二次型與標準型

1、關(guān)于二次型與標準型現(xiàn)在學習的是第1頁，共30頁221axbxycycossin,sincos,xxyyxy221mxny引言：在解析幾何中，為了便于研究二次曲線引言：在解析幾何中，為了便于研究二次曲線把方程化為標準形把方程化為標準形的幾何性質(zhì)，可以選擇適當?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)變換的幾何性質(zhì)，可以選擇適當?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)變換 現(xiàn)在學習的是第2頁，共30頁上式的左邊是一個二次齊次多項式。上式的左邊是一個二次齊次多項式。從代數(shù)學的觀點看，化標準形的過程從代數(shù)學的觀點看，化標準形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只含有平方項次齊次多項式，使它只含有平方項這樣一個問

2、題，在許多理論問題或這樣一個問題，在許多理論問題或?qū)嶋H問題中常會遇到?，F(xiàn)在我們把實際問題中常會遇到?，F(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題個變量的二次齊次多項式的化簡問題現(xiàn)在學習的是第3頁，共30頁12,nx xx2221211 122 222 212 1213 131,1( ,)222nnn nnf x xxa xa xa xa x xa x xax x定義定義1 含有含有n個變量個變量 稱為二次型。稱為二次型。 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)例如二元及三元二次型（舉例）例如二元及三元二次型（舉例）現(xiàn)在學習的是第4頁，共30頁對于二次型，我們討論的

3、主要問題是：對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換 11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc ycycyxc ycycy 使二次型只含平方項，也就是代入能使之成為使二次型只含平方項，也就是代入能使之成為2221122nnfk yk yk y這種只含平方項的二次型，稱為這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標準形二次型的標準形 (或法式或法式)?，F(xiàn)在學習的是第5頁，共30頁222211pprfyyyy如果標準形的系數(shù)只在如果標準形的系數(shù)只在1，-1,0三個三個數(shù)中取值，也就是代入數(shù)中取值，也就是代入 能使之成為能使之成為則

4、稱上式為二次型的規(guī)范形則稱上式為二次型的規(guī)范形。我們利用矩陣來解決這一問題我們利用矩陣來解決這一問題現(xiàn)在學習的是第6頁，共30頁一。二次型與可逆線性變換的矩陣表示一。二次型與可逆線性變換的矩陣表示例例1.將下列二次型表示成矩陣乘積的形式：將下列二次型表示成矩陣乘積的形式：2221231231 21 323( ,)2324f x x xxxxx xx xx x解：先寫成對稱形式解：先寫成對稱形式現(xiàn)在學習的是第7頁，共30頁123211 21 322 122323 1323( ,)21221232f x x xxx xx xx xxx xx xx xx112321233123(2 )1(2)21(

5、23 )2x xxxx xxxxxxx現(xiàn)在學習的是第8頁，共30頁利用內(nèi)積寫成：利用內(nèi)積寫成：12312312312321( ,)221232xxxx x xxxxxxx1123231121( ,) 1221232xx x xxx現(xiàn)在學習的是第9頁，共30頁令：令：11211221232A123123( ,)( ,)TTXx x xXx x x則：則：123( ,)Tf x x xX AX現(xiàn)在學習的是第10頁，共30頁矩陣矩陣11211221232A是對稱矩陣，它是由二次型的系數(shù)來決定的，是對稱矩陣，它是由二次型的系數(shù)來決定的，我們稱該二次型的矩陣，而二次型稱該矩陣我們稱該二次型的矩陣，而二次

6、型稱該矩陣的二次型，他們之間是一一對應的。的二次型，他們之間是一一對應的。矩陣矩陣A的秩稱對應二次型的秩的秩稱對應二次型的秩，寫出了二次型的矩，寫出了二次型的矩，就容易將二次型表示成矩陣乘積的形式。，就容易將二次型表示成矩陣乘積的形式?，F(xiàn)在學習的是第11頁，共30頁將矩陣與二次型的系數(shù)比較，不難發(fā)現(xiàn)：將矩陣與二次型的系數(shù)比較，不難發(fā)現(xiàn)：1）對角元對應相應平方項的系數(shù)，）對角元對應相應平方項的系數(shù)，2）非對角元對應相應交叉項系數(shù)的一半）非對角元對應相應交叉項系數(shù)的一半（另一半為其對稱元素）（另一半為其對稱元素）我們將矩陣與未知數(shù)的系數(shù)列成下表：我們將矩陣與未知數(shù)的系數(shù)列成下表：123112213

