等價無窮小量替換定理

1、§2-6無窮小與無窮大的比較基礎(chǔ)知識導學1、無窮小的比較定義1設(shè)a、3是某一極限過程中的兩個無窮小，若limc(c為常數(shù))則(1)當cw0時，稱在此極限過程中B與“是同階無窮??；(2)當C=0時，稱在此極限過程中B是a的高階無窮小，記作B=0(a)(讀作小歐a)；(3)當C=1時，稱在此極限過程中B與a是等價無窮小，記作3a。2、無窮大的比較定義2設(shè)Y、Z是同一極限過程中的兩個無窮大量，、Z(1)如果lim=cW0則稱Y與Z是同階無窮大量；Y，、Z(2)如果lim=8時，則稱Z是Y的高階無窮大量；Z(3)如果limYk=c豐0(k>0)，則稱Z是關(guān)于(基本無窮大量)Y的k階無窮

2、大量。3、無窮小的階與主部定義3把某極限過程中的無窮小a作為基本無窮小，如果B與k(k>0)是同階的無窮小，即limT=cw0則稱3是關(guān)于a的k階無窮小。重點難點突破1 .關(guān)于無窮小的比較要確定兩個無窮小量是同階、高階和等價的關(guān)系，其實就是求這兩個無窮小量比的極限，再根據(jù)定義判斷兩個無窮小的關(guān)系。注意(1)符號B=O(a)與Ba的含義B=O(a)表示B是a的高階無窮小，即lim0；Ba表小B與a是等價無窮小，即lim1(1) 同階不一定等價，等價一定同階。(2) 利用等價無窮小求極限等價無窮小在求極限的過程中可以進行如下替換：若aa',B且lim存在，則lim一=lim一無窮小量

3、的比較表設(shè)在自變量XX0的變化過程中，(x)與(x)均是無窮小量無窮小的比較記號(x)是比(x)高階的無窮小lim()0Xx0(x)(x)(x)(xx0)(x)與(x)是同階的無窮小limqC(C為不等于零的常數(shù))Xx0(x)a(x)與(x)是等階無分小lim()1xxoa(x)(x)(x)(xx°)2.關(guān)于無窮小的階當x-0時，由恒等式(i)o(xn)+o(xm)=o(xn)(ii)o(xn)o(xm)=o(xm+n)3.關(guān)于無窮小的替換定理0V n v mm>0, n>0設(shè)當xx0時，1(x)2(x)1(x)2(x)limxx故存在，則lim上)2(x)xX。1(x)

4、解題方法指導2(x)2(x)limx01.判斷無窮小的階有以下幾種方法例1當x-0時，下列無窮小量是(僅供參考)：x的幾階無窮小x-3x3+x5sinxtgx解：因為當x-0時，在x-3x3+x5中3x3與x5都是x的高階無窮小,35x3xx)1由恒等式(i)x所以，當x一0時，x-3x3+x5是x的一階無窮小因為當x一0時，sinxx,tgxx,由恒等式(ii)可得sinxtgx=o(x2),即limx0sinxtgx所以，當x一0時，sinxtgx是x的二階無窮小(2)先將原式變形，再判斷階數(shù)例2當x-0時，下列無窮小量是x的幾階無窮小tgx-sinx解：通過分子有理化將原式變形.1x-1

5、x=2x1x1x由此看出，當x-0時，J1xV1x是x的一階無窮小，事實上2xx0x(1x.11x)通過三角函數(shù)的公式將原式變形一sinxtgxsinxsinxsinx(1cosx)cosxcosx因為sinxx,1-cosx1x22由此看出，當x-0時，tgx-sinx是x的三階無窮小，事實上limsin x(1 cosx)3-x ?cosxlimx 0x?1x22""3"Zx ?cosx此題錯誤解法:解：因為limx 0tgx sin xlimx 0tgx sinx所以，當x-0時,tg x - sin x是x的一階無窮小這種解法是錯誤的，因為由無窮小階的定義

6、,k比的極限不能為零。ln(1 x) ex 1,2求下列函數(shù)的極限(1)1 cosx3x2(2) limx 0tan x sin x(2)(1)1 cosx lim z- x 0 3x21 2 -x=lim 2-x 0 3x2limx 0tan x sin x-3sin x=limx 0sin x(16 cosx)3x cosxsin x(1 cosx)0,1cosx 1x2 ).22.利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有：當x0時,xsinxtanxarcsinxarctanx/121cosxx,2xsin2xtan2x.cosx2sin2=l如0,sin2x2小結(jié)利用等價無窮小可代換整個分子或分母，