不定積分例題及答案

1、第 4 章 不定積分 內(nèi)容概要名稱(chēng) 主要內(nèi)容 不 設(shè) f x ， x I ，若存在函數(shù) F x ，使得對(duì)任意 x I 均有 F x f x 定 積 或 dF x f xdx ，則稱(chēng) F x 為 f x 的一個(gè)原函數(shù)。 分 的 f x 的 全部原函數(shù)稱(chēng)為 f x 在區(qū)間 I 上的不定積分， 記為 概 念 f xdx F x C 注： 1）若 （ f x 連 續(xù) ， 則 必 可 積 ； 2 ） 若 F x G x 均 為 f x 的 原 函 數(shù) ， 則 （ F x G x C 。 故不定積分的表達(dá)式不唯一。 性 d f xdx f x 或 d f xdx f xdx ； dx 性質(zhì) 1： 質(zhì)不 性

2、質(zhì) 2： F xdx F x C 或 dF x F x C ；定積 性質(zhì) 3 ： f x g xdx f xdx g xdx ， 為非零常數(shù)。 分 計(jì) 設(shè) f u 的 原函數(shù)為 F u ，u x 可導(dǎo)，則有換元公式： 算 第一換元 方 積分法 法 （湊微分法） f x xdx f xd x F x C 第二類(lèi) 設(shè) x t 單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零， f t t 有原函數(shù) F t ， 換元積 分法 f xdx f t t dt F t C F 1 則 x C 分部積分法 u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函數(shù)積 若有理函數(shù)為假 分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和

3、；對(duì)真分式的處理 分 按情況確定。本章 在下一章定積分中由微積分基本公式 可知 -求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問(wèn) 題；的地 后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分 還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求位與 解； 而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上 講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中作用 起到了根基的作用， 積分的問(wèn)題會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好 壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì) 慢慢體會(huì)到！ 課后習(xí)題全解習(xí)題 4-11.求下列不定積分：知 識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí) 求不定積分的基本方法。 思 路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和

4、基本積分公式，直接求 出不定積分！dx 1 x 2 x 5 1思路：被積函數(shù)x 2，由積分表中的公式（ 2）可解。 x2 x 5 3 dx 2 解： x 2 x x dx x 2 C 32 1 x 3 2 dx x思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù) 分為兩項(xiàng)，分別積分。 1 1 1 1 4 1 1 3 3 解： 3 x x dx x 3 x 2 dx x 3 dx x 2 dx 4 x 2x 2 C 3 （2 x 2） x dx 思路 :根據(jù)不定 積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 2x 1 3 解： （2 x ） 2 dx x dx x C x 2 x 2 dx ln 2

5、3 4 x x 3dx 思路: 根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)， 將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)， 分別積分。3 1 5 3 2 2 解： x x 3dx x 2 dx 3 x 2 dx 5 x 2x 2 C 3 x 4 3x 2 15 x 2 1 dx 3x 4 3x 2 1 1 思路:觀察到 3x2 2 后，根據(jù)不定 積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積 x 1 2 x 1 分。 3 x 4 3x 2 1 1 x 2 1 dx 3x dx 1 x 2 dx x arctan x C 2 3 解：x2 6 1 x 2 dx x2 x2 1 1 1 思路:注意到 1 ，根據(jù)不定積分的線 性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，

6、分別積分。 1 x 2 1 x 2 1 x2 x2 1 解： 1 x 2 dx dx 1 x 2 dx x arctan x C. 注：容易看出 56 兩題的 解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假 分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的 形式，再分項(xiàng)積分。x 1 3 4 7 （ - - ） 2 x x3 x 4 dx思路: 分項(xiàng)積分。 x 1 3 4 1 1 解：( - 3 - 4 ) xdx dx 3 x 3 dx 4 x4 dx 2 x x x dx 2 x 1 2 3 2 4 3 x ln x x x C. 4 2 3 3 2 8 1 x 2 1 x2 dx

7、 思路:分項(xiàng)積分。 3 2 1 1 解： 1 x 2 1 x2 dx 3 1 x 2 dx 21 x2 dx 3arctan x 2 arcsin x C. 9 x x x dx 1 1 1 7 思路：x xx ？看到 x x x x 2 4 8 x 8 ，直接積分。 7 15 8 8 解： x x x dx x 8 dx 15 x C. 1 10 x 2 1 x 2 dx 思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。 11 1 1 1 1 解： x 2 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 dx 2 dx x 1 x 2 dx arctan xC. x e2x 1 11 x dx e 1 e2 x 1 e x 1e

