初賽第1講有效數(shù)字

1、初賽第1講 有效數(shù)字1. 1.在化學(xué)計算和化學(xué)實驗中正確使用有效在化學(xué)計算和化學(xué)實驗中正確使用有效數(shù)字?jǐn)?shù)字內(nèi)容要求：內(nèi)容要求：4.4.實驗方法對有效數(shù)字的制約實驗方法對有效數(shù)字的制約2.2.定量儀器（天平、量筒、移液管、滴定定量儀器（天平、量筒、移液管、滴定管、容量瓶等等）測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字管、容量瓶等等）測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字3.3.數(shù)字運算的約化規(guī)則和運算結(jié)果的有效數(shù)字運算的約化規(guī)則和運算結(jié)果的有效數(shù)字?jǐn)?shù)字1.1.準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度表示測量值與真實值的符合程度。測量值與真表示測量值與真實值的符合程度。測量值與真實值愈接近，測量愈準(zhǔn)確。準(zhǔn)確度的高低用誤差大實值愈接近，測量愈準(zhǔn)確。準(zhǔn)確度的高低用誤差大小

2、表示。小表示。2.2.誤差誤差 絕對誤差絕對誤差(E): 表示測量值與真實值之差，簡稱誤差表示測量值與真實值之差，簡稱誤差 E=Xi-XT測量值測量值 真實值真實值 相對誤差相對誤差(RE): 絕對誤差與真實值之比，常用百分絕對誤差與真實值之比，常用百分 率表示率表示 RE=E/XT100%例：例：實驗測得過氧化氫溶液的含量實驗測得過氧化氫溶液的含量 w(H2O2)為為0.2898，若試樣中過氧化氫的實值若試樣中過氧化氫的實值w(H2O2)為為0.2902，則測量，則測量結(jié)果的絕對誤差和相對誤差分別是多少？結(jié)果的絕對誤差和相對誤差分別是多少？E=0.2898-0.2902=-0.0004RE=

3、(-0.0004)/0.2902100%=-0.14%結(jié)論結(jié)論: E和和RE都有正負之分。正值表示分析結(jié)果偏高都有正負之分。正值表示分析結(jié)果偏高,負值表示分析結(jié)果偏低。其中負值表示分析結(jié)果偏低。其中RE能反映誤差在真實能反映誤差在真實結(jié)果中所占的比例，這對于比較在各種情況下測定結(jié)果中所占的比例，這對于比較在各種情況下測定結(jié)果的準(zhǔn)確度更為方便，所以分析結(jié)果的準(zhǔn)確度用結(jié)果的準(zhǔn)確度更為方便，所以分析結(jié)果的準(zhǔn)確度用RE表示更具實際意義。表示更具實際意義。1.1.精密度精密度表示在相同條件下，同一試樣的重復(fù)測定值之表示在相同條件下，同一試樣的重復(fù)測定值之間的符合程度。精密度高低用偏差大小表示。間的符合程

4、度。精密度高低用偏差大小表示。相對偏差相對偏差(Rd)：是絕對偏差與平均值之比，常用：是絕對偏差與平均值之比，常用 百分率表示。百分率表示。 Rd=d/X100% 準(zhǔn)確度與精密度是兩個不同的概念，精密是準(zhǔn)準(zhǔn)確度與精密度是兩個不同的概念，精密是準(zhǔn)確的前提。確的前提。2.2.偏差偏差絕對偏差絕對偏差(d)：是某一測定值：是某一測定值Xi與平均值與平均值X之差。之差。 d= XiX測量儀器測量儀器 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度分析天平分析天平 托盤天平托盤天平 10mL量筒量筒 移液管移液管 滴定管滴定管 容量瓶容量瓶 0.0001g0.1g0.1mL非常準(zhǔn)確非常準(zhǔn)確0.01mL非常準(zhǔn)確非常準(zhǔn)確例例1：甲、乙、丙三

