第四章留數(shù)定理及其應(yīng)用

1、11第四章第四章 留數(shù)定理及其應(yīng)用留數(shù)定理及其應(yīng)用 224.1 留數(shù)留數(shù) 留數(shù)定理留數(shù)定理一、留數(shù)一、留數(shù)( )0lf z dz 如果如果z=b是是f (z)的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)，l為完全在為完全在z=b鄰域鄰域0|z-b|R內(nèi)的任一繞的簡(jiǎn)單曲線，則內(nèi)的任一繞的簡(jiǎn)單曲線，則: 留數(shù)定理將給處此積分的值留數(shù)定理將給處此積分的值. 根據(jù)單通區(qū)的科希定理，若根據(jù)單通區(qū)的科希定理，若f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=b解析，解析，l為完全在為完全在|z-b|R內(nèi)任意繞的簡(jiǎn)單閉合曲線，則內(nèi)任意繞的簡(jiǎn)單閉合曲線，則: ( )0lf z dz 若若z=b是函數(shù)是函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)，則的孤立奇點(diǎn)，則f (z)可在

2、可在z=b鄰域內(nèi)展成鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù):( )() , (0 |)kkkf zazbzbR 33設(shè)設(shè)l為為0|z-b|R內(nèi)任一繞內(nèi)任一繞z=b的簡(jiǎn)單曲線，將上式兩邊沿的簡(jiǎn)單曲線，將上式兩邊沿l逆逆時(shí)針方向積分時(shí)針方向積分 bRl( )()kkllkf z dzazbdz 根據(jù)第二章的討論：根據(jù)第二章的討論： 01()21klkzbdzik 1( )2lf z dzia 定義定義: f (z)在孤立奇點(diǎn)在孤立奇點(diǎn)z=b鄰域內(nèi)的羅朗展開式中鄰域內(nèi)的羅朗展開式中(z-b)-1項(xiàng)的系項(xiàng)的系數(shù)叫做函數(shù)數(shù)叫做函數(shù)f (z)在在z=b的留數(shù)，記為的留數(shù)，記為:（為鄰域內(nèi)任一沿正向繞的閉合曲線）（為鄰

3、域內(nèi)任一沿正向繞的閉合曲線）11Res ( )( )2lf bf z dzai 44例例 求函數(shù)求函數(shù) 在奇點(diǎn)在奇點(diǎn)z=0和和z=2i上的留數(shù)上的留數(shù). 31( )(2 )f zzzi 解解：f (z)把在把在z=0鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)3311111( )2212f zzziizzi 3310011()22(2 )kkkkkzziizi (0 | 2)z131Res(0)(2 )8ifai 55把把f (z)在在z=2i鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，由于鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，由于 在在z=2i解析，所解析，所以可在展成泰勒級(jí)數(shù)以可在展成泰勒級(jí)數(shù). 31z20123111( )(2 )(2

4、)22f zcc zicziziziz(0 |2 |2)zi10321Res(2 )8ziifiacz二、留數(shù)定理二、留數(shù)定理 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域G的邊界的邊界C為一分段光滑的簡(jiǎn)單閉合曲線為一分段光滑的簡(jiǎn)單閉合曲線. 若除有限個(gè)若除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)bk，k=1,2,3,m外，函數(shù)在外，函數(shù)在G內(nèi)單值解析內(nèi)單值解析. 則：則： 1( )2Res ()mkklf z dzif b 66【證【證】 以各奇點(diǎn)為圓心，以有限小的以各奇點(diǎn)為圓心，以有限小的半徑作圓，把各奇點(diǎn)挖掉，挖掉各奇半徑作圓，把各奇點(diǎn)挖掉，挖掉各奇點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閺?fù)連通區(qū)域，點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閺?fù)連通區(qū)域，f (z)在該復(fù)連在該復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)

5、復(fù)通區(qū)域的科希通區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)復(fù)通區(qū)域的科希定理：定理：1b2bkbmbl1l2lklml12( )( )( )( )mllllf z dzf z dzf z dzf z dz122Res ()2Res ()2Res ()mif bif bif b12Res ()mkkif b 即即f (z)沿閉曲線沿閉曲線l逆時(shí)針方向積分之值，等于逆時(shí)針方向積分之值，等于f (z)在在l所包圍所包圍的區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘于的區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘于2 i. 77三、無限遠(yuǎn)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)時(shí)的留數(shù)三、無限遠(yuǎn)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)時(shí)的留數(shù) oxyl仿照有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)上的留數(shù)的定義，仿照有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)上的留數(shù)的定義，可定義無限

