人教版高數(shù)必修二第10講：點(diǎn)、直線的距離和對(duì)稱(chēng)(教師版)

1、點(diǎn)、直線的距離和對(duì)稱(chēng)、距離問(wèn)題1 .設(shè)平面上兩點(diǎn)p(Xi,yi)B(x2,y2),那么PP2=(Xi-X2)2+(yi-y2)為兩點(diǎn)間距離2 .點(diǎn)Rxo,yo)到直線Ax+By+C=0(A2+E2w0)的距離d=一.3 .兩條平行直線li：Ax+By+G=0與I2：Ax+By+G=0的距離d=.、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1 .關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(i)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M辰于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(2ax0,2by0).特別地,點(diǎn)M(%,丫.)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x0,y0).(2)線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)_2_2I的萬(wàn)程為：Ax+By+C=0(A+B=0)和點(diǎn)P(凡).),那么I關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線萬(wàn)一r、r''

2、'.'.''.程.設(shè)P(x,y)是對(duì)稱(chēng)直線I上任意一點(diǎn),它關(guān)于P(x01yo)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(2x°-x,2y0-y)在直線I上,代入得A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.此直線即為所求對(duì)稱(chēng)直線.2 .關(guān)于線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(i)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M(x0,y0),直線I:Ax+By+C=0(Ab=0),設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N(x0,y°),那么由KmnLKi=-1得到一個(gè)關(guān)于m,n的方程,又線段MN的中點(diǎn)在直線I得到另一個(gè)關(guān)1于m,n的方程,解方程組?aIBm-x0即可求出點(diǎn)N(x0,y0上SbC=0一22特別說(shuō)明:點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于x軸對(duì)

3、稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0,-y0),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(-,y0)點(diǎn)M(x°,y0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是(丫0?0),關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y0,x°)(2)線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)l1：Ax+Ry+C1=0,l:Ax+By+C=0,求直線11關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)直線如右圖所示,在直線上任取不同于I與l1交點(diǎn)P的任一點(diǎn)M,先求出點(diǎn)M關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo),再由N,P在上,用兩點(diǎn)式求出直線I2的方程.常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)結(jié)論有：設(shè)直線l:Ax+By+C=0.l關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)的直線是：Ax+B(y)十C=0;l關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)的直線是：A(x)+By+C=0；l關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)的直線是：A(-x)+

4、B(-y)+C=0;l關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)的直線是：Ay+Bx+C=0;l關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)的直線是：A(y)+B(x)+C=0;類(lèi)型一點(diǎn)到直線的距離例1:求點(diǎn)P(3,2)到以下直線的距離：(1)3x-4y1=0;(2)y=6;(3)y軸.解析：此題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,直接代入點(diǎn)到直線的距離公式即可.答案：(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可得|3X3-4X-2-1|16y0=3x0+3.,A(3,2)、B(-1,5),IAB=5-22+T-32=5.1 ,一設(shè)C到AB的距離為d,那么2dIAB=10,d=4.又直線AB的方程為y-2x-352=-1-3,即3x+4y17=0,.,_|3xo+

5、43x0+3-17|-d223+4|15x.一5|J5-L=|3x.1|=4.3x°1=±4,解得x0=1或金.3一一5一當(dāng)x0=1時(shí),y0=0；當(dāng)x0=不時(shí),3y0=8.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0)或(|,8).3練習(xí)1:求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線,且使答案：解法一：當(dāng)直線斜率不存在時(shí),即A(2,3),x=1,R0,-5)到它的距離相等的直線方程.顯然符合題意,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,即直線方程為y-2=k(x-1),由條件得|2k-3-k+2|5-k+2|k2+1#2+1k=4,故所求直線方程為x=1或4xy2=0.解法二：由平面幾何知識(shí)知l/AB或l過(guò)AB中

6、點(diǎn).kAB=4,假設(shè)l/AB,那么l的方程為4x-y2=0.假設(shè)l過(guò)AB中點(diǎn)(1,1),那么直線方程為x=1,所求直線方程為：x=1或4xy2=0.練習(xí)2：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)RM,%),F2(x2,y2)分別在直線l1:xy5=0,l2:x-y-15=0上移動(dòng),那么PP2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是()1522D.15.2答案：B類(lèi)型二兩條平行線之間的距離例3:求兩平行線h:3x+4y=10和l2：3x+4y=15的距離.解析：由題目可獲取以下主要信息：直線l1與l2的方程；l1與l2平行.解答此題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或直接利用兩平行線間的距離公式或利用原點(diǎn)到兩平行線距離的差,從而求解.答案：解法一

