導(dǎo)數(shù)與不等式證明(絕對(duì)精華)

1、二輪專題 （十一） 導(dǎo)數(shù)與不等式證明【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.2. 掌握常用的證明方法.【知識(shí)回顧】一級(jí)排查：應(yīng)知應(yīng)會(huì)1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題比如要證明對(duì)任意都有，可設(shè)，只要利用導(dǎo)數(shù)說明在上的最小值為即可二級(jí)排查：知識(shí)積累利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題技巧總結(jié)如下：（1）利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）對(duì)于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意

2、變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（4）常用方法還有隔離函數(shù)法，放縮法（常與數(shù)列和基本不等式一起考查），換元法，主元法，消元法，數(shù)學(xué)歸納法等等，但無論何種方法，問題的精髓還是構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.（5）建議有能力同學(xué)可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開式，有許多題都是利用泰勒展開式放縮得來.三極排查：易錯(cuò)易混用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列時(shí)注意定義域.【課堂探究】一、作差（商）法例1、證明下列不等式： 二、利用證明不等式例2、已知函數(shù)（1）若函數(shù)處取得極小值0，求的值；（2）在（1）的條件下，求證：對(duì)任意的，總有.變式：證明：對(duì)

3、一切，都有成立.三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法例3、已知為正整數(shù)，且求證：.變式：設(shè)函數(shù)，（）.(1)試判斷在定義域上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證.四、分析法證明不等式例4、設(shè)，函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，且在點(diǎn)處的切線與直線平行（是坐標(biāo)原點(diǎn)）,證明：.變式：已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使（）設(shè)（）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí)，有.五、隔離函數(shù)例5、已知函數(shù).（）設(shè)是的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，證明:.變式：已知函數(shù)其中，且.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（3）若關(guān)于

4、的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求證：六、與數(shù)列結(jié)合例6、已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：變式：（1）已知，求證：；（2）求證：.【鞏固訓(xùn)練】1. 已知函數(shù)求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.2.已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值3.已知，求證：.4. 設(shè)函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性；（2）證明：(為自然對(duì)數(shù)，).5.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)不等式的解集為P，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.6.已知.(1) 討論的單調(diào)性；（2）證明：(為自然對(duì)數(shù)，).7. 已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的最大值；(2) 設(shè),證明 ：.8.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)（1，處的切線為. ()求； （）證明：.9. 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-1.（）求的值及函數(shù)的極值；（）證