線性代數(shù)(同濟(jì)六版)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、1.二階行列式對(duì)角線法則：fl12=alla22a12a212.三階行列式對(duì)角線法則按行（列）展開法則U21“22aaiiis&“一鳴科+%聲3科”一科3戶”戶科”814,戶門aaSI«3.全排列：n個(gè)不同的元素排成一列所有排列的種數(shù)用P”表示，Pn=n!逆序數(shù)：對(duì)于排列P1P2P”，如果排在元素Pi前面，且比Pi大的元素個(gè)數(shù)有G個(gè)，則Pi這個(gè)元素的逆序數(shù)為tj。整個(gè)排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。n個(gè)元素的所有排列中，奇偶各占一半，即與對(duì)換：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.a31a a 3>3

2、3a” a33=s(-iy其中：；172；3是123的一個(gè)排列，%熄2&'%01八/3）是排列Jiiziz的逆序數(shù)5.下三角行列式:對(duì)角行列式:322an26.行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列副三角跟副對(duì)角相識(shí) 0=311a224n副對(duì)角行列式:aA2n（ira.=（-1）2認(rèn)A（轉(zhuǎn)置：行支列，列交行）.。二DT:變號(hào).推論：兩行（列）相同的行列式值為零。互換兩行：。一 rj行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式。第i行乘匕右xk 推論:行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面行列式中如果有兩行（列

3、）元素成比例，則此行列式等于。若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.如第j列的k倍加到第i列上：g 十九勺7 .重要性質(zhì)：利用行列式的性質(zhì)n+kj或q+kCj,可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計(jì)算n階行列式的值。（P11頁(yè)例7）8 .行列式按行（列）展開法則（*重要*）重要概念：余子式：在n階行列式中，把元素為所在的第/行和第j列劃去，剩下的（。-1）?個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成的階行列式叫做的的余子式，記為代數(shù)余子式：記&=（-）可酎為元素%的代數(shù)余子式重

4、要性質(zhì)，定理1）第i行各元素的余子式，代數(shù)余子式與第i行元素的取值無關(guān)。2）行列式按行（列）展開法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,。=ailAil+a2A2+ainAxn或。=+Q2jA2j+推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即%3八十%2AJ2+aiAn=0i工j或+a2iA2J+%人,=0iHj使用該法則計(jì)算行列式的值：先選取存在最多。的行（列其從該行選取一個(gè)非。元素%,并將該行其他元素通過性質(zhì)化為0,則。7219 .利用Cramer法則求解n個(gè)n元線性方程組：若非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，

5、則方程組有唯一解。等于0,則無解其中巧（j=12.n）是把系數(shù)行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的的n階行列式=diag（4,4,，4）01萬-14°lna2,j-lAa2nO-c«bnOQ上j-1nnn對(duì)于齊次線性方程組，如果系數(shù)行列式DH0,則該方程組只有零解，若D=0,則存在非零解。第二章1 .矩陣相關(guān)的概念：矩陣：由mXn個(gè)數(shù)為（i=l,2,m;j=l,2,n）排成的m行列的數(shù)表（是一組數(shù)）。行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量.同型矩陣：行數(shù)，列數(shù)均相等的兩個(gè)矩陣A=B：矩陣A和矩陣B為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)的元素相等.零矩陣：所有

6、元素為。的矩陣，記為0,不同型的零矩陣是不相等的。對(duì)角矩陣：對(duì)角線元素為'4,其余元素為。的方陣單位矩陣：對(duì)角線元素為1,其余元素為。的方陣,AA4=2 .矩陣的運(yùn)算1）加法：只有兩個(gè)矩陣為同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.A+B等于對(duì)應(yīng)元素相加起來。滿足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘（Ml孫2w門（助ml助7助,(4+)A=NA+A,4(A+5)=4A+/iB3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；4mxsxBsxn乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；Cmxn%=*+%羯-+叫=卒網(wǎng)即：乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個(gè)矩陣的第i行元素與后一

7、個(gè)矩陣的第j行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加.注意：一般情況下：AB工BA.但是滿足結(jié)合律和分配律.EA=AE=A4）矩陣的塞：若A是階方陣，則：kt屋=AA2心=A屋一】顯然：AA=A*，（4）=A（AB）k=AkBk"（A+B）2=A2+2AB+B2.a、b可交換時(shí)才成立（A+B）（A-B）=A2-B23.矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作川.如:2 2、ttM： (1) (Ar)r = A;(3) (AA)r = AAr;14)A1=25;J8,(2) (A+B)r=A7+8;(4)(abY=btat.設(shè)A為n階方陣，如果滿足慶=47，即4了=%丁，則A為對(duì)稱陣如果滿

