時間序列分析講義2011研究777

1、時間序列分析講義山西財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院 孟勇本學(xué)期講授的主要內(nèi)容第一部分 差分方程和滯后算子第二部分 平穩(wěn)ARMA過程及預(yù)測第三部分 譜分析第四部分 協(xié)方差-平穩(wěn)向量過程第五部分 向量自回歸第六部分 卡爾曼濾波第七部分 協(xié)整第八部分 異方差時間序列模型第九部分 馬爾科夫機制轉(zhuǎn)換模型參考教材：1. J. Hamilton. Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994.2. P. Brockwell., and R. Davis. Time Series: Theory and Methods. Second e

2、dition. New York: Springer-Verlag, 1991.3. W. Enders. Applied Econometric Time Series. New York: Wiley, 1995.4. H. White. Asymptotic Theory for Econometricians. New York: Academic Press, 1984.教學(xué)計劃：36學(xué)時第一部分 時間序列建模思想本課主要在于為分析依次連續(xù)觀察到的數(shù)據(jù)提供必要的工具。由于數(shù)據(jù)和新生成量不再獨立，標(biāo)準(zhǔn)的推論技巧需要進一步細(xì)化才能發(fā)揮作用。這就需要考慮估計量和檢驗統(tǒng)計量的漸近特征。理論上

3、解決相關(guān)問題的可行方法取決于產(chǎn)生新生變量的機制，該機制可以將觀察出的非獨立變量分解成獨立的新生成量。這種機制即通常所說的時間序列模型。時間序列分析根據(jù)對系統(tǒng)觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)通過曲線擬合和參數(shù)估計或譜分析等來建立系統(tǒng)的統(tǒng)計模型的理論和方法。它的理論基礎(chǔ)是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。時間序列建模分為時域建模和頻域建模兩類，一般采用時域建模，需要分析系統(tǒng)的頻率特性時則采用頻域建模。最簡單地理解，時域就是和時間相關(guān)聯(lián)的范圍，頻域就是與頻率相關(guān)的范疇，頻域是時域的倒數(shù)，時域分析是直接在時域中對系統(tǒng)進行分析的方法，它描述統(tǒng)計函數(shù)和時間的關(guān)系。時域分析的橫軸是時間，縱軸是系統(tǒng)或函數(shù)的變化。頻域分析就是分析系統(tǒng)的頻率特

4、點。簡單地講，頻域就是在一個時間點上觀察一個系統(tǒng)的各個側(cè)面。對任何一個事物的描述都需要從多個方面進行，每一方面的描述僅為我們認(rèn)識這個事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車，我可以這樣描述它的顏色，長度，高度以及排量、品牌、價格等。頻域分析，橫軸也就是自變量是頻率，縱軸是統(tǒng)計函數(shù)或系統(tǒng)頻率的變化幅度。對時間序列進行分析時，即使統(tǒng)計函數(shù)的時域參數(shù)相同，并不能說時間序列性質(zhì)就是相同的，因為時間序列不僅隨時間變化，它還與頻率、相圖等有關(guān)系。所以在做時間序列的時域分析時，還需要作頻域分析。時域建模采用曲線擬合和參數(shù)估計的方法（如最小二乘法等），頻域建模采用譜分析的方法。時間序列建模主要決定于被觀測序列

5、的性質(zhì)、可用觀測值的數(shù)目和模型的使用情況等三個因素。時間序列建模的時域建模步驟是：用觀測、調(diào)查、統(tǒng)計、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)的時間序列數(shù)據(jù)。根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)作相關(guān)圖，進行相關(guān)分析，求自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發(fā)現(xiàn)跳點和拐點。跳點是指與其他數(shù)據(jù)不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值,則在建模時應(yīng)考慮進去,如果是反?，F(xiàn)象，應(yīng)把跳點調(diào)整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變?yōu)橄陆第厔莸狞c。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列。辨識合適的隨機模型,進行曲線擬合,即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節(jié)模

6、型加上誤差來進行擬合。對于平穩(wěn)時間序列可用通用線性隨機模型（自回歸聯(lián)合滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型。混合自回歸滑動平均模型等來進行擬合。當(dāng)觀測值多于50個時一般都采用通用模型。對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩(wěn)時間序列，再用適當(dāng)?shù)碾S機模型去擬合這個差分序列。估計模型參數(shù)。可用最小二乘法等方法，必要時可疊加上專門設(shè)計的誤差項。靈敏度分析和模型結(jié)構(gòu)變化分析。當(dāng)時間序列發(fā)生變化時，可用貝葉斯方法對模型結(jié)構(gòu)變化進行分析。第二部分 差分模型引言差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方