6、遠(yuǎn)點(diǎn)上的留數(shù)：可定義無限遠(yuǎn)點(diǎn)上的留數(shù)：1Res ( )( )2lff z dzi （l為為z= 鄰域內(nèi)任一沿正向繞鄰域內(nèi)任一沿正向繞z= 的簡(jiǎn)單閉曲線），的簡(jiǎn)單閉曲線），注意繞的注意繞的閉曲線的正方向應(yīng)是順時(shí)針方閉曲線的正方向應(yīng)是順時(shí)針方向，向，如圖如圖.在在z= 鄰域內(nèi)的羅朗展開式為鄰域內(nèi)的羅朗展開式為: ( ), |kkkf za zrz 兩邊沿順時(shí)針方向積分兩邊沿順時(shí)針方向積分 1( )2kkkklllkkf z dzaz dzaz dzai 88因此因此f (z)在在z= 的留數(shù)為的留數(shù)為f (z)在在z= 鄰域內(nèi)的羅朗展開式中鄰域內(nèi)的羅朗展開式中z-1項(xiàng)的系數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)的a-1相反數(shù)

7、，即相反數(shù)，即 1Res ( )fa 若若f (z)在有限遠(yuǎn)的可去奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展開式中沒有負(fù)在有限遠(yuǎn)的可去奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng)，冪項(xiàng)， f (z)在有限遠(yuǎn)的可去奇點(diǎn)上的留數(shù)為零；若無限遠(yuǎn)在有限遠(yuǎn)的可去奇點(diǎn)上的留數(shù)為零；若無限遠(yuǎn)點(diǎn)為可去奇點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為可去奇點(diǎn)時(shí)， f (z)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展開式中在無限遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展開式中沒有正冪項(xiàng)，但有負(fù)冪項(xiàng)，所以無限遠(yuǎn)點(diǎn)為可去奇點(diǎn)時(shí)，沒有正冪項(xiàng)，但有負(fù)冪項(xiàng)，所以無限遠(yuǎn)點(diǎn)為可去奇點(diǎn)時(shí)，Res f ( )一般不為零一般不為零. 四、推論四、推論 若函數(shù)若函數(shù)f (z)在復(fù)平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，則函在復(fù)平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析

8、，則函數(shù)數(shù)f (z)在各奇點(diǎn)（包括無限遠(yuǎn)點(diǎn)）上的留數(shù)和為零在各奇點(diǎn)（包括無限遠(yuǎn)點(diǎn)）上的留數(shù)和為零. 此定此定理稱為理稱為留數(shù)和定理留數(shù)和定理. 99【證【證】 設(shè)閉曲線設(shè)閉曲線l把復(fù)平面內(nèi)所有的有限遠(yuǎn)的孤立奇點(diǎn)都包圍把復(fù)平面內(nèi)所有的有限遠(yuǎn)的孤立奇點(diǎn)都包圍在內(nèi)，則：在內(nèi)，則： mk=1( )2Res ()klf z dzif b 無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)為：無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)為： ( )2Res ( )lf z dzif 兩式相加，得：兩式相加，得： mk=1( )( )2Res ()Res ( )kllf z dzf z dzif bf mk=1Res ()Res ( )0kf bf 因此因此 1b2b3b

9、mbl若若f (z)在某一奇點(diǎn)上留數(shù)不好求，可以先計(jì)算其他各點(diǎn)的留在某一奇點(diǎn)上留數(shù)不好求，可以先計(jì)算其他各點(diǎn)的留數(shù)，再用留數(shù)和定理求出該點(diǎn)的留數(shù)數(shù)，再用留數(shù)和定理求出該點(diǎn)的留數(shù). 10104.2 留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法f (z)在奇點(diǎn)上的留數(shù)可根據(jù)留數(shù)的定義，將函數(shù)在奇點(diǎn)上的留數(shù)可根據(jù)留數(shù)的定義，將函數(shù)f (z)在奇在奇點(diǎn)點(diǎn)z=b鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù): 1Res( )f baa-1為該羅朗展開式中為該羅朗展開式中(z-b)-1項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù). 如果要求在如果要求在f (z)無限遠(yuǎn)點(diǎn)上的留數(shù)，可將無限遠(yuǎn)點(diǎn)上的留數(shù)，可將f (z)在鄰域內(nèi)展在鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，成羅朗級(jí)數(shù)，