5、位同學(xué)讀取滴定管中一定量液甲、乙、丙三位同學(xué)讀取滴定管中一定量液體的體積，分別得到體的體積，分別得到23.43mL、23.42mL、23.44mL三個數(shù)據(jù)。試說明這是為什么？是不是這三位同學(xué)三個數(shù)據(jù)。試說明這是為什么？是不是這三位同學(xué)讀數(shù)出現(xiàn)了錯誤？讀數(shù)出現(xiàn)了錯誤？準(zhǔn)確數(shù)字：準(zhǔn)確數(shù)字：根據(jù)刻度直接讀出的數(shù)字根據(jù)刻度直接讀出的數(shù)字可疑數(shù)字：可疑數(shù)字：沒有刻度估計出來的數(shù)字（只能有一位）沒有刻度估計出來的數(shù)字（只能有一位）讀數(shù)相對誤差：讀數(shù)相對誤差：1 12343234310001000RERE= = =0.40.4討論：討論：（1 1）若要求中和滴定測量時的相對誤差小于）若要求中和滴定測量時的相

6、對誤差小于1，對，對滴定劑的體積有何要求？滴定劑的體積有何要求？（2 2）如何減少滴定誤差？）如何減少滴定誤差？措施：措施：增加試劑用量；增加試劑用量；盡可能在第一次讀數(shù)時調(diào)節(jié)盡可能在第一次讀數(shù)時調(diào)節(jié)液面位置剛好在刻度線上；液面位置剛好在刻度線上；多次測定，求平均值等。多次測定，求平均值等。有效數(shù)字：有效數(shù)字：指測量中得到的有實際意義的數(shù)值。指測量中得到的有實際意義的數(shù)值。有效數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)字有效數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)字+1+1位可疑數(shù)字位可疑數(shù)字1.1.有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)分析方法與儀器的準(zhǔn)確有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)分析方法與儀器的準(zhǔn)確度來決定，一般使測得的數(shù)值中只有最后一位是可

7、疑度來決定，一般使測得的數(shù)值中只有最后一位是可疑的。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、倍數(shù)等有效數(shù)字位數(shù)視作無限的。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、倍數(shù)等有效數(shù)字位數(shù)視作無限例：例：分析天平稱得某物質(zhì)質(zhì)量為分析天平稱得某物質(zhì)質(zhì)量為0.5000g，其有效，其有效數(shù)字位數(shù)為數(shù)字位數(shù)為4，不能記作，不能記作0.5g。前者表明稱得物質(zhì)。前者表明稱得物質(zhì)質(zhì)量為質(zhì)量為0.5000g，且其稱量誤差為，且其稱量誤差為0.0001g，后者，后者表明稱得物質(zhì)質(zhì)量為表明稱得物質(zhì)質(zhì)量為0.5g，且其稱量誤差為，且其稱量誤差為0.1g。2.2.有效數(shù)字的中有效數(shù)字的中“0”0”的意義的意義 “0”在有效數(shù)字中有兩種意義：一種是作為數(shù)在有效數(shù)字中有兩種意義：

8、一種是作為數(shù)字定值，另一種是有效數(shù)字。字定值，另一種是有效數(shù)字。 例如在分析天平上稱量物質(zhì)，得到如下質(zhì)量：例如在分析天平上稱量物質(zhì)，得到如下質(zhì)量： 6位位 5位位 4位位 3位位 數(shù)字中間的數(shù)字中間的“0”和末尾的和末尾的“0”都是有效數(shù)字，都是有效數(shù)字，而數(shù)字前面所有的而數(shù)字前面所有的“0”只起定值作用。只起定值作用。以以“0”結(jié)尾結(jié)尾的正整數(shù)，有效數(shù)字的位數(shù)不確定。的正整數(shù)，有效數(shù)字的位數(shù)不確定。 科學(xué)計數(shù)法：科學(xué)計數(shù)法：4.5103 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字4.50103 3 位有效數(shù)字位有效數(shù)字4.500103 4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字 很大或很小的數(shù)，常用很大或很小的數(shù)，常用10的乘方

9、表示。當(dāng)有的乘方表示。當(dāng)有效數(shù)字確定后，在書寫時一般只保留一位可疑數(shù)效數(shù)字確定后，在書寫時一般只保留一位可疑數(shù)字，多余數(shù)字按數(shù)字修約規(guī)則處理。字，多余數(shù)字按數(shù)字修約規(guī)則處理。 3.3.有效數(shù)字位數(shù)與相對誤差的關(guān)系有效數(shù)字位數(shù)與相對誤差的關(guān)系例：例：設(shè)下列三個數(shù)的最后一位數(shù)字都有設(shè)下列三個數(shù)的最后一位數(shù)字都有1的絕對的絕對誤差，則它們的相對誤差分別為多少？誤差，則它們的相對誤差分別為多少？0.0121、25.64、1.0578210008 (3位位)11211256410000.4 (4位位)110578210000.009 (6位位)有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差越小，準(zhǔn)確度越高有效數(shù)字位數(shù)越多，