8、 x 1 解：ex 1 dx ex 1 dx ex 1dx e x x C. 3 e dx x x 12思路：初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3 e 3e)。( x x x (3e)x 解： 3 e dx (3e)dx C. x x x ln3e cot 2 13 xdx 思路：應(yīng) 用三角恒等式“ cot x csc x 1”。解2 2： cot xdx csc x 1dx cotx x C 2 2 2 3x 5 2 x 14 3x dx 2 3x 5 2 x 2 x 思路:被積函數(shù)x 2 ( ) ，積分沒(méi)困難。 5 3 3 2 x 23 5 2 x 2 xx 解： dx

9、2 () dx 2 x 5( 5)3 C. 3 x 3 In 2 In 3 2 x 2 dx 15 cos 思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降冪，再積分。x 1 cos x 1 1 d dx x sin x C. 2 解: cos 2 2 2 2 1 16 1 cos 2 xdx 思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式， 先升冪再積分。 1 1 1 11 cos 2 xdx 2 cos dx sec xdx 2 tan x C. 2 解: 2 x 2 cos 2 x 17 cos x sin x dx 思路:不難，關(guān)鍵知道“ cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos x sin

10、 x cos x sin x 。 cos”2 x 解： cos x sin xdx cos x sin xdx sin x cos x C. cos 2 x 18 cos 2 x sin 2 x dx 思路:同上題方法，應(yīng)用 “ cos 2 x cos x sin x 2 ，”分2項(xiàng)積分。 cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 解： dx dx 2 dx x cos x sin x 2 2 cos x sin x 2 2 sin x cos 2 x csc2 xdx sec 2 xdx cot x tan x C. 1 x 1 x 19 1 x 1 x dx 1 x 1 x

11、1 x 1 x 2 思路:注意到被積函數(shù) ，應(yīng)用公式 5即可。 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 x 1 解： 1 x 1 x dx 2 1 x 2 dx 2 arcsin x C. 1 cos 2201 cos 2 xdx 1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 2 1 思路:注意到被積函數(shù) sec x ，則積分易得。 1 cos 2 x 2 2 cos x 2 2 1 cos 2 x 1 1 tan x x 1 cos 2 xdx 2 sec xdx 2 dx 2 C. 2 解： 2、 設(shè) xf xdx arccos x C ，求 f x 。知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分

12、（原 函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 d dx 思路分析：直接利用不定 積分的性質(zhì) 1 ： f xdx f x 即可。解：等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù) 得： 1 1xf x f x 1 x2 x 1 x2 3、設(shè) f x 的導(dǎo)函數(shù)為 sin x ， 求 f x 的原函數(shù)全體。 知識(shí)點(diǎn)： 仍為考查不定積分 （原函數(shù)） 與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。 解：由題意可知， f x sin xdx cos x C1 所以 f x 的原函數(shù)全 體為： （cos x C1） sin x C1 x C2。 dx 1 2x x ex 4、證 明函數(shù) e e shx 和 e x chx 都是 的原函數(shù)

13、2 chx-shx 知識(shí) 點(diǎn)：考查原函數(shù) （不定積分） 與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析： 只需驗(yàn)證即可。 ex d 1 d d 解： e 2 x ，而 e 2 x e x shx e x chx e 2 x chx shx dx 2 dx dx 2 5、一曲線通過(guò)點(diǎn) e 3 ，且在任意 點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的 方程。知識(shí)點(diǎn)：屬于第 12 章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的 初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的 關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo) 帶入方程確定具體的方程即可。 d 1解：設(shè)曲線方程為 y f x ，由題意可知： f x ，

14、f x ln x C ； dx x 又點(diǎn) e 2 3 在曲 線上，適合方程，有 3 lne 2 C C 1 ，所以曲線的方程為 f x ln x 1. 2 6、一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)， 經(jīng) t 秒后的速度是 3t m / s ，問(wèn)：（1） 在 3 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？ （2） 物體走完 360 米需要多少時(shí)間？知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn) 單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù) （不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位 移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的 位移方程為： y f t ， d 則由速度和位移的關(guān)系可得： f t 3t 2 f t t 3 C

15、， dt 又因?yàn)槲矬w是由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的， f 0 0 C 0 f t t 3 。1 3 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為 : f 3 33 27 米；2令 t 3 360 t 3 360秒。習(xí)題 4-2 1、填空是下列等式成立。知 識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系 數(shù)即可。 1 1 1 解： 1 dx d 7 x 3 2 xdx d 1 x 2 3 x3 dx d 3 x 4 2 7 2 12 1 dx 1 dx 1 d e2 x 5 d 5ln x 64e 2 x dx d 3 5ln x 2 x 5 x 5 1 dx 1 dx 17 dt 2d t 8 d tan 2 x9 d arctan 3x. t 2 cos 2 x 2 1 9x 2 32、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：（湊微分）第一換元積分法 的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講， 湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒(méi)有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自對(duì)微積分 基本公式的熟練掌握。此外第二類(lèi)換元法中