10、 1Res( )fa a-1為該羅朗展開式中為該羅朗展開式中z-1項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù). 從一般原則來說，只要在以奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域上把函數(shù)從一般原則來說，只要在以奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域上把函數(shù)展開為羅朗級(jí)數(shù)，取它的負(fù)一次冪項(xiàng)目系數(shù)就行了，但展開為羅朗級(jí)數(shù)，取它的負(fù)一次冪項(xiàng)目系數(shù)就行了，但如如果能不作羅朗展開而直接算出留數(shù)果能不作羅朗展開而直接算出留數(shù)，計(jì)算工作量將減輕不，計(jì)算工作量將減輕不少。在應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算回路積分時(shí)，往往會(huì)遇到在極點(diǎn)少。在應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算回路積分時(shí)，往往會(huì)遇到在極點(diǎn)上留數(shù)的計(jì)算上留數(shù)的計(jì)算. 1111若若z=b為為f (z)的單極點(diǎn)，則的單極點(diǎn)，則f (z)在在z=b鄰域內(nèi)的羅

11、朗展開式為：鄰域內(nèi)的羅朗展開式為： 2101211( )()()()kkkf zazbaaa zbazbzb 兩邊同乘以兩邊同乘以z-b，得：，得：231012() ( )()()().zb f zaazba zbazb 令令zb，得：，得： 1Res ( )lim() ( ).zbf bazb f z 寫成：寫成： Res( )() ( ).z bf bzb f z 1212若若z=b是是f (z)的單極點(diǎn)，的單極點(diǎn)，f (z)為有理分式，為有理分式， ，P(z)在在( )( )( )P zf zQ z z=b解析，且解析，且P (b) 0，而，而z=b是是Q(z)的一階零點(diǎn)，即的一階零點(diǎn)，

12、即 ，那么，那么:( )0,z bQ z ( )0z bQ z ( )( )Res ( )lim, Res ( )( )( )zbz bP zP zf bf bQ zQ z 或或【證【證】 () ( )Res ( )lim() ( )lim.( )zbzbzb P zf bzb f zQ z 00型洛必達(dá)法則：洛必達(dá)法則： ( )()( )( )Res ( )limlim( )( )zbzbP zzb P zP zf bQ zQ z若若z=b為為f (z)的的m階極點(diǎn)，則在階極點(diǎn)，則在z=b鄰域內(nèi)的羅朗展開式為：鄰域內(nèi)的羅朗展開式為： (1)(1)( )()()mmmmf zazbazb121

13、012()()()azbaa zbazb (0 |)zbR1313上式兩邊同乘于上式兩邊同乘于(z-b)m得：得： 1(1)10()( )()()()mmmmmzbf zaazbazbazb 1212()()mma zbazb兩邊對(duì)兩邊對(duì)z求導(dǎo)求導(dǎo)m-1次，令次，令zb，則：，則： 111lim()( )(1)!mmmzbdzbf zmadz 1111Res ( )lim()( )(1)!mmmzbdf bazbf zmdz m階極點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算公式階極點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算公式 1414例例1、求、求 在各奇點(diǎn)上的留數(shù)在各奇點(diǎn)上的留數(shù).31( )(2 )f zzzi 解：解：z=0是是f (z)的三

14、階極點(diǎn)，則的三階極點(diǎn)，則 :232330111( 1)( 2)Res(0)limlim.2!28(2 )(2 )zbzdifzdzzzizi z=2i是是f (z)的單極點(diǎn)的單極點(diǎn) ,則：則：321Res (2 )lim(2 )8(2 )ziifizizzi 也可把也可把f (z)寫成寫成 :31( )( )( )2P zzf zQ zzi 3221( )Res(2 )limlim( )18ziziP zizfiQ z1515z= 是是f (z)的可去奇點(diǎn)，應(yīng)用留數(shù)和定理，得：的可去奇點(diǎn)，應(yīng)用留數(shù)和定理，得：Res( )Res (0)Res (2 )0fffi 也可把也可把f (z)在在z=

