)窮小tgx-sinx解：通過(guò)分子有理化將原式變形.1x-1

5、x=2x1x1x由此看出，當(dāng)x-0時(shí)，J1xV1x是x的一階無(wú)窮小，事實(shí)上2xx0x(1x.11x)通過(guò)三角函數(shù)的公式將原式變形一sinxtgxsinxsinxsinx(1cosx)cosxcosx因?yàn)閟inxx,1-cosx1x22由此看出，當(dāng)x-0時(shí)，tgx-sinx是x的三階無(wú)窮小，事實(shí)上limsin x(1 cosx)3-x ?cosxlimx 0x?1x22""3"Zx ?cosx此題錯(cuò)誤解法:解：因?yàn)閘imx 0tgx sin xlimx 0tgx sinx所以，當(dāng)x-0時(shí),tg x - sin x是x的一階無(wú)窮小這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛蔁o(wú)窮小階的定義

6、,k比的極限不能為零。ln(1 x) ex 1,2求下列函數(shù)的極限(1)1 cosx3x2(2) limx 0tan x sin x(2)(1)1 cosx lim z- x 0 3x21 2 -x=lim 2-x 0 3x2limx 0tan x sin x-3sin x=limx 0sin x(16 cosx)3x cosxsin x(1 cosx)0,1cosx 1x2 ).22.利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)x0時(shí),xsinxtanxarcsinxarctanx/121cosxx,2xsin2xtan2x.cosx2sin2=l如0,sin2x2小結(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，