10、相對誤差越小，準(zhǔn)確度越高 測量結(jié)果所記錄的數(shù)字，應(yīng)與所用儀器測量測量結(jié)果所記錄的數(shù)字，應(yīng)與所用儀器測量的精密度相適應(yīng)的精密度相適應(yīng)這一法則的具體運用如下：這一法則的具體運用如下：4.4.有效數(shù)字修約規(guī)則有效數(shù)字修約規(guī)則四舍六入五成雙，即當(dāng)尾數(shù)四舍六入五成雙，即當(dāng)尾數(shù)4時舍去，尾數(shù)時舍去，尾數(shù)6時進位。當(dāng)尾數(shù)為時進位。當(dāng)尾數(shù)為5時，則應(yīng)視被保留末位數(shù)字時，則應(yīng)視被保留末位數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)，是奇數(shù)還是偶數(shù)，5前為偶數(shù)應(yīng)將前為偶數(shù)應(yīng)將5舍去，舍去，5前為奇前為奇數(shù)應(yīng)將數(shù)應(yīng)將5進位。進位?！八纳崃胛宄呻p四舍六入五成雙”法則：法則：a. 將將28.175和和28.165處理成處理成4位有效數(shù)字，則分

11、別為位有效數(shù)字，則分別為 28.18和和28.16。b. 若被舍棄的第一位數(shù)字大于若被舍棄的第一位數(shù)字大于5，則其前一位數(shù)字加，則其前一位數(shù)字加 1，例如，例如28.2645處理成處理成3位有效數(shù)字時，其被舍去位有效數(shù)字時，其被舍去 的第一位數(shù)字為的第一位數(shù)字為6，大于，大于5，則有效數(shù)字應(yīng)為，則有效數(shù)字應(yīng)為28.3。 若被舍棄的第一位數(shù)字小于若被舍棄的第一位數(shù)字小于5，則舍去，例如，則舍去，例如 1.63499處理成處理成3位有效數(shù)字時，其被舍去的第一位有效數(shù)字時，其被舍去的第一位位 數(shù)字為數(shù)字為4，小于，小于5，則有效數(shù)字應(yīng)為，則有效數(shù)字應(yīng)為1.63。c. 若被舍棄的第一位數(shù)字等于若被舍棄

12、的第一位數(shù)字等于5，而其后數(shù)字全部為，而其后數(shù)字全部為 零時，則視被保留末位數(shù)字為奇數(shù)或偶數(shù)（零視零時，則視被保留末位數(shù)字為奇數(shù)或偶數(shù)（零視 為偶），而定進或舍，末位數(shù)是奇數(shù)時進為偶），而定進或舍，末位數(shù)是奇數(shù)時進1，末位，末位 數(shù)為偶數(shù)時舍棄，例如數(shù)為偶數(shù)時舍棄，例如28.350、28.250、28.050處處 理成理成3位有效數(shù)字時，分別為位有效數(shù)字時，分別為28.4、28.2、28.0。 若被舍棄的第一位數(shù)字為若被舍棄的第一位數(shù)字為5，而其后的數(shù)字并非全，而其后的數(shù)字并非全 部為零時，則進部為零時，則進1，例如例如28.2501，只取，只取3位有效數(shù)位有效數(shù) 字時，成為字時，成為28.3

13、。d. 若被舍棄的數(shù)字包括幾位數(shù)字時，若被舍棄的數(shù)字包括幾位數(shù)字時，不得對該數(shù)字不得對該數(shù)字 進行連續(xù)修約，進行連續(xù)修約，而應(yīng)根據(jù)以上各條作一次處理。而應(yīng)根據(jù)以上各條作一次處理。 如如2.154546 ，只取，只取3位有效數(shù)字時，應(yīng)為位有效數(shù)字時，應(yīng)為2.15，而，而 不得按下法連續(xù)修約為不得按下法連續(xù)修約為2.16： 2.1545462.154552.15462.1552.165.5.有效數(shù)字運算規(guī)則有效數(shù)字運算規(guī)則（1）加法和減法）加法和減法在計算幾個數(shù)字相加或相減時，它們的和或差只在計算幾個數(shù)字相加或相減時，它們的和或差只能保留一位可疑數(shù)字，即有效數(shù)字位數(shù)的保留，應(yīng)以能保留一位可疑數(shù)字，