15、的鄰域展成羅朗級(jí)數(shù)的鄰域展成羅朗級(jí)數(shù): 344400111112(2 )( )()221kkkkkiif zizizzzzzz (2 |)z 顯然上式中顯然上式中z-1項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)a-1=0，故，故 1Res( )0fa 例例2、求、求 在各奇點(diǎn)上的留數(shù)在各奇點(diǎn)上的留數(shù).1( )sinf zz 【解【解】 z=k （ ）是）是f (z)的單極點(diǎn)的單極點(diǎn) 0, 1, 2,k ( )1( )( )sinP zf zQ zz其中其中P(z)=1，Q(z)=sinz，則，則: 11Res()limlim( 1)(sin )coskzkzkf kzz 0, 1, 2,k 1616由于由于z= 不是不

16、是f (z)的孤立奇點(diǎn)（是各奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)（是各奇點(diǎn)z=k 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)的極限點(diǎn)），因此在的極限點(diǎn)），因此在z= 的留數(shù)沒有意義的留數(shù)沒有意義. k 例例3、求、求 在各奇點(diǎn)上的留數(shù)在各奇點(diǎn)上的留數(shù).2( )1zef zz 11Res( 1)lim22zzeefz 121Res( 1)lim(1)12zzeefzz 或或 則則: 1(1)lim22zzeefz21Res(1)lim(1)12zzeefzz或或 z= 是是f (z)的本性奇點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)和定理的本性奇點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)和定理: 1Res( )Res(1)Res( 1)()sh122eef 解：解： 是是f (z)的單極點(diǎn)，的單極點(diǎn)，2(

17、)( ), ( ), ( )1( )zP zf zP zeQ zzQ z1z 1717例例4、求積分：（、求積分：（1） ；（；（2） . | |121(1)zrzdzz z | | 221(1)zzdzz z 解：解：（1） 內(nèi)有一單極點(diǎn)內(nèi)有一單極點(diǎn)z=0，根據(jù)留數(shù)定理：，根據(jù)留數(shù)定理： |1zr| |1212Res (0)(1)zrzdzifz z xyo.12（2）|z=|2內(nèi)有兩個(gè)單極點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)單極點(diǎn)z=0和和z=1，0121212limlim(1)2(11)4(1)(1)zzzzizziiz zz z該結(jié)果于第二章中科希公式求出的結(jié)果相同，用留數(shù)該結(jié)果于第二章中科希公式求出的結(jié)果相同

18、，用留數(shù)定理更加簡(jiǎn)單定理更加簡(jiǎn)單. 0212lim2.(1)zziziz z | | 2212Res(0)Res(1)(1)zzdziffz z 根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理:18184.3 實(shí)函數(shù)定積分的計(jì)算實(shí)函數(shù)定積分的計(jì)算留數(shù)定理的重要應(yīng)用之一就是計(jì)算實(shí)函數(shù)定積分留數(shù)定理的重要應(yīng)用之一就是計(jì)算實(shí)函數(shù)定積分. 基本思路：基本思路：把實(shí)函數(shù)定積分于復(fù)函的閉合回路積分聯(lián)系起來，把實(shí)函數(shù)定積分于復(fù)函的閉合回路積分聯(lián)系起來，再利用留數(shù)定理計(jì)算后者，從而求出實(shí)函定積分再利用留數(shù)定理計(jì)算后者，從而求出實(shí)函定積分. 基本方法：基本方法： （1）作變量變換：）作變量變換：如積分如積分 ，可作變量變換，可作變量

19、變換 ，20( )f x dx Reixz x從從0到到2 ，z則沿以原點(diǎn)為圓心以則沿以原點(diǎn)為圓心以R為半徑逆時(shí)針運(yùn)行為半徑逆時(shí)針運(yùn)行| |( )zRF z dz 一周，原積分變?yōu)椋阂恢?，原積分變?yōu)椋海?）作輔助函數(shù)）作輔助函數(shù). 如求積分如求積分 ，引，引入輔助曲線入輔助曲線C，“變變”直線段為閉合曲線直線段為閉合曲線，作輔助函數(shù)，作輔助函數(shù)F (z)，“變變”實(shí)函為復(fù)函，實(shí)函為復(fù)函，并使并使F (z)在在a到到b的直線段于曲線的直線段于曲線C構(gòu)成閉構(gòu)成閉合曲線合曲線l內(nèi)除有限各孤立奇點(diǎn)外解析，則內(nèi)除有限各孤立奇點(diǎn)外解析，則：( )baf x dx Cxyoab F z F x1919在閉曲