7、程。差分方程就是針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經(jīng)濟金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常

8、重要的作用?？梢赃@樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對每個時段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運算關(guān)系（即用相應(yīng)設(shè)定的變量進行四則運算或基本初等函數(shù)運算或取最運算等）等式（可以多個并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可能的關(guān)系），從而 建立起差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當(dāng)?shù)淖兞炕蛳蛄?，然后分?/p>

9、建立起子過程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進行結(jié)合運算、取最運算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實際例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)重點體會。差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng)遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù)學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面

10、建立差分方程模型所用的數(shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進一步進行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等。我們介紹的主要內(nèi)容是一階和階差分方程及其矩陣和算子表示形式。差分方程就是表示一個變量與其前期值之間關(guān)系的一種模式。它是研究隨著時間順序發(fā)生的事件的原因及結(jié)果。一階差分方程的形式是： 1.1.1階差分方程的形式是： 1.1.2如果把它寫成矩陣的形式就是： 1.1.3其中 是其他變量。經(jīng)濟金融問題的研究離不開時間序列數(shù)據(jù)，而時間序列模型的建立與求解在很多情況下都用到了差分方程。我們舉一個股票市場的例子。第一個例子，股價模型令表示股票價

11、格，表示紅利。假設(shè)投資者在時期買進股票，在時期賣出股票，投資者將得到紅利收益和資本利得收益。那么投資者的總收益就是： 1.1.4我們來考慮一個簡化的模型，也就是假設(shè)不同時期的收益率是不變的股市模型：將模型作一簡單變換：這個形式的方程就是一階差分方程。這里，。經(jīng)過反復(fù)迭代，模型變?yōu)椋哼@就是一個很典型的利用差分方程研究股市的模型。第二個例子，商業(yè)貸款還款模型設(shè)現(xiàn)有一筆p萬元的商業(yè)貸款，如果貸款期是n年，年利率是 ，今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學(xué)模型計算每月的還款數(shù)是多少？模型分析：在整個還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。 模型假設(shè)：設(shè)

12、貸款后第 k個月后的欠款數(shù)是元，月還款為元，月貸款利息為。模型建立：關(guān)于離散變量，考慮差分關(guān)系有： ， 即： 這里已知有： 模型求解：令，則 這就是差分方程（3.15）的解。把已知數(shù)據(jù)代入中，可以求出月還款額。例如： 時，可以求出：元。模型的進一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標(biāo)的改變、某些特殊結(jié)果等。如果令，則，并且 當(dāng)時，總有，即表明：每月只還上了利息。只有當(dāng)時，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。第三個例子，養(yǎng)老保險模型 問題：養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，分析如果已知所交保費和保險收入，按年或按月計算實際

13、的利率是多少？也就是說，保險公司需要用你的保費實際獲得至少多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？ 模型舉例分析：假設(shè)每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時月養(yǎng)老金1056元；試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。 模型假設(shè)：這應(yīng)當(dāng)是一個過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設(shè)投保人到第月止所交保費及收益的累計總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險費的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。

14、模型建立：在整個過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：， 在這里實際上表示從保險人開始交納保險費以后，保險人帳戶上的資金數(shù)值，我們關(guān)心的是，在第M個月時， 能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負(fù)數(shù)，則表明保險公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時，表明保險公司最后一無所有，表明所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。從這個分析來看，引入變量，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關(guān)系，特別是引入收益率 ，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象：保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各種量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。 模型計算：以25歲起保為例。假設(shè)男性平均壽命為7

