繩、桿、彈簧模型在臨界和突變問(wèn)題的歸類(lèi)解析

1、繩、桿、彈簧模型在臨界和突變問(wèn)題的歸類(lèi)解析【內(nèi)容摘要】：三種模型彈力產(chǎn)生的機(jī)理不同，不同物理場(chǎng)景下力和運(yùn)動(dòng)情況的分析，尤其是由一種狀態(tài)突變到另一種物理狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為"拐點(diǎn)"突變點(diǎn)的分析；以及臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界條件?！娟P(guān)鍵詞】：臨界、突變繩、桿和彈簧作為中學(xué)物理常見(jiàn)的理想模型，在解決力和運(yùn)動(dòng)，尤其在曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，由于較多涉及帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)于臨界和突變問(wèn)題成為失分較大的考點(diǎn)，因此歷年成為頻繁出現(xiàn)的熱點(diǎn)。而問(wèn)題的癥結(jié)是：不太清楚這三種模型彈力產(chǎn)生的機(jī)理；不清晰物理過(guò)程的分析，尤其是由一種狀態(tài)突變到另一種物理狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為"拐點(diǎn)"

2、突變點(diǎn)的分析；以及臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界條件，故而成為學(xué)習(xí)中的一個(gè)障礙。結(jié)合復(fù)習(xí)實(shí)際，總結(jié)如下：一、產(chǎn)生的機(jī)理：、形變的分類(lèi)和彈力產(chǎn)生的機(jī)理：物體在外力作用下的形變可分為：拉伸、壓縮形變、剪切形變、扭轉(zhuǎn)和彎曲形變，但從根本上講，形變分為：拉伸壓縮和剪切形變拉伸壓縮形變的程度用線應(yīng)變描述；剪切形變是指用平行截面間相對(duì)滑動(dòng)的位移與截面垂直距離之比來(lái)描述稱(chēng)為剪切形變；彎曲形變：以中性層為界，越近上緣發(fā)生壓縮形變的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下邊沿貢獻(xiàn)最大，中性層無(wú)貢獻(xiàn)，實(shí)際應(yīng)用中典型的就是鋼筋混凝土梁，下部鋼筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗壓能力，工業(yè)中的工字鋼空心鋼管等構(gòu)件既安全又節(jié)省材料；扭

3、轉(zhuǎn)形變實(shí)質(zhì)上是由剪切形變組成，內(nèi)外層剪切應(yīng)變不同，因此應(yīng)力也不同?？客鈱討?yīng)力較大，抵抗扭轉(zhuǎn)形變的作用主要由外層承擔(dān)，靠近中心軸線的材料幾乎不大起作用，工業(yè)中的空心柱體就是典型的應(yīng)用。、區(qū)別：細(xì)繩只能發(fā)生拉伸形變，即只能提供因收縮而沿軸向里的彈力，但彈力的產(chǎn)生依賴(lài)于細(xì)繩受到的外力和自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由一種狀態(tài)突變到另一種狀態(tài)時(shí)，受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生突變，將此點(diǎn)稱(chēng)為“拐點(diǎn)”；彈簧能發(fā)生拉伸和壓縮形變，能提供向里和向外的彈力，彈力的產(chǎn)生是由于外力作用下而引起的形變，形變不發(fā)生變化，彈力不變；輕桿：拉伸、壓縮、剪切形變、彎曲、扭轉(zhuǎn)形變均能發(fā)生，既能產(chǎn)生沿軸向方向上的彈力，又能產(chǎn)生沿截面方向上的彈力，取決