20、線所包圍的區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)上的留數(shù)之和在閉曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)上的留數(shù)之和.( )( )( )baClF x dxF z dzF z dz2( )i F z 其中其中 可以化為原積分可以化為原積分 ，而，而 或或?yàn)闉榱慊蚩杀頌樵e分零或可表為原積分，曲線，曲線C可以是圓弧、半圓弧，圓或直線可以是圓弧、半圓弧，圓或直線段，在許多情況下段，在許多情況下F (z)是是f (x)的延拓函數(shù)的延拓函數(shù)f (z)，但也可能不，但也可能不是是f (z).( )baF x dx ( )baf x dx ( )CF z dz 一、三角函數(shù)有理式的積分一、三角函數(shù)有理式的積分積分積分 ，積分區(qū)間為，積分區(qū)間為0,

21、2 ，R(cos ,sin )為為cos ，sin 的有理函數(shù)的有理函數(shù).20(cos ,sin)Rd 作變換作變換 ，當(dāng)，當(dāng) 從從0到到2 ，z則繞單位圓逆時(shí)針運(yùn)行一周則繞單位圓逆時(shí)針運(yùn)行一周. ize 111, cos, sin22izzzzzei 2020,idzie dizd 1.ddziz 20(cossin),Rd 11| | 1| | 11(,)( )22zzzzzzRdzf z dzizi 例例1、求積分、求積分201.2cosId 【解【解】令令 ize 1.ddziz 1cos2zz 2120| | 1| | 1111212cos4122zzIddzdzzzizizz 23

22、z 22( )(41)f zi zz 為為 的單極點(diǎn)，的單極點(diǎn)， 2121其中其中 在單位圓在單位圓|z|=1內(nèi)，則：內(nèi)，則：23z 2322 32Res( 23)2lim(24)3zIifiiz 例例2、求積分、求積分 201, 012cosIdxx 【解【解】令令 ize 1.ddziz 1cos2zz 1| | 1| | 1211212112zzIdzdzzzizizz 2111z 為為 的單極點(diǎn)的單極點(diǎn). 221( )21f zizz 2222其中一個(gè)極點(diǎn)其中一個(gè)極點(diǎn) 的模為：的模為： 2111z 2222222111211121(1)112(1)111不在不在|z|=1內(nèi)內(nèi) 其中一個(gè)

23、極點(diǎn)其中一個(gè)極點(diǎn) 的模為：的模為： 2111z 221(1)(1)1111| 1(1)(1)1(1)1 故故 在單位圓在單位圓|z|=1內(nèi)，則：內(nèi)，則： 2111z 222111112122Res(1)2212zIifiiz 2323二、有理函數(shù)的積分二、有理函數(shù)的積分積分積分 ，積分區(qū)間（，積分區(qū)間（- , ），），f (x)延拓成延拓成f (z)，滿足：，滿足：( )f x dx 在實(shí)軸上無奇點(diǎn)而在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析；在實(shí)軸上無奇點(diǎn)而在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析；若若f (x)可以寫成有理分式可以寫成有理分式 ( )( )( )g xf xq x 要求要求q (x)無實(shí)零點(diǎn)

24、；無實(shí)零點(diǎn)；該兩個(gè)條件是一致的。該兩個(gè)條件是一致的。 q (x)的最高冪次至少比的最高冪次至少比g (x)的最高冪次高兩次。的最高冪次高兩次。 滿足當(dāng)滿足當(dāng)|z|時(shí)，時(shí)，zf (z)在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。 2424RR xyoRC將將f (x)在復(fù)平面上延拓成在復(fù)平面上延拓成f (z)，則：，則： ( )( )( )RRlRCf z dzf z dzf z dz =2 i f (z)在閉曲線所包圍區(qū)在閉曲線所包圍區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)之和域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)之和.令令R，則：，則： ( )( )RCf x dxf z dz = 2 i f (z)在上半平面所有在上半平

25、面所有有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的留數(shù)之和的留數(shù)之和 max|( )| |( )|( )|( )|RRRRCCCCdzdzdzf z dzzf zzf zzf zzzRmaxmax|( )|( )|Rzf zzf zR 由所給條件當(dāng)由所給條件當(dāng)|z|（R）時(shí)，）時(shí)，zf (z)在上平面和實(shí)在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。軸上一致趨于零。lim( )0RCRf z dz 2525( )2( )f x dxi f z 在在上上平平有有限限遠(yuǎn)遠(yuǎn)奇奇點(diǎn)點(diǎn)面面所所有有上上的的留留數(shù)數(shù)之之和和）例例1、求實(shí)函定積分、求實(shí)函定積分 1.1dxx 2 2【解【解】把把 延拓到復(fù)平面上延拓到復(fù)平面上 ，1( )1f xx