14、即有效數(shù)字位數(shù)的保留，應(yīng)以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為依據(jù)。如將小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為依據(jù)。如將3.0113、41.25及及0.357相加，見下式（可疑數(shù)以相加，見下式（可疑數(shù)以“x x”標(biāo)出）；標(biāo)出）； 3.0113.0113 3 41.2 41.25 5+) 0.35+) 0.357 7 44.6 44.618318344.644.62 2可見，小數(shù)點后位數(shù)最小的數(shù)可見，小數(shù)點后位數(shù)最小的數(shù)41.25中的中的5已是可已是可疑，相加后使得疑，相加后使得44.6183中的中的1也可疑，所以，再多保也可疑，所以，再多保留幾位已無意義，也不符合有效數(shù)字只保留一位可留幾位已無意義，也不符合有效數(shù)字只保留一

15、位可疑數(shù)字的原則，這樣相加后，結(jié)果應(yīng)是疑數(shù)字的原則，這樣相加后，結(jié)果應(yīng)是44.62。 3.0113.0113 3 3.013.01 41.2 41.25 5 41.241.25 5 0.35 0.357 7 +)+) 0.30.36 6 44.644.62 2先取舍先取舍再運算再運算練習(xí)練習(xí)1 1：0.0121+25.64+1.05782? 0.010.01 25.64 25.64+) 1.06+) 1.06 26. 26.7171 0.01210.0121 25.64 25.64+) 1.05782+) 1.05782 26. 26.7099270992練習(xí)練習(xí)2 2：36+2.51+0.4

16、987? 36 36 3 3+) 0+) 0 39 39 加減法中涉及到的是相同的物理量，計算時加減法中涉及到的是相同的物理量，計算時以測量精度最差的數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)。以測量精度最差的數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)。（2）乘法和除法）乘法和除法乘除法中涉及不同的物理量，計算所得結(jié)果的相乘除法中涉及不同的物理量，計算所得結(jié)果的相對誤差等于各測量數(shù)值的相對誤差的總和，因此有效對誤差等于各測量數(shù)值的相對誤差的總和，因此有效數(shù)字的保留，應(yīng)根據(jù)這一原則進行判斷。數(shù)字的保留，應(yīng)根據(jù)這一原則進行判斷。例：例：0.0121 125.641.05782? 相對極值誤差（相對誤差的總和）為：相對極值誤差（相對誤差的總和）為： 88+0

17、.4+0.00988可見相對極值誤差由有效數(shù)字位數(shù)最少可見相對極值誤差由有效數(shù)字位數(shù)最少( (即相對即相對誤差最大誤差最大)的數(shù)決定。即在計算幾個數(shù)相乘或相除時，的數(shù)決定。即在計算幾個數(shù)相乘或相除時，其積或商的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)以有效數(shù)字位數(shù)最少的為其積或商的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)以有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)。如準(zhǔn)。如1.211與與1. .2相乘：相乘： 1.21 1.211 1 1.1.2 2 24222422 121 1211 1 1 1453245321.51.5 1.2 1.2 1.1.2 2 2424 12 12 1 144441.41.4先取舍先取舍再運算再運算乘除法中，計算有效數(shù)字位乘除法中，計

18、算有效數(shù)字位數(shù)時，對于第一位的數(shù)值大于數(shù)時，對于第一位的數(shù)值大于7的數(shù)，則有效數(shù)字的總位數(shù)可的數(shù)，則有效數(shù)字的總位數(shù)可多算一位。例如多算一位。例如8.78，雖然只有，雖然只有3位數(shù)字，但第一位的數(shù)大于位數(shù)字，但第一位的數(shù)大于7，已接近于已接近于10.0010.00，所以運算時可，所以運算時可看作看作4位。位。練習(xí)：練習(xí)：0.0121 125.641.05782?以上以上3個數(shù)的乘積應(yīng)為：個數(shù)的乘積應(yīng)為：0.012125.61.06 60.328（3）對數(shù)）對數(shù)進行對數(shù)運算時，對數(shù)值的有效數(shù)字只由尾數(shù)部進行對數(shù)運算時，對數(shù)值的有效數(shù)字只由尾數(shù)部分的位數(shù)決定，首數(shù)部分為分的位數(shù)決定，首數(shù)部分為10