4、于外力作用的情況。以上模型均不計(jì)自身的重力而引起的形變。二、問(wèn)題歸類(lèi)解析（一）：平衡態(tài)發(fā)生在瞬時(shí)突變時(shí)的問(wèn)題1：彈簧與細(xì)繩模型如圖1所示，一條輕彈簧和一根細(xì)繩共同拉住一個(gè)質(zhì)量為的小球，平衡時(shí)細(xì)線是水平的，彈簧與豎直方向的夾角是，若突然剪斷細(xì)線瞬間，彈簧拉力大小是多少？將彈簧改為細(xì)繩，剪斷的瞬間上張力如何變化？解析：繩未斷時(shí)處于平衡態(tài)，即 剪斷的瞬間，瞬時(shí)消失，但彈簧上的形變沒(méi)有改變，所以彈力不變，則和的合力與相平衡 ，即： 換為細(xì)繩，張力隨外界條件的變化發(fā)生瞬時(shí)突變，如圖2所示，則沿繩方向瞬態(tài)平衡；重力的分力使物體向最低位置運(yùn)動(dòng)，即：從而使物體沿圓周運(yùn)動(dòng)，遵循機(jī)械能守恒定律：細(xì)繩和桿的平衡類(lèi)問(wèn)

5、題：例2：如圖3所示：一塊長(zhǎng)木板長(zhǎng)為，距端處由一個(gè)固定的軸，（1）：若另一端用輕繩拉住，使木板呈水平狀態(tài)，繩和木板的夾角，輕繩能承受的最大拉力，如果一個(gè)重為的人在該木板上行走，求活動(dòng)范圍為多少？（2）：若其它條件都不變，端用輕桿拉住，且輕桿承受的最大拉力也為，求人的活動(dòng)范圍是多少？解析：從向行走，人對(duì)地板的壓力和板自身的重力產(chǎn)生的力矩與繩拉力產(chǎn)生的力矩相平衡，設(shè)人距端為， 代入數(shù)據(jù)解得：向運(yùn)動(dòng)，在之間，臨界狀態(tài)是繩中張力為零，即： 人的活動(dòng)范圍點(diǎn)右側(cè)，左側(cè)換成細(xì)桿，人向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和繩相同，向左側(cè)運(yùn)動(dòng)有別與繩模型，因?yàn)闂U可提供斜向下的壓力，從而使人的活動(dòng)范圍增加：人的活動(dòng)范圍點(diǎn)右側(cè), 左側(cè)（二）繩、

6、桿模型在曲線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用受思維定勢(shì)的影響，解決力和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，往往是已知受力情況解決運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但桿模型的自身的特點(diǎn)，決定由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判斷物體的受力情況，從而判斷出彈力的方向。例3：如圖4所示，桿和相結(jié)于處，夾角為，豎直放置，桿的端連接一個(gè)質(zhì)量為的小球，點(diǎn)到球心的距離，現(xiàn)以為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求：桿受到的彈力？解析：球以為圓心，為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（彈力T是否沿桿取決于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）豎直方向上彈力的分力與相平衡，則： 轉(zhuǎn)化為已知合力和一分力求另一分力的問(wèn)題， 與豎直方向的夾角，張力不再沿輕桿。引申：1：求為何值時(shí)，彈力沿此桿？2：換用細(xì)繩，夾角為時(shí)為多大？此問(wèn)題的關(guān)鍵是：轉(zhuǎn)動(dòng)半徑由桿長(zhǎng)和桿與軸之間的夾角確定

7、，彈力隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而發(fā)生變化，繩模型的運(yùn)動(dòng)平面和半徑及其與軸之間的夾角由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而決定。原型啟發(fā)是：如圖5所示，小車(chē)上固定一個(gè)彎成角的輕桿，桿的另一端固定一個(gè)質(zhì)量為的小球，試分析下列狀態(tài)下桿上的彈力？(1)、小車(chē)靜止或向右勻速直線運(yùn)動(dòng)？(2)、小車(chē)以加速度水平向右運(yùn)動(dòng)？解析：球處與平衡態(tài)，則：；彈力與豎直方向的夾角為，則： 即彈力隨加速度的變化而發(fā)生改變。、繩模型在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際物理場(chǎng)景，分為約束與非約束兩類(lèi)問(wèn)題：思路：根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定受力情況；技巧：首先三個(gè)確定（確定軌道平面、圓心、圓周半徑），其次分析向心力的來(lái)源；解決問(wèn)題的關(guān)鍵：確定臨界狀態(tài)，分析臨界條件，以此作為分界點(diǎn)加以