26、 2 21( )1f zz 2 2RR xyoRC21( )2Res ( )2lim()1zif x dxif iiziz 為為f (z)的兩個(gè)單極點(diǎn)，的兩個(gè)單極點(diǎn)，zi 而只有而只有z=i在上平面上在上平面上 ，且，且2( )01zzf zz 當(dāng)當(dāng)|z|時(shí)，時(shí)，例例2、求實(shí)函定積分、求實(shí)函定積分 1.(1)ndxx 2 2【解【解】把把 延拓到復(fù)平面上延拓到復(fù)平面上 ，1( )(1)nf xx 2 21( )(1)nf zz 2 22626z=i為為f (z)在上半平面上的在上半平面上的n階奇點(diǎn)，階奇點(diǎn)，2| |lim( )0(1)nzzzf zz 且且 11211( )2Res( )2li

27、m()(1)!(1)nnnnzidf x dxif iizindzz 11112lim(1)!()nnnzidindzzi 211()(1)(1)12lim(1)!()nzinnnninzi 1211( )(1)(22)2lim(1)!()nnzin nninzi 1211( )(1)! (1)(22)2lim(1)!(1)!()nnzinn nninnzi 27271222211( 1)(22)!(22)!2(1)!( 1)2(1)!(1)!2nnnnnninnni 留數(shù)定理求有理函數(shù)積分的步驟：留數(shù)定理求有理函數(shù)積分的步驟： 檢驗(yàn)條件：檢驗(yàn)條件：積分區(qū)間為（積分區(qū)間為（, ）；若）；若 ，

28、q (x)無無( )( )( )g xf xq x 實(shí)零點(diǎn)，實(shí)零點(diǎn)，q (x)的最高冪次至少比的最高冪次至少比g (x)的高兩次的高兩次; 作函數(shù)延拓：作函數(shù)延拓： f (x)f (z); 找出奇點(diǎn)：找出奇點(diǎn)：上半平面上的所有有限遠(yuǎn)的奇點(diǎn)。上半平面上的所有有限遠(yuǎn)的奇點(diǎn)。 計(jì)算留數(shù)：計(jì)算留數(shù)：上半平面上所有有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的留數(shù)之和再乘上半平面上所有有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的留數(shù)之和再乘于于 2 i. 2(22)!(22)!nn 2!2 4 6n 其中其中2828廣義積分科希主值：廣義積分科希主值： 考慮積分考慮積分 ，其中，其中c點(diǎn)（點(diǎn)（a c 0，CR為以原點(diǎn)為圓心以為以原點(diǎn)為圓心以R為半徑位于上半為半徑位于上

29、半平面上的半圓周，且當(dāng)平面上的半圓周，且當(dāng)|z|時(shí)，時(shí)，f (z)在上半平面和實(shí)軸上在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零，則一致趨于零，則 :lim( )0RimzCRf z edz （證明略）（證明略）( )cos, ( )sinf xmxdxf xmxdx積分積分此類型的積分的積分區(qū)間為此類型的積分的積分區(qū)間為(- , )，f (z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析；且當(dāng)在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析；且當(dāng)|z|時(shí)，時(shí)，f (z)在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零，則：在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零，則：( )cos( )sinf xmxdxif xmxdx 2 ( )i

30、mzi f z e 所所包包圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)各各奇奇點(diǎn)點(diǎn)上上的的留留數(shù)數(shù)之之和和 3131RR xyoRC【證【證】作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) ( )( )imzF zf z e ( )( )RimximzCf x edxf z edz 2 ( )imzi f z e 所所包包圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)各各奇奇點(diǎn)點(diǎn)上上的的留留數(shù)數(shù)之之和和 令令R，根據(jù)約當(dāng)引理，根據(jù)約當(dāng)引理: lim( )0RimzCRf z edz ( )2 ( )imximzf x edxi f z e 所所包包圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)各各奇奇點(diǎn)點(diǎn)上上的的留留數(shù)數(shù)之之和和 ( )cos( )sinf xmxdxif xmxdx 2 ( )imzi