7、：假設(shè)在直線l1上任取一點(diǎn)A(2,1),那么點(diǎn)A到直線l2的距離,即是所求的平行線間的距離.如圖所示,|3X2+4X115|32+42=1.解法二：設(shè)原點(diǎn)到直線l1、l2那么由圖可知,|OEf|OF即為所求.|15|10|,|OE|of=|_=1,即兩平行線間的距離為1.,3+4,3+4解法三：直線11、l2的方程可化為3x+4y10=0,3x+4y-15=0,那么兩平行線間的距離為|一1032+425=練習(xí)1：兩平行直線答案:-200x+3y4=0與2x+6y9=0的距離是練習(xí)2：平行線8. 2,-21 1D.二2'22x+3y3=0與2x+3y9=0,那么與它們等距離的直線方程是A

8、.2x+3y12=0B.2x+3y6=0C.2x+3y=0D.2x+3y+3=0答案：B類(lèi)型三對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例4：點(diǎn)R1,1關(guān)于直線axy+b=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q3,1,那么a、b的值依次是A.2,211C32解析：設(shè)PQ的中點(diǎn)為M那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M1Q,點(diǎn)M在直線axy+b=0上,a+b=0.又PQ在直線與直線axy+b=0垂直,-1-1-3-1'a=T,a=2.故b=-2.答案：B練習(xí)1直線l:y=3x+3,求點(diǎn)R4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).答案：設(shè)點(diǎn)A(x,y)是點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),A、P的中點(diǎn)在直線l上,y+5X+4口nc-2 =3X2+3,即3x-y+13=0又AP與直線l

9、垂直,y5_小-7*3=1,即x+3y19=0x-4解、組成的方程組可得x=-2,y=7,即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(一2,7).練習(xí)2：P(a,b)和Q(b-1,a+1)是關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),那么直線l的方程為()A.x+y=0B.xy=0C.x+y+1=0D.xy+1=0答案：D例5:在直線l:3xy1=0上求一點(diǎn)P,使得:(1) P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2) P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.解析：設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B',AB與l的交點(diǎn)P滿(mǎn)足(1);點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C',AC與l的交點(diǎn)P滿(mǎn)足(2).事實(shí)上,對(duì)于(1),假設(shè)P'是

10、l上異于P的點(diǎn),那么|P'A|P'日|=|P'A|P'B'|<|AB|=|PA|PB|=|PA|PB|；C'|>|AC|=|PA+|PC.對(duì)于(2),假設(shè)P'是l上異于P的點(diǎn),那么|P'A|+|P'C=|P'A|+|P'答案：(1)如下圖,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(a,b),那么kBB-kl=1,即3,-=-1.aa+3b12=0.abI-4.又由于線段BB的中點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,2),且在直線l上,一ab+4r_小3x221=0,即3ab6=0.解得a=3,b=3,B'

11、(3,3).一I一、一r、,y1x4于是AB的方程為"=即2x+y9=0.3134J由3x-y-1=0gx+y-9=0=2即直線l與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)點(diǎn)P(2,5)為所求.(2)如下圖,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C',求出點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(*24).55二.AC所在直線的方程為19x+17y93=0,1126AC和1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(了,不).1126、,一、故P點(diǎn)坐標(biāo)為(彳,y),為所求.練習(xí)1：人(4,58(2,15),直線1:3*4丫+4=0cA.(2)在1上求一點(diǎn)Q,使QAQB的值最小.(1)在1上求一點(diǎn)P,使PA+|PB的值最小;答案:(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線

12、1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(x0,y0),y0-54=(2)x033-4心2解得4=0yoA3,-3由兩點(diǎn)式可得AB的方程為18x+y51=0又點(diǎn)P應(yīng)是A,B和1的交點(diǎn)幺、工18xy-5=0/口x=8,解萬(wàn)程組/y得«33x-4y4=0°yy-3kAB=2AB的方程為y=2x+11由于直線AB與1的交點(diǎn)Q即為所求3x-4y4=0解方程組yy=2x11得x二一8y二一5所求點(diǎn)Q-8,-5練習(xí)112：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x1,y),P2(X2,y2)分別在直線:xy5=012:x-y-15=0上移動(dòng),那么PP2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是()15、22答案：B當(dāng)堂檢測(cè)1 .點(diǎn)A(1,3、B(2,6

13、),那么AB的長(zhǎng)及中點(diǎn)坐標(biāo)分別是(C.2>/3f-1,2A.-3%/2,(-1,9)B.3問(wèn)1,9答案：B2 .假設(shè)點(diǎn)A(a,6)到直線3x4y=2的距離等答案：D3.過(guò)點(diǎn)C.46.2或竺3A(-1,2戶(hù)與原點(diǎn)的距離等于-2的直線方程是(2x+y1=0或7x+y+5=0x-y-1=0或7x+y+5=0答案：C4 .假設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)P(0,1),F2(7,2)及x軸的距離相等,那么P的坐標(biāo)是(A.(3,5)B.(17,145)C.(3,5)或(17,145)D,以上全不對(duì)答案：C5 .兩平行線4x+3y1=0與8x+6y+3=0之間的距離是()2IC1C.51B.101DI答案：D6 .假設(shè)點(diǎn)