8、討論，并研究已知狀態(tài)所處的運(yùn)動(dòng)范圍，從而分析受力情況。典型的問(wèn)題就是圓錐擺，即：受到約束，受到3個(gè)力：；處于臨界狀態(tài)，受到2個(gè)力：飄離圓錐體，受到：，在新的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下與軸向的夾角發(fā)生改變例5、長(zhǎng)為的繩子，下端連接質(zhì)量為的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時(shí)，繩子與軸向的夾角成，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上，當(dāng)小球以下列情況下做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，求繩子上的彈力和對(duì)桌面的壓力？（1）： 做圓錐擺運(yùn)動(dòng);（2）：做圓錐擺運(yùn)動(dòng)；解析：初始處于平衡狀態(tài)，地面對(duì)物體豎直向上的作用力；當(dāng)球以為圓心，以為半徑在光滑地板上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，受作用，設(shè)角速度為時(shí)地面對(duì)球的彈力，則：(1)受力如圖所示 解得（2）：球?qū)h

9、離桌面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)與軸線的夾角為，受力如圖所示： （區(qū)別于桿模型是半徑不變）引申練習(xí)：1、長(zhǎng)為的輕繩，兩端分別固定于一根豎直棒上，相距為的兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為的光滑小圓環(huán)套在繩子上，當(dāng)豎直棒以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓環(huán)以為圓心在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求此繩上的彈力？（解析：設(shè)半徑為， 解得：此題的關(guān)鍵是圓環(huán)與繩光滑相套連接，隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，而使運(yùn)動(dòng)的平面、圓心、半徑而發(fā)生變化，如圖所示的場(chǎng)景是特定條件下的臨界情況。 2、兩繩系一個(gè)的小球，兩繩另兩端分別固定于軸上兩處，上面繩長(zhǎng)，兩繩都拉直時(shí)與軸之間的夾角分別是問(wèn)球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終張緊？當(dāng)角速度為時(shí)，上下兩繩的拉力分別為多少？（解

10、析：半徑不變時(shí)，臨界條件是剛好拉直，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最??；剛好拉直，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最大。）、繩、桿模型在非勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用：運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：的大小隨位置而發(fā)生改變，包括兩部分，合不再指向圓心；動(dòng)力學(xué)特征：包括兩部分：，合外力不再指向圓心，彈力不做功，整個(gè)過(guò)程遵循機(jī)械能守恒定律；依據(jù)運(yùn)動(dòng)情況分為臨界極值和突變兩類(lèi)問(wèn)題：（）、臨界極值問(wèn)題：物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，中學(xué)物理僅研究通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的兩類(lèi)情況。A、沒(méi)有物體支撐的圓周運(yùn)動(dòng)，有繩模型和沿光滑內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的兩類(lèi)場(chǎng)景：本質(zhì)上都是自身的重力和指向圓心的彈力之和提供向心力，如圖9所示：臨界條件： 解

11、得：稱(chēng)為維持圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度；討論：，繩和光滑軌道內(nèi)側(cè)提供指向圓心，沿徑向里的彈力； 無(wú)法到達(dá)最高處，未到之前就開(kāi)始做斜上拋運(yùn)動(dòng)。B、有物體支撐的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)：典型問(wèn)題是：桿和沿光滑彎管內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的模型：如圖10所示：由于硬桿和彎管內(nèi)壁的支撐，最高處的臨界速度可以為，處于亞穩(wěn)平衡，受到空氣的擾動(dòng)，便會(huì)偏離平衡位置，由于機(jī)械能守恒，仍能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，球在的條件下仍能到達(dá)最高點(diǎn)的原因是發(fā)生了扭轉(zhuǎn)形變，彈性勢(shì)能向球的動(dòng)能轉(zhuǎn)化，討論： 沿徑向向里，擠壓外壁或拉伸細(xì)桿。例6、把一內(nèi)壁光滑的細(xì)鋼管彎成圓弧形狀，豎直放置，一個(gè)小球從管口的正上方處自由下落，小球恰好到達(dá)彎管的管口處；若小球從處自由下落，