31、 f z e 所所包包圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)各各奇奇點(diǎn)點(diǎn)上上的的留留數(shù)數(shù)之之和和 （注意：上式中是（注意：上式中是 而不是而不是 和和 的留數(shù)值）的留數(shù)值） ( )imzf z e( )cosf zmx( )sinf zmx3232例例1、求積分、求積分 220cos, (0,0)mxIdxmaxa RR xyoRC【解【解】如圖作輔加曲線，輔助函數(shù)：如圖作輔加曲線，輔助函數(shù)：221( )( )imzimzF zf z eeza 22| | |1lim( )lim0zzf zza根據(jù)約當(dāng)引理：根據(jù)約當(dāng)引理： 221lim0RimzCRedzza f (z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，z=ai為為

32、f (z)在上半平面的單極點(diǎn)在上半平面的單極點(diǎn) 222211lim2Res()RimximzCRedxedziF aixaza 2222cossinmxmxdxidxxaxa 2212lim()22maimzmazaieizaieieaiaza 3333比較其實(shí)、虛部，有：比較其實(shí)、虛部，有： 2222cossin, 0mamxmxdxedxaxaxa 奇函數(shù)對(duì)稱區(qū)奇函數(shù)對(duì)稱區(qū)間積分必為零間積分必為零 22220cos1cos22mamxmxIdxdxeaxaxa 例例2、求積分、求積分 2220sin, (0,0)()xmxdxmaxa 【解【解】輔助函數(shù)：輔助函數(shù)：222( )( )()i

33、mzimzzF zf z eeza f (z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，z=ai為為f (z)在上半平面的二在上半平面的二階極點(diǎn)；當(dāng)階極點(diǎn)；當(dāng)|z|，f (z)0. 222222lim2Res()()()RimximzCRxezedxdziF aixaza 3434222222cossin()()xmxxmxdxidxxaxa 222212lim()1!()imzzaidzeizaidzza 24()()2()2lim()imzimzimzzaieimzezaizai zeizai 3(1)()22lim()imzzaiimz zaiziezai 3(1) 2222(2)mamamaai

34、aimieieaai 比較實(shí)、虛部，可得比較實(shí)、虛部，可得 :222sin2()maxmxmdxeaxa 2222220sin1sin()2()4maxmxxmxmIdxdxexaxaa 3535例例3、求積分、求積分 1222cossin, 4545xxIdxIdxxxxx【解【解】輔助函數(shù)：輔助函數(shù)：21( )( )45imzimzF zf z eezz 在實(shí)軸無奇點(diǎn)，在上半平面上有在實(shí)軸無奇點(diǎn)，在上半平面上有21( )45f zzz 單極點(diǎn)單極點(diǎn) ；且當(dāng)；且當(dāng)|z|時(shí)，時(shí)，f (z)0，則：，則：2zi 22lim2Res ( 2)4545RixizCReedxdziFixxzz 222

35、cossin2lim244545izzixxedxidxizxxxx 1 212(cos2sin2)2ieieii 3636112coscos245xIdxexx 122sinsin245xIdxexx 例例4、求積分、求積分0sin.xdxx 【解【解】輔助函數(shù)：輔助函數(shù)： izizeF zf z ezrCRCxyoRRrr 在上平面上無奇點(diǎn)，在上平面上無奇點(diǎn)， 1f zz 在實(shí)軸上有單極點(diǎn)在實(shí)軸上有單極點(diǎn)z=0，故作，故作Cr繞過繞過z=0點(diǎn)；點(diǎn)； | | |1limlim0zzf zz且且 因此，因此， 0rRixizixizrRRCrCeeeedxdzdxdzxzxz 3737令令r0

36、，R，根據(jù)約當(dāng)引理：，根據(jù)約當(dāng)引理： lim0,RizCRedzz 000lim0rixixizCreeedxdxdzxxz 0limrixizCreePdxdzxz 把把 在在z=0的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù): izeF zz 230111111!2!3!izkkeizizizizzzkz 211112!3!iizizG zzz 其中其中 2112!3!G ziiziz 為為z=0鄰域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)，故鄰域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)，故G (z)在在z=0解析，則：解析，則：3838 00011limlimlimrrrixCCCrrrePdxG zdzdzG z dzxzz 01lim,rCr