15、5歲，則有 ，初始值為，我們可以得到：在上面兩式中，分別取和并利用可以求出：利用數(shù)學(xué)軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為：同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為第四個例子，宏觀經(jīng)濟的例子：這個例子是戈德費爾得（1973）估計的美國貨幣需求函數(shù)，該模型是公眾持有真實貨幣量的對數(shù)（）關(guān)于真是總收入的對數(shù)（）、銀行帳戶利率的對數(shù)（）和商業(yè)票據(jù)利率對數(shù)（）的函數(shù)：這里，為了好理解，我們可以將上述模型進一步簡化：那模型就化為：第五個例子，蛛網(wǎng)模型在市場經(jīng)濟中，有些商品的生產(chǎn)、銷售呈現(xiàn)明顯的周期性。農(nóng)業(yè)產(chǎn)品往往如此，在工業(yè)生產(chǎn)中，許多商品的生產(chǎn)銷售是有周期性的，表現(xiàn)在：商品的投資、銷售

16、價格、產(chǎn)量、銷售量在一定時期內(nèi)是穩(wěn)定的，因而整個某個較長的時期內(nèi)這些經(jīng)濟數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關(guān)心的是商品的銷售價格與生產(chǎn)產(chǎn)量這兩個指標(biāo)，要想取得良好的經(jīng)濟效益，就必須把握好這兩個因素的規(guī)律，作好計劃。這樣我們就需要建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)和分析市場趨勢。模型假設(shè)與模型建立將市場演變模式劃分為若干段，用自然數(shù)n來表示；設(shè)第n個時段商品的數(shù)量為，價格為，n=1,2.;由于價格與產(chǎn)量緊密相關(guān)，因此可以用一個確定的關(guān)系來表現(xiàn)：即設(shè)有 這就是需求函數(shù)，f 是單調(diào)減少的對應(yīng)關(guān)系;又假設(shè)下一期的產(chǎn)量是決策者根據(jù)這期的價格決定的，即：設(shè)，h是單調(diào)增加的對應(yīng)關(guān)系，從而，有關(guān)系： g也是單調(diào)增

17、加的對應(yīng)關(guān)系.因此可以建立差分方程： 這就是兩個差分方程。屬一階非線性差分方程。模型的幾何表現(xiàn)與分析。為了表現(xiàn)出兩個變量和的變化過程，我們可以借助已有的函數(shù)f和g ,通過對應(yīng)關(guān)系的幾何表現(xiàn)把點列，和在坐標(biāo)系中描繪出來，進而分析它們的變化規(guī)律、趨勢、找穩(wěn)定點等等。其中將點列連接起來，就會形成象蛛網(wǎng)一樣的折線，這個圖形被稱作為蛛網(wǎng)模型。可以設(shè)想，這種形式可作為差分方程分析與求解的重要手段，它的主要數(shù)學(xué)技術(shù)是：圖形的描繪，曲線上點列的描繪（設(shè)法由前一個點的一個坐標(biāo)分量來算出下一個點的一個坐標(biāo)分量，并確認(rèn)它在哪條曲線上，就可以畫出這個點；有時或者可由前兩個點決定下一個點的一個坐標(biāo)分量），也就是通過直觀

18、、幾何形式，把我們關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因為在曲線上如果知道了一個分量，就可以作出另一個分量?？梢妿缀涡问奖硎居嘘P(guān)系的變量是既方便又有意義的。見：如果點列最后收斂于點，則，并且就是兩條曲線的交點，從而穩(wěn)定的。這也表明，市場在長期運行之后會保持一種穩(wěn)定的狀態(tài)，說明市場處于飽和狀態(tài)。要想進一步發(fā)展就必須打破這種平衡，在決策機制和方法上有所改進。幾何上的進一步分析表明，如果曲線和在交點處切線的斜率的絕對值記為：，則當(dāng)時，是穩(wěn)定的；當(dāng) 時，是不穩(wěn)定的。(4) 模型的差分方程分析設(shè)點滿足：，在點附近取函數(shù)的一階近似： 合并兩式可得： 這是關(guān)于 的一階線性差分方

19、程。當(dāng)然它是原來方程的近似模型。作為數(shù)學(xué)模型，本來就是客觀實際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的。其中，為f 在點處的切線斜率；為g(x)在點處切線的斜率。方程（3.9）遞推可得： 所以，點穩(wěn)定的充要條件是：即：這個結(jié)論與蛛網(wǎng)模型的分析結(jié)果是一致的。第六個例子，種群生態(tài)學(xué)中的昆蟲繁衍模型：在種群生態(tài)學(xué)中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目的變化 ，他的變化規(guī)律是：每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成一個蟲子。建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)蟲子數(shù)目的變化規(guī)律。模型假設(shè)與模型建立：假設(shè)第n年的蟲口數(shù)目為，每年一個成蟲平均產(chǎn)卵c個（這個假設(shè)有點粗糙，應(yīng)當(dāng)考慮更具體的