19、的冪數(shù)，不是有效數(shù)字。的冪數(shù)，不是有效數(shù)字。例：例：lg2345=3.3701 四位有效數(shù)字，首數(shù)四位有效數(shù)字，首數(shù)3不是有效數(shù)字不是有效數(shù)字lg2345=3.370 錯。錯。只有只有3位有效數(shù)字，與原數(shù)不符位有效數(shù)字，與原數(shù)不符c c( (H+) )4.910-11molL-1pH10.31正確正確pH10.31c c( (H+) )4.89810-11molL-1錯誤錯誤大量數(shù)據(jù)運算中大量數(shù)據(jù)運算中，為使誤差不迅速積累，對，為使誤差不迅速積累，對參加運算的所有數(shù)據(jù)，可以多保留一位可疑數(shù)字參加運算的所有數(shù)據(jù)，可以多保留一位可疑數(shù)字（多保留的叫（多保留的叫“安全數(shù)字安全數(shù)字”）。此法加減和乘除

20、）。此法加減和乘除均適用。均適用。在一般的定量分析實驗中，要求相對誤差不在一般的定量分析實驗中，要求相對誤差不超過超過11(四位有效數(shù)字即達到要求四位有效數(shù)字即達到要求)，如果測量數(shù)，如果測量數(shù)據(jù)多于四位有效數(shù)字時，測量結(jié)果只須保留四位據(jù)多于四位有效數(shù)字時，測量結(jié)果只須保留四位有效數(shù)字，如果測量數(shù)據(jù)小于有效數(shù)字，如果測量數(shù)據(jù)小于4 4位有效數(shù)字，應(yīng)按位有效數(shù)字，應(yīng)按有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)保留有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)保留(可能達不到相對誤可能達不到相對誤差不超過差不超過1的要求的要求) )。中和滴定時試劑用量不得。中和滴定時試劑用量不得少于少于20.00mL。1 1正確地記錄測量數(shù)據(jù)正確地記錄測量

21、數(shù)據(jù)例例1 1：萬分之一分析天平稱得某物重萬分之一分析天平稱得某物重0.2500g，不能，不能 記錄為記錄為0.250g或或0.25g。例例2 2：滴定管上讀取溶液的體積為滴定管上讀取溶液的體積為24mL時，應(yīng)該記時，應(yīng)該記 為為24.00mL，不能記為，不能記為24mL或或24.0mL。2 2正確地確定用量和選用適當(dāng)?shù)膬x器正確地確定用量和選用適當(dāng)?shù)膬x器一般定量實驗要求相對誤差不超過一般定量實驗要求相對誤差不超過11即即0.1%。若樣品重為若樣品重為23g時，不需要萬分之一克的分析天平，時，不需要萬分之一克的分析天平，用千分之一天平即可。用千分之一天平即可。 0.0020.002 2.000

22、2.000100%=100%=0.1% 0.1% 3 3正確地表示分析結(jié)果正確地表示分析結(jié)果例：例：分析煤中含硫量時，稱取樣品分析煤中含硫量時，稱取樣品3.5g3.5g，兩次測得，兩次測得結(jié)果（結(jié)果（S%）：甲為）：甲為0.042%和和0.041%，乙為，乙為0.04201%和和0.04199%，應(yīng)采用誰的結(jié)果？為什么？，應(yīng)采用誰的結(jié)果？為什么？分析：分析：0.001/0.042100%2% ( (甲的準(zhǔn)確度甲的準(zhǔn)確度)0.0000001/0.0420101100%0.0.02%( (乙的準(zhǔn)確度乙的準(zhǔn)確度)0.1/3 3.5 5100%3 3% ( (稱樣的準(zhǔn)確度稱樣的準(zhǔn)確度) 甲的準(zhǔn)確度與稱樣的準(zhǔn)確度是一致的，而乙的甲的準(zhǔn)確度與稱樣的準(zhǔn)確度是一致的，而乙的準(zhǔn)確度大大超過了稱樣的準(zhǔn)確度，是沒有意義的。準(zhǔn)確度大大超過了稱樣的準(zhǔn)確度，是沒有意義的。練習(xí)：練習(xí)：1判斷有效數(shù)字位數(shù)：判斷有效數(shù)字位數(shù)：（1）10.030； （2）40.02%；（3）pH4.74；（；（4）