分段線性插值與三次樣條插值法

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目插值法實(shí)驗(yàn)日期2016/9/30理論內(nèi)容分段線性插值與三次樣條插值授課日期2016/9/0實(shí)驗(yàn)室名稱文理管203微機(jī)編號(hào)E1實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙螅?、 學(xué)會(huì)常用的插值方法，求函數(shù)的近似表達(dá)式，以解決其它實(shí)際問(wèn)題；2、 明確插值多項(xiàng)式和分段插值多項(xiàng)式各自的優(yōu)缺點(diǎn)；3、 熟悉插值方法的程序編制；如果繪出插值函數(shù)的曲線，觀察其光滑性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：編寫(xiě)分段線性插值法及三次樣條插值法通用子程序，依據(jù)數(shù)據(jù)表2.02.12.22.32.41.4142141.4491381.4833401.5165751.549193構(gòu)造相應(yīng)的插值多項(xiàng)式，并計(jì)算函數(shù)在的近似值。實(shí)驗(yàn)步驟及程序： 1、分段線性插值法流程

2、圖是否是輸入xi,yi,i=1,n及xia1,ibnib-ia>1?imia+ib2的整數(shù)部分xm<x?iaimibim執(zhí)行求拉格朗日插值的程序，計(jì)算以ia,ib為節(jié)點(diǎn)的線性插值函數(shù)在插值點(diǎn)的函數(shù)值P1x輸出p1(x)否2、分段線性插值法源程序：function f = fenduan(,)x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;y_1=0.5*y.(-0.5);x0=2.15;f = 0.0;if(length(x) = length(y) if(length(y) = length

3、(y_1) n = length(x); elsedisp('y和y的導(dǎo)數(shù)的維數(shù)不相等！'); return; endelsedisp('x和y的維數(shù)不相等！'); return;end for i=1:n if(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0) index = i; break; endend h = x(index+1) - x(index); fl = y(index)*(1+2*(x0-x(index)/h)*(x0-x(index+1)2/h/h + . y(index+1)*(1-2*(x0-x(index

4、+1)/h)*(x0-x(index)2/h/h; f = fl; 3、三次樣條插值法流程圖是輸入數(shù)據(jù)flagflag=1？flag=2？flag=3？輸出失敗信息執(zhí)行子程序“第一類邊界下的樣條三次插值”執(zhí)行子程序“第二類邊界下的樣條三次插值”執(zhí)行子程序“第三類邊界下的樣條三次插值”是是否否否4、三次樣條插值法源程序functionyy, b, c, d=spline3(,)%三次樣條插值函數(shù) %(x,y)為插值節(jié)點(diǎn)，xx為插值點(diǎn)；%flag表端點(diǎn)邊界條件類型：%flag=0:自然樣條(端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0)；%flag=1:第一類邊界條件(端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)給定)；%flag=2:第二類邊界條件(端點(diǎn)

5、二階導(dǎo)數(shù)給定)；%vl,vr表左右端點(diǎn)處的在邊界條件值。 %樣條函數(shù)為：Si(x)=yi+bi*(x-xi)+ci*(x-xi)2+di*(x-xi)3%b,c,d分別為各子區(qū)間上的系數(shù)值%yy表插值點(diǎn)處的函數(shù)值.x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;xx=2.15;flag=0;vl=2.0;vr=2.4;if length(x)=length(y)n=length(x);a=zeros(n-1,1); b=a;d=a;dx=a;dy=a;A=zeros(n);B=zeros(n,1);end

6、for i=1:n-1a(i)=y(i);dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+1)-y(i);endfor i=2:n-1 A(i,i-1)=dx(i-1); A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i); A(i,i+1)=dx(i); B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1);end%自然樣條端點(diǎn)條件(端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為零)%if flag=0; A(1,1)=1; A(n,n)=1;end%-%端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)條件%if flag=1 A(1,1)=2*dx(1); A(1,2)=dx(1); A(n,n-1)=dx(n-1); A(n,n

7、)=2*dx(n-1); B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl); B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1);end%-%端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)條件%if flag=2 A(1,1)=2; A(n,n)=2; B(1,1)=vl; B(n,1)=vr;end%-%c=AB; for i=1:n-1 d(i)=(c(i+1)-c(i)/(3*dx(i); b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1)/3;endmm,nn=size(xx);yy=zeros(mm,nn);for i=1:mm*nn for ii=1:n-1 if xx(i)>=x(ii) && xx(i)<x(ii+1) j=ii; break; elseif xx(i)=x(n) j=n-1; end end yy(i)=a(j)+b(j)*(xx(i)-x(j)+c(j)*(xx(i)-x(j)2+d(j)*(xx(i)-x(j)3;endend結(jié)果分析與討論：運(yùn)用MATLAB分別對(duì)分段線性插值和三次樣條插值進(jìn)行編程的到數(shù)值均為1.4664說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得出，在低階方程的求解中，兩種方法均能精確的得到近似解，但是在高階方程的