20、產(chǎn)卵分布狀況），則有：，這是一種簡單模型；如果進一步分析，由于成蟲之間會有爭斗以及傳染病、天敵等的威脅，第n+1年的成蟲數(shù)會減少，如果考慮減少的主要原因是蟲子之間的兩兩爭斗，由于蟲子配對數(shù)為，故減少數(shù)應(yīng)當(dāng)與它成正比，從而有：這個模型可化成：，這是一階非線性差分方程。這個模型的解的穩(wěn)定性可以用相應(yīng)一階差分方程的判斷方法，即（14）式來獲得。如果還考慮其它的影響成蟲孵卵及成活的因素的定量關(guān)系，這個模型在此基礎(chǔ)上仍可進一步改進，更加符合實際情形。這種關(guān)系一方面可以通過機理分析，確定減少量與影響因素的定量關(guān)系，另一方面也可以用統(tǒng)計的方法來線性估計影響程度。或者還可以用影響曲線的方法來直觀表現(xiàn)影響的比例

21、關(guān)系、周期關(guān)系、增量關(guān)系等等。還有模型大量用到差分方程模型。本章先討論簡化的差分模型，即將輸入變量視為確定性變量序列，同時回答，差分方程模型中，輸入變量是如何影響值的。然后在進一步研究，如果輸入變量是隨機變量的情形下，輸出變量的統(tǒng)計性質(zhì)。，也就是模型一章的主要內(nèi)容。第一章 差分方程、遞歸方程與特征根一、 差分方程的解析（1） 遞歸替代法求解差分方程假如對所有期的行為都適用，那么我們可以作如下推導(dǎo)：0 1 2 T 若將（1.1.10）代入（1.1.11）可得： 若將（1.1.11）代入（1.1.12）可得： 以此方式連續(xù)遞歸可得： 這個過程被稱為遞歸替代法求解差分方程。（2）特征根與特征向量假如

22、一個矩陣,也就是方陣，如果存在一個非零的向量和一個標(biāo)量有如下關(guān)系： 被稱為的特征向量，被稱為相應(yīng)的特征值。等式可以進一步寫為： 或者 假如矩陣非奇異，那么其逆矩陣必存在，這樣方程可求出： 因此，如果存在滿足特征方程的非零向量，那么必然存在一個值使得特征矩陣是奇異矩陣，也就是矩陣的特征值是滿足下述等式的值：按照映射的觀點，一個線性變換的特征向量是在這個線性變換下簡單地乘以一個標(biāo)量的非零向量。也就是說滿足：其中縮放因子稱為這個特征向量的特征值，或者說線性變換的特征值，反之，一個實數(shù)是線性變換的特征值，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個非零向量滿足上面的方程。同時，給定一個向量空間，從到自身的線性變換,是一個保持向量

23、加法和標(biāo)量乘法的的函數(shù)。比如旋轉(zhuǎn)、反射、拉伸、壓縮，或者是這些變換的組合。而一個抽象的線性變換可以通過他們在向量上的作用而可視化。一般來講，一個向量經(jīng)過線性變換后可以變?yōu)槿魏慰赡艿南蛄浚卣飨蛄烤哂懈玫男再|(zhì)。所有具有相同特征值的特征向量和零向量一起構(gòu)成了一個向量空間，稱為線性變換的一個特征空間，一般記作.如果這個特征空間是有限維的，那么它的維數(shù)就稱為的幾何重數(shù)。線性變換的主特征向量是模最大的特征值對應(yīng)的特征向量。有限維向量空間上的一個變換的譜是其所有特征值的集合。（3）遞歸與矩陣結(jié)合求解差分方程 如果我們的模型是期的依賴于它的期滯后值以及輸入變量： 這也就是一個階線性差分方程。這個方程我們