7、21121223xxxxxx其中表中數(shù)字表對應變量乘積之系數(shù)其中表中數(shù)字表對應變量乘積之系數(shù)現(xiàn)在學習的是第12頁，共30頁例例2.寫出下列二次型對應的矩陣，寫出下列二次型對應的矩陣，并將二次型表示成矩陣乘積的形式：并將二次型表示成矩陣乘積的形式：2221231232221231231 22312341 223341) ( ,)2342) ( ,)3243) ( ,)222f x x xxxxf x x xxxxx xx xf x x x xx xx xx x解解:其矩陣分別為：其矩陣分別為：1234A2110132021A 現(xiàn)在學習的是第13頁，共30頁30100101001010010A對應

8、二次型分別寫為：對應二次型分別寫為：;(1,2,3)TifX AX i下面將可逆線性變換下面將可逆線性變換11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y現(xiàn)在學習的是第14頁，共30頁利用將線性方程組表示成矩陣的方法利用將線性方程組表示成矩陣的方法（變量（變量X與線性方程組中的常數(shù)項對應）與線性方程組中的常數(shù)項對應）可將可逆線性變換用矩陣表示如下：可將可逆線性變換用矩陣表示如下：XCY其中其中C為線性變換對應的矩陣，為線性變換對應的矩陣，X,Y為為變量對應的向量表示變量對應的向量表示用矩陣乘積表示用矩陣乘積表示現(xiàn)在學習的是

9、第15頁，共30頁二。將二次型化成標準型：二。將二次型化成標準型：xC y()()TTTTfx AxCyACyyCAC yTBC AC。定義定義5.7 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A，若有可逆矩陣，若有可逆矩陣C使使1.將可逆線性變換：將可逆線性變換：代入二次型：代入二次型：TfX AX得：得：則稱矩陣則稱矩陣A與矩陣與矩陣B合同合同現(xiàn)在學習的是第16頁，共30頁TBC AC()TTTTTTBC ACC AC C AC BTB C ACTCR(B)=R(A)顯然，若顯然，若A為對稱陣，則為對稱陣，則也為對稱陣，且也為對稱陣，且R(A)=R(B)故故B為對稱陣。又因為對稱陣。又因也可逆，由矩陣秩的性質(zhì)即知

10、也可逆，由矩陣秩的性質(zhì)即知。xCyTCAC由此可知，經(jīng)可逆線性變換由此可知，經(jīng)可逆線性變換后，二次型后，二次型f的矩陣由的矩陣由A變成與變成與A合同的矩陣合同的矩陣。且二次型的秩不變且二次型的秩不變。事實上因事實上因C可逆，故可逆，故現(xiàn)在學習的是第17頁，共30頁矩陣等價，相似，合同是矩陣的三大關(guān)系矩陣等價，相似，合同是矩陣的三大關(guān)系，總結(jié)一下，各自的背景，判定條件，之，總結(jié)一下，各自的背景，判定條件，之間的關(guān)系，應用。間的關(guān)系，應用。矩陣合同關(guān)系是等價關(guān)系，故滿足：矩陣合同關(guān)系是等價關(guān)系，故滿足：自反，對稱，傳遞自反，對稱，傳遞2.用用lagrang配方法把二次型化標準型配方法把二次型化標準

11、型xCy，現(xiàn)在學習的是第18頁，共30頁上一節(jié)我們講了用正交變換化二次型為上一節(jié)我們講了用正交變換化二次型為標準形，這個問題稱主軸問題。由于正標準形，這個問題稱主軸問題。由于正交變換有保持圖形不變的性質(zhì)，因此在交變換有保持圖形不變的性質(zhì)，因此在研究幾何圖形中被廣泛應用但在很多場研究幾何圖形中被廣泛應用但在很多場合下我們只需要用一般可逆合下我們只需要用一般可逆線性變換把二次型化標準形。下面我們線性變換把二次型化標準形。下面我們介紹用介紹用Logrange配方法把二次型化成標準配方法把二次型化成標準形。所用線性變換為可逆線性變換。形。所用線性變換為可逆線性變換?，F(xiàn)在學習的是第19頁，共30頁1x1

