專題十一：絕對值最值問題

1、絕對值最值問題絕對值的幾何意義：一個數(shù)。的絕對值就是數(shù)軸上表示“的點與原點 的距離。數(shù)“的絕對值記作Ml幾個絕對值和的最小值問題：奇點偶段(含端點)1、(1)閱讀下而材料：點7、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b, A 'B兩點之間的距離表示為.毎.當/、B兩點中有一點在原點時，不妨設點2在原點，如圖甲，曲二創(chuàng)=Ibl=Ia 列；當/ 'B兩點都不在原點時，1如圖乙，點/、B都在原點的右邊，AB=OB 0A = b 丨 a I =Z? - U b t 如圖丙，點/、B都在原點的左邊，AB=OB- OJ = Ibl - Ial= b -( a) - z? - 8 I : 如圖丁，點4、

2、B在原點的兩邊AB=OAPB丨 A | + | 5 I =A+ (- =Ia-b.綜上，數(shù)軸上/、B兩點之間的距離,lB-=冷力(2)回答下列問題： 數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是: 數(shù)軸上表示X和1的兩點分別是點2和則A.B之間的距離是如果二2,那么 X=: 當代數(shù)式丨x+2 I +n- - 51取最小值時，相應的A的取值范圍是_ . 當代數(shù)式IX -1 | + I x+2 | + I X - 51取最小值時，相應的X的值是. 當代數(shù)式IX51(x+2 I取最大值時，相應的X的取值范囤是_ .閤乙。因丙古QO2、在數(shù)

3、軸上'點2, E分別表示數(shù)a,仇則線段拐的長表示為丨a |，例如：在數(shù)軸上,點ZI表示，點B表示2,則線段丄5的長表示為丨5-2 I =3:回答下列問題：（1） 數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是:（2）若 AB=S. b = 3af求 Gb的值.（3）若數(shù)軸上的任意一點P表示的數(shù)是X,且IX仃丨+卩方的最小值為4,若a=3,求b的值.絕對值最值問題解析1、(1)閱讀下而材料：點7、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、仇B(yǎng)兩點之間的距離表示為毎.當A. B兩點中有一點在原點時，不妨設點*在原點，如圖甲，dB=CO= I b I = I a-b I :當/、B兩點都不在原點時，1如圖乙，點/、E都

4、在原點的右邊，AB=OB - OZi = Ibl - a =b - a= a 創(chuàng)： 如圖丙，點/、B都在原點的左邊，AB=OB CM - I 8 I -Ial= b (-a) =Ia - 51： 如圖丁，點*、B在原點的兩邊AB=OAOB= I A I + I § I =a+ (方丿二心 b 綜上，數(shù)軸上念B兩點之間的距離./民、刀/八.(2)回答下列問題： 數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是: 數(shù)軸上表示X和J的兩點分別是點ZI和E,則/1.B之間的距離是，如果IJQ=2,那么 X=； 當代數(shù)式JX+2 I +

5、 I A- - 51取最小值時，相應的A的取值范圍是- 當代數(shù)式IX-1 I +片+2丨+丨x51取最小值時，相應的X的值是_ . 當代數(shù)式IX-51- I x+2Im最大值時，相應的X的取值范鬧是_ .圉甲0圖乙 0 a因丙3Q扌9團丁古o 解:.52 = 3,-2- (-5) =3, 1 - (-3) =4： 、丨 x+1 I , I x+1 I =2 則 x=l 或3； x+2丨+ I x51表示數(shù)軸上一點到2與5兩點的距離的和，當這點在2和5之間時和 最 小，最小距離是：5 - (- 2) =7 ； 代數(shù)式IX-I I +Jx+2 I + I x-51表示數(shù)軸上一點到1、2與5三點的距

6、離的和，根據(jù)兩 點之間線段最短，則當x=l時和最小，最小值是5到2的距離，是5(-2) =7： 代數(shù)式IX5I丨x+2 I表示數(shù)軸上一點到5與2兩點的距離的差，當點小于等于2時 差最大，最大值是5與2之間的距離，是7.故答案是：3, 3, 4；丨x+1丨，1或3；2<A-<5jX=1:X£2.2、在數(shù)軸上，點乂, E分別表示數(shù)a,仇則線段15的長表示為 a-b ，例如：在數(shù)軸上，點ZI表示5.點B表示2,則線段的長表示為丨5-2 I =3:回答下列問題：(1) 數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是:(2) 若.15=8, b = 3af 求 a, b 的值.(3) 若數(shù)軸上

7、的任意一點P表示的數(shù)是X,且IX-n I + x-b的最小值為4,若a=3,求b 的值.解:(1)1和3兩點之間的距離為卩-(-3) 1=4：故答案為：4：(2)， fb=3a.b=±3a-M = 8- I a- b I = 8當 b=3a 時 J I a-b I = I -2a I = 8'a=4, b=12 或 Q= 4,方二 12當 b=-3a 時，I a-b I = I 4a I =8/.67=2, 5= - 6 或。= 2, b=6綜上所述：67=4, b=12 或 a=-4, b=12 或 a=2,/?= 6 或 0= - 2, b=6.（3）由線段上的點到線段兩端點的距離的和最小， 當點b在a的右側時，得P在3點與b點的線段上，IX3I+ （X-b |的值最小為4, x 31+IX - b