24、應(yīng)該使用矩陣 方法求解。如果我們記： 這樣可寫成一階向量差分方程： 一階向量系統(tǒng)是階數(shù)量系統(tǒng)的替代表示，但是這樣一個變換，使我們能夠更容易求解差分方程。 按照一階差分系統(tǒng)的處理方法，我們可以求得0期的值：1期的值： 一直遞推下去可得到：將其矩陣形式寫出：該系統(tǒng)中的第一個方程，它代表了的值。如果令表示中第（1，1）個元素，令表示中第（1，2）個元素，以此類推。那該系統(tǒng)中第一個方程就可表示為：上式將期的表示成的個初始值和輸入變量自0期的歷史值的加權(quán)和。我們可以注意到，對于一階差分方程，只需要的一個初始值，而階差分方程需要的個初始值。顯然我們可將該系統(tǒng)進一步推廣為：由此還可推出：對于階差分方程，我們

25、可推出：這里是矩陣的第一行第一列元素。如果=1，那么是矩陣的第一行第一列元素，也就是的第一行第一列元素，也就是參數(shù)。因此，對于階差分系統(tǒng)，一單位的增加對的作用，也就是動態(tài)乘子，由下式計算：=很顯然模型參數(shù)可以通過此式計算。（4）模型動態(tài)的解析特征值方法我們可以通過數(shù)值模擬的方法分析模型的動態(tài)過程，求解差分模型參數(shù)。由上面內(nèi)容我們推導(dǎo)出階差分方程的動態(tài)乘子方法如下：令，令所有其他期的值是0，利用，利用該式計算時的值，可計算出，然后利用計算，利用計算，一直遞歸下去。期 的值給出了變化一個單位對的影響。比如利用遞推公式，由于，可計算出，這正好是的第一行第一列元素是，也就是，出了變化一個單位對的影響。

26、但是遞推方法畢竟要比特征方法繁瑣。如果利用特征值的方法要簡便很多。只要我們知道了矩陣的特征值，系統(tǒng)的動態(tài)行為即可由特征值表示。矩陣的特征值由下式求得： 矩陣的特征值也是下面方程求得的： 現(xiàn)給出其證明，的特征值滿足：根據(jù)的定義，該行列式的值為：我們知道，如果我們將行列式某一列的常數(shù)倍加到另一列上，行列式的值不變。我們將矩陣第列乘以再加到列上，矩陣變?yōu)椋喝缓笤賹⒘谐艘栽偌拥搅猩?繼續(xù)上述過程，我們可得到如下的行列式：=的特征值即是使的值，也就是：（5）利用特征值解析特差分方程（5.1）求解動態(tài)乘子 考慮具有相異特征根的階差分方程的情況。根據(jù)矩陣知識，如果方陣的特征根是相異的，那么存在一個非奇異矩陣

27、，滿足： 其中，是一個矩陣，其對角線元素是由的特征根組成，其他元素為零： 而且 那么 令表示的第行第列元素，令表示的第行第列元素。方程可寫成： =由此可算出的第一行第一列的元素是：為簡便，令，那么由于上式右邊是矩陣的第一行第一列的元素，其為單位矩陣，因此：。同時我們可以證明，如果矩陣的特征值是相異的，的取值是： 由前面我們已知：由此說明，差分方程更復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)可以有矩陣的特征值決定。這就是為何要討論矩陣特征值的原因。（5.2）求解長期現(xiàn)值影響如果特征值的模全部小于1，那么將趨于零，并且如果和都是有界的，我們有：我們從可直接推出向量中任一元素的一個改變對中任一元素的影響：動態(tài)乘子，就是的第一行

28、第一列元素。如果矩陣的所有特征值的模都小于，那么的一個變化對的現(xiàn)值的影響是：的一個變化對的現(xiàn)值的影響為：它的值正好是矩陣的第一行第一列元素。證明如下：假如的逆不存在，由于：的逆不存在，意味著上式就為零，那么就是矩陣的特征值，很顯然這與前提條件是矛盾的。因此是非奇異的。令是第行第列元素，=我們在矩陣兩邊右乘：這相當(dāng)于將列乘以加到列上。=此過程一直持續(xù)下去，最后成為：=由此可以推出：二 滯后算子與差分方程前面的章節(jié)使用矩陣代數(shù)分析了線性差分方程的的動態(tài)，本章將使用時間序列算子研究同樣的結(jié)果。我們首先介紹一些有用的時間序列算子。之所以這樣，是因為如果不需要知道差分方程特解中系數(shù)的實際值，運用滯后算子