8、足A=-屐，即=-%，則A為反對(duì)稱陣4 .方陣的行列式：由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作13或detA性質(zhì)，|4"=|A|,|/A|=/T|A|,®AB=AB.Ai42注意：元素%的代數(shù)余子式A"是位于5,伴隨矩陣：其中A。是勾的代數(shù)余子式，A,稱為A的伴隨矩陣。（特別注意符號(hào)）4*的第j行第i列（類似于轉(zhuǎn)置）性質(zhì)：44"=A*A=AE6.逆矩陣：對(duì)于。階方陣4如果有n階方陣8,使得AB=BA=E,則稱A可逆,B為A的逆矩陣，記為且A的逆矩陣是唯一的.判斷方陣A是否可逆：|*0=A可逆，且逆矩陣尸=Qr推論：若|用豐0,則|4一1

9、|=看。此時(shí)稱A為非奇異矩陣.若=0,則稱A為奇異矩陣.二階矩陣的逆矩陣：主對(duì)角線兩數(shù)對(duì)調(diào)，副對(duì)角線兩數(shù)反號(hào)八二（二：）一>=士d*）c«/adbea/單位矩陣E是可逆的E=E-L零矩陣是不可逆的。對(duì)角矩陣的逆矩陣：對(duì)角線上每個(gè)元素取倒數(shù).推論：如果n階方陣46可逆，那么A一1、At、AA（人/0）、AB也可逆且，（4-1廠】=4,（4,尸=（4-1）7,（5）|父】|=-】（AA）-1=-A-（AB）-1=用逆矩陣求解線性方程組：已知AXB=C,若AB可逆，則X=ACB-1（A在X左邊，貝!）4-1必須在C左邊，B也如此）7 .矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊

10、，這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊,每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運(yùn)算：（其運(yùn)算與矩陣運(yùn)算基本一致）1）加法：要求矩陣A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法（即相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子塊也是同型的）2）分塊矩陣A的轉(zhuǎn)置屋：除了A整體上需轉(zhuǎn)置外，每一個(gè)子塊也必須得轉(zhuǎn)置。8 .分塊對(duì)角矩陣：（4、設(shè)4是。階矩陣，若：AA的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，4=,其余子塊都為零矩陣J對(duì)角線上的子塊都是方陣IAJ則稱A為分塊對(duì)角矩陣。/A.ittM：IAI=141141I4|1若IAIQ,則MI*0,并且r=4分塊副對(duì)角矩陣：.J）"人=。的充分必要條

11、件：AtA第三章1.初等行變換：（運(yùn)算符號(hào)：注意與行列式的運(yùn)算加以區(qū)分互換兩行，記做J第i行乘以非0常數(shù)k,記做xk第j行的k倍加到第i行上，記做心+k-2,若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換成矩陣B,則稱A與B等價(jià)，記做的充要條件是存在m階可逆矩陣P及"階可逆矩陣Q，使"Q=83 .矩陣之間等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：反身性：AA對(duì)稱性：若48,則BA卷港遞性：若43,BC,貝必C4 .行階梯形矩陣：1）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；2）每個(gè)臺(tái)階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：4）非零行的首非零元為1；5）首非零元所在的列的其它元素都為零.5 .初等

12、矩陣：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對(duì)換Lj行，記作Em（iJ）E,n（iJ）T=Em（iJ）2）以常數(shù)20乘單位矩陣第i行（列），記作/（i（A）Em（i（A）T=Em（ig）3）以乘單位矩陣第j行加到第i行，記作J小,姑）?。ㄓ啠ㄍ馐?號(hào)式"（一九）性質(zhì)1：左行右列設(shè)A是一個(gè)mXn矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在，的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.性質(zhì)2：方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣PlPl,即使A=%P2,P,.推論：方陣A可逆的充要條件是4二E如果,則存在可逆矩陣P

13、,使PA=B00(A,E)(B,P)：即當(dāng)A變換成B是時(shí)，E變?yōu)镻(求P)求方陣A的逆矩陣方法總結(jié):方法1：判斷A可不可逆：若R0oA可逆一書中P41頁(yè)力T=京a”:注意伴陵矩陣?yán)锩總€(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)的符號(hào)方法2：本身蘊(yùn)含了判斷A可不可逆的條件，即A£E=A可逆一書中P64頁(yè)例2(A,E)£(E)T)：即對(duì)矩陣(A,E)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，E就變成了所求的A-1求>1一1處該方法用來求方程組AX=BcX=AB一若XA=B,可先化為ATXT=BT方法：(48)工(E,4-5)：即對(duì)矩陣(AB)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，B就變成了所求的AB二、矩陣的秩lk階子