14、P(x,y)在直線x+y4=0上,O為原點(diǎn),那么|OP|的最小值是A.10C.6答案：BB.D.7 .平行四邊形相鄰兩邊所在的直線方程是11：x2y+1=0和對(duì)角線的交點(diǎn)是(2,3),那么平行四邊形另外兩邊所在直線的方程是(12：3xy2=0,此四邊形兩條)A.B.C.D.2xy+7=0和x-3y-4=0x2y+7=0和3x-y4=0x2y+7=0和x-3y-4=02xy+7=0和3x-y-4=0答案：B8 .兩平行直線x+3y5=0與x+3y10=0的距離是.答案：/029 .正方形中央G(1,0),一邊所在直線方程為x+3y5=0,求其他三邊所在直線方程.11516答案：正方形中央GE1,

15、0)到四邊距離相等,均為.設(shè)與直線平行的一邊所在直線方程為x+3y+c=0,|1+C1|一10一10C1=5(舍去)或C1=7.',C+C2|故與直線平行的一邊所在直線方程為x+3y+7=0.設(shè)另兩邊所在直線方程為3x-y+C2=0.6,倚C2=9或C2=-3.10,另兩邊所在直線方程為3xy+9=0或3xy3=0.綜上可知另三邊所在直線方程分別為：x+3y+7=0,3x-y+9=0或3xy3=0.根底穩(wěn)固1.點(diǎn)A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,那么a=()B. 2-721 D.2+1C2.過(guò)點(diǎn)(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()A.x+2y-5=0

16、B.2x+y4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0答案：A3 .P、Q分別為3x+4y12=0與6x+8y+5=0上任一點(diǎn),那么|PQ|的最小值為()9A.518B.石D.29529C.10答案：C4 .過(guò)點(diǎn)A(3,1)的直線中,與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為答案：3x-y+10=0水平提升5 .直線7x+3y21=0上到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.3B.2C.1D.0答案：B6 .兩平行直線l1,h分別過(guò)點(diǎn)P(1,3)、Q(2,1),它們分別繞P、Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,那么l1,l2之間的距離的取值范圍是()A.(0,+oo)B.0,5C. (0,5D.0,V17答案：C7.a

17、、b、c為某一直角三角形的三邊長(zhǎng),c為斜邊,假設(shè)點(diǎn)P(m,n)在直線ax+by+2c=0上,那么m2+n2的最小值為答案：48 .與三條直線li：xy+2=0,I2：xy3=0,I3：x+y5=0,可圍成正方形的直線方程為答案：x+y10=0或x+y=09 .4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,4)、B(-2,1)、C(2,3).(1)求BC邊的高所在直線的方程；(2)求ABC的面積S.答案：(1)設(shè)BC邊的高所在直線為l,.3一一由題息知kBc=1,2/.那么kl=1,kBC即x+y-3=0.即xy+1=0,22,又點(diǎn)A(1,4)在直線l上,所以直線l的方程為y4=1x(x+1),(2)BC所在直線

18、方程為y+1=1X(x+2),|141|點(diǎn)A(-1,4)到BC的距離d='2-1又|BC=.2匕+1o=4心,=24啦X2/=8.10.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,4),且被平行直線li：xy+1=0與I2：xy1=0所截得的線段的中點(diǎn)M在直線x+y3=0上.求直線l的方程.答案：解法一：點(diǎn)M在直線x+y3=0上,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(t,3t),那么點(diǎn)M到l1、l2的距離相等,11-3-t+1|一|t-3-t-1|3解得t=2,M33.IM2,2.3X23?2-25xy6=0.又l過(guò)點(diǎn)A(2,4),3y2由兩點(diǎn)式得-=342即5x-y-6=0,故直線l的方程為|C1|解法二：設(shè)與l1、12平行且距離相等的直線13：x-y+c=0,由兩平行直線間的距離公式得Lc-L="十解得c=0,即l3：xy=0.由題意得中點(diǎn)MB13上,又點(diǎn)M在x+y3=0上.yy=0解方程組|x+y-3=03X=2'得3y=2Mj|,2；又過(guò)點(diǎn)A(2,4),i的斜率必存在,故由兩點(diǎn)式得直線l的方程為5xy6=0.解法三：由題意