29、通常要更方便一些。§2.1 基本概念時間序列是以觀測值發(fā)生的時期作為標(biāo)記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個特定的時間開始采集數(shù)據(jù)（比如說），直到另一個固定的時間為止（比如說），我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為： 如果能夠從更早的時間開始觀測，或者觀測到更晚的時期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進一步擴充。相對而言，上述數(shù)據(jù)只是一個數(shù)據(jù)的片段，整個數(shù)據(jù)序列可以表示為：例2.1 幾種代表性的時間序列(1) 利用時間序列中的第個元素來表述時間序列。比如時間趨勢本身也可以構(gòu)成一個時間序列，也就是說在時刻的值正好是觀測的日期。此時：；(2) 另一種特殊的時間序列是常數(shù)時間序列，即：，是常數(shù)，這種時間的取值

30、不受時間的影響；(3) 在隨機分析中常用的一種時間序列是高斯白噪聲過程，表示為： ， 是一個獨立隨機變量序列，每個隨機變量都服從 分布。例2.2 幾種代表性的時間序列轉(zhuǎn)換時間序列之間也可以進行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時間序列轉(zhuǎn)換為輸出時間序列。一個時間序列算子可以將一個時間序列或一個時間序列組轉(zhuǎn)換成新的時間序列。(1) 假設(shè)是一個時間序列，假設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： ，這種算子是將一個時間序列的每一個時期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個新的時間序列。(2) 假設(shè)和是兩個時間序列，算子轉(zhuǎn)換方式為： ，此算子是將兩個時間序列求和。時間序列算子：我們用表示這種運算法則。定義2.1 如果算子運算是將一

31、個時間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當(dāng)期值，則稱此算子為滯后算子，記做。即對任意時間序列，滯后算子滿足： (2.1) 類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為，對任意時間序列，二階滯后算子滿足： (2.2) 一般地，對于任意正整數(shù)，有： 可以將時間序列轉(zhuǎn)換為新的序列，其中期的值生成期的值：這被稱作對時間序列應(yīng)用滯后算子，在我們的課程中，該運算符號一般用表示。如果我們運用兩次滯后算子，計算結(jié)果為： 依次類推，對任何整數(shù) 命題2.1 滯后算子運算滿足線性性質(zhì)：(1) （2.3）(2) （2.4）證明：利用滯后算子性質(zhì)，可以得到： End 滯后算子嚴(yán)格遵從和乘法算子同樣的代數(shù)規(guī)則。例如： 由于滯后算

32、子具有上述運算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項式，它的作用是通過它對時間序列的作用獲得一個新的時間序列，并且揭示這兩個時間序列之間的關(guān)系。顯然，滯后算子作用到常數(shù)時間序列上，時間序列仍然保持常數(shù)，即：。二、 滯后算子與遞推法的等價性-基于一階差分方程： （2.5）（1）如果用滯后算子表示： （2.6）整理后得： 現(xiàn)在考慮將方程（1.1.4）兩邊乘以下面的算式： （2.7）結(jié)果變?yōu)椋?（2.8）我們知道： （2.9）將（1.1.7）帶入（1.1.6）可得： （2.10）也就是：即：（2.11）通過滯后算子計算的結(jié)果和第一章利用遞歸替代的方法求解差分方程是一樣的。（2）如果利用遞歸替

33、代法求解（1.1.1）： 0 1.1.10 1 1.1.112 1.1.12 T 1.1.13若將（1.1.10）代入（1.1.11）可得： 1.1.14若將（1.1.11）代入（1.1.12）可得： 1.1.15以此方式連續(xù)遞歸可得： 1.1.16比較（1.1.9）和（1.1.16）可以看出，運用滯后算子得到的結(jié)果與遞歸法推倒的結(jié)果是一樣的。（3）算子的逆當(dāng)變大時算子的性質(zhì)序列有界的定義：一個序列 被稱為是有界的，如果存在一個有限的數(shù) ： 對所有假如，如果我們將討論局限在有界序列或者平穩(wěn)隨機過程和，且是有限的數(shù)時，也就是序列有界，也就是存在一個有限的數(shù)，對所有的，使得成立。我們可以推出：因此