14、式：在mXn矩陣A中，任取k行k列(kSm,k<n)f位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式,稱為矩陣A的k階子式.mXn矩陣A的k階子式共有琮個(gè)2.矩陣的秩：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A).零矩陣的秩等于0常用：1)對(duì)于n階方陣A,R(A)=n(稱A滿秩)=A#0oA可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2)若AB,則R(A)=R(B)3)對(duì)于行階梯形矩陣，它的秩等于三總行的行數(shù)4)R(At)=R(A)5)若P、Q可逆，則R(PAQ

15、)=R(A)(VA-B=PAQ=B)即：可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會(huì)改變所乘矩陣A的秩6)maxR(A),R(B)<R(A,B)<R(A)+R(B)當(dāng)B=b為非零列向量時(shí)，R(A)<R(A,B)<R(A)+17) R(A*B)<R(A)*R(B)8) R(AB)<vninR(A),K(B)3.線性方程組的解一 P75頁(yè)例13 P79頁(yè)17題n元非齊次線性方程組Ax=b1)無解=R(A) vR(4b)2)有解=R(A)=R(A,b)有唯一解Q R=R(A,b) = zi有無限解。RG4) = R(4b) < nn元齊次線性方程組Ax=b有非零解o匹4

16、)va第四章一、向量組及線性組合1 .n維向量：，個(gè)有次序的數(shù)如，,%所組成的數(shù)組。這n個(gè)數(shù)稱為該向量的。個(gè)分量,第/個(gè)數(shù)內(nèi)稱為第i個(gè)分量.2 .向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量(行向量)所組成的集合3 .給定向量組A-，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)的,魚，Am,表達(dá)式+.+kmam稱為向量組，的一個(gè)線性組合.心稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).4 .給定向量組4打牝,心和向量b,如果存在一組實(shí)數(shù),使得b=八。1+/如+.+/,am則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組4的線性表示.向量b能由向量組A的線性表示=R(A)=R(A,b)Q方程組勺。1+通+%,=方有解5 .設(shè)有向量組A：生,的,%及B：瓦也

17、，瓦,若向量組B中的每個(gè)向量都能由向量組4線性表示，則稱向量組8能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).兩個(gè)向信組等價(jià)oR(A)=R(B)=R(A,B)6 .向量組B能由向量組A線性表示"存在矩陣K,使8=掰0矩陣方程AX=B有解=R(A)=R(AB)=>R(B)<R(A)(這是必要條件)二、向量組的線性相關(guān)性1 .給定向量組4.,明,如果存在不全為零的實(shí)數(shù)Ai,后,，使得+2+.+kma,=O(零向量)則稱向量組,是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的.2 .只含一個(gè)向量。的向量組A,當(dāng)=0時(shí)，A線性相關(guān)；a工0時(shí)，A線性無關(guān)只含兩個(gè)

18、向量初例的向量組A,線性相關(guān)=】,死的分量對(duì)應(yīng)成比例.向量組4a1,如,%(也2)線性相關(guān)=向量組A中至少存在一個(gè)向量能由其余ml個(gè)向量線性表示。3 .向量組，線性相關(guān)0m元齊次線性方程組Ar=0有非零解R(A)<m向量組4線性無關(guān)om元齊次線性方程組4x=。只有零解oR(A)=m4n維單位坐標(biāo)向量組E：e】,。,，金，是線性無關(guān)的，且是最大的線性無關(guān)組之一.維單位坐標(biāo)向量組E：燈,e”能由向量組A：»線A(A)=5 .定理1)若向量組A：S,%線性相關(guān)，則向量組8：，0m,-1也線性相關(guān).其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān).2)m個(gè)外維向量組成的向量

19、組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)，一定線性相關(guān).特別地，+1個(gè)"維向量一定線性相關(guān).3)設(shè)向量組a：%金,線性無關(guān)，而向量組B：aDaltam,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1 .設(shè)有向量組A,如果在A中能選出r個(gè)向量為%.,叫滿足向量組4：ah02,ar線性無關(guān)；向量組A中任意r+1個(gè)向量(如果A中有r+1個(gè)向量的話)都線性相關(guān)；那么稱向量組4是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組.最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，記作心.以0向量組A中向量的個(gè)數(shù)只含導(dǎo)向量的向量組沒有最大無關(guān)組，秩二。.2 .向量組A和它自己的最大無關(guān)組4是等價(jià)的.推論：向量組4線性無關(guān)；向量組4中任意一個(gè)向量都能由向量組4線性表示；那么稱向量組4是向量組4的一個(gè)最大無關(guān)組.3 .全體n維向量構(gòu)成的向量組記作不，向量組E是肥的一個(gè)最大無關(guān)組，且/T的秩等于n4 .矩陣的秩等于它的列(行)向量組的秩,5 .矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。4 一6 2-236-9743=B30如:向量組4:cti,Oi,a3,a