專題十一：絕對(duì)值最值問題

1、絕對(duì)值最值問題絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)。的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示“的點(diǎn)與原點(diǎn) 的距離。數(shù)“的絕對(duì)值記作Ml幾個(gè)絕對(duì)值和的最小值問題：奇點(diǎn)偶段(含端點(diǎn))1、(1)閱讀下而材料：點(diǎn)7、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b, A 'B兩點(diǎn)之間的距離表示為.毎.當(dāng)/、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)2在原點(diǎn)，如圖甲，曲二創(chuàng)=Ibl=Ia 列；當(dāng)/ 'B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，1如圖乙，點(diǎn)/、B都在原點(diǎn)的右邊，AB=OB 0A = b 丨 a I =Z? - U b t 如圖丙，點(diǎn)/、B都在原點(diǎn)的左邊，AB=OB- OJ = Ibl - Ial= b -( a) - z? - 8 I : 如圖丁，點(diǎn)4、

2、B在原點(diǎn)的兩邊AB=OAPB丨 A | + | 5 I =A+ (- =Ia-b.綜上，數(shù)軸上/、B兩點(diǎn)之間的距離,lB-=冷力(2)回答下列問題： 數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是: 數(shù)軸上表示X和1的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)2和則A.B之間的距離是如果二2,那么 X=: 當(dāng)代數(shù)式丨x+2 I +n- - 51取最小值時(shí)，相應(yīng)的A的取值范圍是_ . 當(dāng)代數(shù)式IX -1 | + I x+2 | + I X - 51取最小值時(shí)，相應(yīng)的X的值是. 當(dāng)代數(shù)式IX51(x+2 I取最大值時(shí)，相應(yīng)的X的取值范囤是_ .閤乙。因丙古QO2、在數(shù)

3、軸上'點(diǎn)2, E分別表示數(shù)a,仇則線段拐的長(zhǎng)表示為丨a |，例如：在數(shù)軸上,點(diǎn)ZI表示，點(diǎn)B表示2,則線段丄5的長(zhǎng)表示為丨5-2 I =3:回答下列問題：（1） 數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是:（2）若 AB=S. b = 3af求 Gb的值.（3）若數(shù)軸上的任意一點(diǎn)P表示的數(shù)是X,且IX仃丨+卩方的最小值為4,若a=3,求b的值.絕對(duì)值最值問題解析1、(1)閱讀下而材料：點(diǎn)7、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、仇B(yǎng)兩點(diǎn)之間的距離表示為毎.當(dāng)A. B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)*在原點(diǎn)，如圖甲，dB=CO= I b I = I a-b I :當(dāng)/、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，1如圖乙，點(diǎn)/、E都

4、在原點(diǎn)的右邊，AB=OB - OZi = Ibl - a =b - a= a 創(chuàng)： 如圖丙，點(diǎn)/、B都在原點(diǎn)的左邊，AB=OB CM - I 8 I -Ial= b (-a) =Ia - 51： 如圖丁，點(diǎn)*、B在原點(diǎn)的兩邊AB=OAOB= I A I + I § I =a+ (方丿二心 b 綜上，數(shù)軸上念B兩點(diǎn)之間的距離./民、刀/八.(2)回答下列問題： 數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是: 數(shù)軸上表示X和J的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)ZI和E,則/1.B之間的距離是，如果IJQ=2,那么 X=； 當(dāng)代數(shù)式JX+2 I +

5、 I A- - 51取最小值時(shí)，相應(yīng)的A的取值范圍是- 當(dāng)代數(shù)式IX-1 I +片+2丨+丨x51取最小值時(shí)，相應(yīng)的X的值是_ . 當(dāng)代數(shù)式IX-51- I x+2Im最大值時(shí)，相應(yīng)的X的取值范鬧是_ .圉甲0圖乙 0 a因丙3Q扌9團(tuán)丁古o 解:.52 = 3,-2- (-5) =3, 1 - (-3) =4： 、丨 x+1 I , I x+1 I =2 則 x=l 或3； x+2丨+ I x51表示數(shù)軸上一點(diǎn)到2與5兩點(diǎn)的距離的和，當(dāng)這點(diǎn)在2和5之間時(shí)和 最 小，最小距離是：5 - (- 2) =7 ； 代數(shù)式IX-I I +Jx+2 I + I x-51表示數(shù)軸上一點(diǎn)到1、2與5三點(diǎn)的距

6、離的和，根據(jù)兩 點(diǎn)之間線段最短，則當(dāng)x=l時(shí)和最小，最小值是5到2的距離，是5(-2) =7： 代數(shù)式IX5I丨x+2 I表示數(shù)軸上一點(diǎn)到5與2兩點(diǎn)的距離的差，當(dāng)點(diǎn)小于等于2時(shí) 差最大，最大值是5與2之間的距離，是7.故答案是：3, 3, 4；丨x+1丨，1或3；2<A-<5jX=1:X£2.2、在數(shù)軸上，點(diǎn)乂, E分別表示數(shù)a,仇則線段15的長(zhǎng)表示為 a-b ，例如：在數(shù)軸上，點(diǎn)ZI表示5.點(diǎn)B表示2,則線段的長(zhǎng)表示為丨5-2 I =3:回答下列問題：(1) 數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是:(2) 若.15=8, b = 3af 求 a, b 的值.(3) 若數(shù)軸上

7、的任意一點(diǎn)P表示的數(shù)是X,且IX-n I + x-b的最小值為4,若a=3,求b 的值.解:(1)1和3兩點(diǎn)之間的距離為卩-(-3) 1=4：故答案為：4：(2)， fb=3a.b=±3a-M = 8- I a- b I = 8當(dāng) b=3a 時(shí) J I a-b I = I -2a I = 8'a=4, b=12 或 Q= 4,方二 12當(dāng) b=-3a 時(shí)，I a-b I = I 4a I =8/.67=2, 5= - 6 或。= 2, b=6綜上所述：67=4, b=12 或 a=-4, b=12 或 a=2,/?= 6 或 0= - 2, b=6.（3）由線段上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和最小， 當(dāng)點(diǎn)b在a的右側(cè)時(shí)，得P在3點(diǎn)與b點(diǎn)的線段上，IX3I+ （X-b |的值最小為4, x 31+IX - b