34、我們可以將近似看作的逆。算子具有性質(zhì)：這里1是恒等運算符。推導(dǎo)如下：接前面：也就是說，與相差，如果，且是有限的數(shù)，殘差將隨著的增大變得可以忽略不計：假如，如果我們將討論局限在有界序列或者平穩(wěn)隨機過程和，方程兩邊可以乘以，可以得到：或：但是如果我們不將序列和限定為有界序列或平穩(wěn)隨機過程和，那么表達(dá)式：就不一定是方程的必然結(jié)果。方程：增加上 也就是：那么這個序列對于任意的 都是一致的。為了證明二者是一致的，方程兩邊同乘以，所以：因此：這便證明了一致性。（4）根據(jù)對一階差分方程進行分解 對于形如的一階差分方程，薩金特建議：當(dāng)時應(yīng)該向后求解方程，也就是乘以 當(dāng)時，應(yīng)該向前求解方程，也就是乘以 這也就相

35、當(dāng)于說，當(dāng)時，且當(dāng)以及都是有界序列時，的逆是，當(dāng)時，且當(dāng)以及都是有界序列時，的逆是。三、 以算子表示的二階及 階差分方程和特征根（一）二階差分方程寫成滯后算子的形式：對于二階差分方程，我們可以將分解成該計算與求下面矩陣 也就是： 中特征值的計算相同。矩陣的特征值與下面方程中的系數(shù)相同。計算矩陣的特征值與滯后算子多項式分解之間的對應(yīng)是很有啟發(fā)意義的。但是這要注意概念上的混淆，我們可以將滯后算子的二階多項式求出分解因子，及求數(shù)值和，使得：我們知道，如果和的根都小于1，那么是穩(wěn)定的。有時也說當(dāng)?shù)母柯湓趩挝粓A內(nèi)。否則只要和的模任意一個大于1，則是發(fā)散的。當(dāng)特征根和落在單位圓內(nèi)的時候(這也是差分方程

36、的穩(wěn)定性條件)，滯后算子多項式分解為：，這時二階差分方程解可以表示為：注意到算子分式也可以進行分項分式分解(如此分解需要證明，參見Sargent，1987，p. 184)：將上述表達(dá)式帶入到二階差分方程解中：其中：，利用上述公式，可以得到外生擾動的動態(tài)反應(yīng)乘子為：， (14)上述利用滯后算子運算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致。可能出現(xiàn)的混淆是我們通常直接利用計算下面方程的根。兩個方程的根互為倒數(shù)。因此，如果方程的根落在單位園內(nèi)時，或者方程的根落在單位圓外時，差分方程是穩(wěn)定的。這兩個說法是等價的。主要是要將兩個方程區(qū)分清楚。（二）以算子表示的階差分方程可以將此方程寫作滯后算子形式：如果我們記： 那

37、么階差分方程可以寫為一階向量差分方程：如果我們可以將階差分方程分解為：這等同于求解，以至于對所有的，兩邊的多項式的值都相等：我們將兩邊同時乘以，且定義：顯然，能使上一方程右邊為零，也必然使上一方程的左邊為零。也就是：我們可以證明：矩陣的特征值是由滿足：的值組成。由此得出幾個結(jié)論：（1）階滯后算子多項式分解因式的計算和求解矩陣的特征值相同。（2）矩陣的特征值與的系數(shù)相同，其解由給出。四、 利用滯后算子求解動態(tài)乘子及現(xiàn)值的影響（1）動態(tài)乘子的求解假定特征值都落在單位圓之內(nèi)，而且和都是有界序列時，那么都存在，差分方程可以寫為：進一步假定特征值是相異的，那么多項式可分解為各分式：=等式兩邊同乘以該式應(yīng)該對每一個都成立，我們令，這樣可解出：同樣我們令，依次可求得：上述結(jié)果與遞歸法完全一樣，而且。于是能被寫作：也就是：動態(tài)乘子的求解：結(jié)果與遞推法是一致的。（2） 對現(xiàn)值影響的求解 由上一節(jié)推導(dǎo)可知： 其中我們可以將其寫成滯后算子形式：其中=這里是動態(tài)乘子，對的現(xiàn)值的影響由下式給出：=可以理解為，為利率。由前面推導(dǎo)：同時前述推導(dǎo)也有：于是對任何：也就是：那么：=這和遞推法得出的結(jié)論是一樣的。假設(shè)給定下述線性差分方程： 一般情況下，求解p階差分方程的特解，需要p個初值：，也需要外生變量的一個輸入序列：，這樣一來根據(jù)差分方程結(jié)構(gòu)，便可以確