37、dzz izre 對(duì)積分對(duì)積分設(shè)設(shè)，則：，則：0001limlimriiCrriredzdizre 對(duì)積分對(duì)積分 0limrCrG z dz 的值進(jìn)行估計(jì)：的值進(jìn)行估計(jì)： |rrCCG z dzG zdz maxmax|rCG zdzG zr 由于由于G (z)在在z=0解析，則在解析，則在z=0連續(xù)，連續(xù)，G (z)在在Cr上必上必有界，因此有界，因此 0lim0rCrG z dz 3939cossinixexxPdxPdxiPdxixxx sin xPdxx 0sin2xdxx 推論：推論：當(dāng)當(dāng)m0時(shí)，時(shí)， 000sinsinsin2mxmxxdxd mxdxxmxx 000sinsins

38、in2mxmxxdxd mxdxxmxx 當(dāng)當(dāng)m0時(shí)，時(shí)，4040（四）廣義積分科西主值的計(jì)算定理（四）廣義積分科西主值的計(jì)算定理定理定理1:對(duì)于積分對(duì)于積分 fx dx 若若 : |z|時(shí)，時(shí)，zf (z)在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零；在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零；則：則： 112ResResknmlmlPfx dxif aif b 其中其中am (m=1,2,k)為在上半平面上的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)。為在上半平面上的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)。 f (z)在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在實(shí)在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在實(shí)際軸上有際軸上有n個(gè)一階極點(diǎn)個(gè)一階極點(diǎn)b1，b2，bn.4141定理定理2對(duì)于

39、積分對(duì)于積分 ，若，若 : ,(0)imxfx edxm |z|時(shí)，時(shí)，f (z)在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零；在上半平面和實(shí)軸上一致趨于零； f (z)在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在實(shí)在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在實(shí)際軸上有際軸上有n個(gè)一階極點(diǎn)個(gè)一階極點(diǎn)b1，b2，bn.則：則： 112ResResknimxmlmlPfx edxiF aiF b 其中其中am (m=1,2,k)為在上半平面上的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)。為在上半平面上的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)。輔助函數(shù)輔助函數(shù): imzF zf z e 4242例例1 1、求積分、求積分31dxIPx 【解【解】輔助函數(shù)輔助函數(shù) 311f zz 上

40、半平面的奇點(diǎn)上半平面的奇點(diǎn) ，實(shí)軸上的單極點(diǎn)，實(shí)軸上的單極點(diǎn)z=1； 132iz 3| | |limlim1zzzzf zz 在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。 3132ResRes121dxiPififx 2211321132limlim333ziziizz 4343例例2、求積分、求積分0sin xdxx 【解【解】輔助函數(shù)輔助函數(shù) 1izizF zf z eezf (z)在上半平面無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)在上半平面無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)z=0； | | |1limlimzzf zz 在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。在上平面和實(shí)軸上一致趨于零。 0Res0limixiz

41、zeePdxiFizixz cossinxxPdxiPdxixx sin xPdxx 0sin2xIdxx 4444例例3、求積分、求積分220sin xdxx 【解【解】222sin1cos2,xxxx 2212izeF zz 輔助函數(shù)輔助函數(shù)F (z)在上半平面無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)在上半平面無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)z=0； 2| | |1limlim0;2zzzf zzz2222211limlimlim0222RRRi zi zCCCRRReedzdzdzzzz 2222011Res0lim22i xi zzeePdxiFizxz 220012limlim22i zi zzzei ei

42、iz221cos2sin222xxPdxiPdxxx 2221cos2sin22xxPdxPdxxx 220sin22xIdxx 4545xyor rRR rCRC220sin, (0,0).()mxIdxmax xa 例例4、求積分、求積分【解【解】輔助函數(shù)輔助函數(shù) 22( )()imzeF zz za 221( )()f zz za 在上平面有奇點(diǎn)在上平面有奇點(diǎn)z=ai，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)，在實(shí)軸上有單極點(diǎn)z=0； 22| | |1limlim0;()zzf zz za 222Res ()Res (0)()imxePdxiF aiiFx xa 222202lim()lim()()imzimzzaizeeizaiizz zaz za22212(1)2mamaeiiieaaa 464622222cossin(1)()()mamxmxPdxiPdxiex xax xaa 222sin(1)()mamxPdxex xaa 2220sin(1)()2mamxIdxex xaa ( ,0)a b 20coscos,axbxIdxx 例例5 求積分求積分【解【解】輔助函數(shù)輔助函數(shù) 2( )iazibzeeF zz xyor rRR rCRCF (z)在上半平面上無奇點(diǎn)，在實(shí)在上半平面上無奇點(diǎn)，在實(shí)軸上有單