12、則它能從管口的運(yùn)動(dòng)到，又飛回管口，求：解析：在整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能守恒，取過(guò)管口和圓心的平面為零勢(shì)能面，由于小球恰能到達(dá)處，速度剛好為，小球從到過(guò)程中，做平拋運(yùn)動(dòng)， 機(jī)械能守恒例7、如圖12所示，水平光滑絕緣軌道與半徑為的光滑絕緣軌道平滑連接，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為，方向水平向左，一個(gè)質(zhì)量為的帶電滑塊所受的電場(chǎng)力等與重力，在點(diǎn)由靜止釋放，它能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的點(diǎn)，求至少多長(zhǎng)方能滿(mǎn)足條件？分析：原型啟發(fā)：繩模型；關(guān)鍵：等效重力場(chǎng)中的最高點(diǎn)；隱含條件；最短，意味著帶點(diǎn)體到達(dá)等效最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力恰好為，向心力由等效重力來(lái)提供。解：在軌道圓心處做與的合力，對(duì)角線的反向延長(zhǎng)線與軌道相交于處，則點(diǎn)為等

13、效重力場(chǎng)的最高點(diǎn)，由題意分析可得： (2) 由動(dòng)能定理可得：聯(lián)立解得：（）、突變問(wèn)題：在某一瞬間，物體由一種狀態(tài)變化到另一種狀態(tài)，從而引起運(yùn)動(dòng)和受力在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生急劇的變化，物理學(xué)上稱(chēng)之為突變問(wèn)題。在突變過(guò)程中往往伴隨著能量的轉(zhuǎn)移或損耗，繩模型在沿徑向張緊瞬間，將其方向上的能量損耗掉；桿模型往往將其能量發(fā)生轉(zhuǎn)移。例8、輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端用光滑軸固定，另一端系一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為的小球，把小球拉至圖13所示的位置，無(wú)初速度地自由釋放到最低處的過(guò)程中，小球做什么運(yùn)動(dòng)？到最低處時(shí)速度多大？彈力多少？若其它條件不變，把輕桿換為細(xì)繩，則釋放后小球做什么運(yùn)動(dòng)？到最低處時(shí)速度多大？彈力為多少？解析：桿與球相

14、連，做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡為圓的一部分，只有重力做功，故而機(jī)械能守恒，選取最低處為零勢(shì)能面，則： (2)，即只有重力勢(shì)能向動(dòng)能的轉(zhuǎn)化，無(wú)能量損耗。繩連接時(shí)，球由到做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)處的速度為，且方向豎直向下，選取點(diǎn)為零能面，關(guān)于水平線對(duì)稱(chēng)： (3)所以在處 按圖示的方向分解，在繩猛然拉緊的瞬間，將徑向的動(dòng)能損耗掉，由到的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，選取點(diǎn)為零能面則： 解得：則處是繩子張緊的突變點(diǎn)。練習(xí)：1、如圖14所示，長(zhǎng)為2米不可伸長(zhǎng)的輕繩，一端系于固定點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量為的小球，將小球從點(diǎn)正下方處水平向右拋出，經(jīng)一段時(shí)間繩被拉直，拉直時(shí)繩與豎直方向的夾角成，以后小球以點(diǎn)為懸點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，試求在繩被拉直的過(guò)程中，沿繩方向上的合力給小球的沖量？()解析：球先做平拋運(yùn)動(dòng)，則：從開(kāi)始向最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，把沿徑向和圓弧的切向分解為：；徑向的動(dòng)量為0，且：2、帶電小球用絕緣輕繩懸掛在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，