12、x1x2x2x一、一、Logrange配方法的步驟配方法的步驟起頭，首先集中所有含起頭，首先集中所有含的項進行配方，剩下部分再不含的項進行配方，剩下部分再不含起頭，則再集中所有含起頭，則再集中所有含，情形情形1，如果二次型中含有平方項。不妨設(shè)以，如果二次型中含有平方項。不妨設(shè)以不妨設(shè)以不妨設(shè)以1x的項的項的項進行配方。以此類推，直至全部的項進行配方。以此類推，直至全部配成平方為止配成平方為止現(xiàn)在學習的是第20頁，共30頁情形情形2，如果二次型中不含有平方項。不妨設(shè)含，如果二次型中不含有平方項。不妨設(shè)含則變換后即含有平方項，再按情形則變換后即含有平方項，再按情形1進行配方進行配方即可。將以上每次

13、新老變量的線性變換連乘即可。將以上每次新老變量的線性變換連乘，即得新變量組到終變量組間的可逆線性變，即得新變量組到終變量組間的可逆線性變量。量。112212,xyyxyy的項，令的項，令12,x x(2)iixy i注：通過以下例題可看到用注：通過以下例題可看到用Logrange配方法把二次型化成標準形。的步驟與配方法把二次型化成標準形。的步驟與過程，其一般性證明是類似的，留待讀者過程，其一般性證明是類似的，留待讀者現(xiàn)在學習的是第21頁，共30頁22211221332346fxx xxx xx21x1x例例5.6.1 用配方法化下列二次型為標準形，用配方法化下列二次型為標準形，設(shè)設(shè)解解 ，故可

14、先將含，故可先將含的各項集中并進行配平方的各項集中并進行配平方f中含有變量平方項，例如中含有變量平方項，例如現(xiàn)在學習的是第22頁，共30頁2221121323(24)36fxx xx xxx222221232 32323(2 )4436xxxx xxxxx22212322 33(2 )242x xxxxxx 2212323(2 )2()xxxxx 令可逆線性變換令可逆線性變換現(xiàn)在學習的是第23頁，共30頁1123223332yxxxyxxyx1123223333xyyyxyyxy2212312(,)f x xxyy11221,2yz yz2212fzz即即使得使得顯然如令顯然如令上式又可化成規(guī)

15、范型上式又可化成規(guī)范型現(xiàn)在學習的是第24頁，共30頁1213233fx xx xx x11221233xyyxyyxy110110001xy例例5.6.2 用配方法把下面二次型化為標準形用配方法把下面二次型化為標準形解：因為解：因為f中不含有變量平方項，所以先做一個中不含有變量平方項，所以先做一個簡單的可逆線性變換使新二次型出現(xiàn)平方項。為簡單的可逆線性變換使新二次型出現(xiàn)平方項。為此設(shè)此設(shè)即即現(xiàn)在學習的是第25頁，共30頁22121 32 31 32 333fyyyyy yyyy y2211322324yy yyy y222132233()4fyyyy yy22213233()(2)3yyyyy

16、代入原二次型得代入原二次型得用例用例5.6.1配方步驟得配方步驟得現(xiàn)在學習的是第26頁，共30頁113223332zyyzyyzy2221233fzzz11232123333xzzzxzzzxz113111001xz令可逆線性變換令可逆線性變換代入上式，得代入上式，得由上面，式，得可逆線性變換由上面，式，得可逆線性變換即即 現(xiàn)在學習的是第27頁，共30頁fX AX一般非正交變換的可逆線性變換不再一般非正交變換的可逆線性變換不再保持圖形形狀不變，但仍保持許多好保持圖形形狀不變，但仍保持許多好的特性。首先保持秩不變，因此當二的特性。首先保持秩不變，因此當二次型用可逆線性變換化標準形時，其次型用可逆線性變換化標準形時，其非零平方項的個數(shù)或獨立變量個數(shù)）非零平方項的個數(shù)或獨立變量個數(shù)）是不變的。不僅如此，還有如下結(jié)論是不變的。不僅如此，還有如下結(jié)論定理定理5.9（慣性定理）設(shè)秩為（慣性定理）設(shè)秩為r的的的實的實二次型二次型，經(jīng)可逆線性變換化標準形時，正平，經(jīng)可逆線性變換化標準形時，正平方項的個數(shù)方項的個數(shù)現(xiàn)在學習的是第28頁，共30頁請總結(jié)一下，請總結(jié)一下，用用Logrange配方法把二次型配方法把二次型化成標準形的步驟，并比較用正交變換化成標準形的步驟，并比較用正交變換化標