202X_202X版高中數(shù)學習題課——空間向量在空間問題中的綜合應(yīng)用課件新人教A版選修2_1

1、-1-習題課空間向量在空間問題中的綜合應(yīng)用課前篇自主預(yù)習1.利用空間向量求兩點間距離設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中任意兩點,則2.利用空間向量求點面距如圖,設(shè)AB為過平面內(nèi)一點A的一條斜線段,n為平面的法向量,則點B到平面的距離d= .課前篇自主預(yù)習3.利用空間向量解決探索性問題立體幾何探索性問題是近幾年高考和各地模擬考試中的熱點題型.空間向量作為一種工具,在解決立體幾何探索性問題中有著無比的優(yōu)越性,運用空間向量法解題,可使幾何問題代數(shù)化,大大簡化思維程序,使解題思路直觀明了.空間中的探索性問題一般有以下兩種類型:(1)“條件探索型”,就是指給出了問題的明確結(jié)論,但條

2、件不足或未知,需要解題者探求、尋找使結(jié)論成立的條件的一類問題,這類問題的常用解法是逆推法,利用結(jié)論探求條件.(2)“存在型”,是指結(jié)論不確定的問題,即在數(shù)學命題中,結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn),其結(jié)果可能存在,需要找出來;可能不存在,則需要說明理由.解答這一類問題時,先假設(shè)結(jié)論存在,若推證無矛盾,則結(jié)論存在;若推證出矛盾,則結(jié)論不存在.課前篇自主預(yù)習【做一做1】 已知空間兩點A,B的坐標分別為(1,-1,1),(2,2,-2),則A,B兩點的距離為.【做一做2】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下面結(jié)論錯誤的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1課前篇

3、自主預(yù)習解析以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,不妨設(shè)正方體的棱長為1,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).答案D 課前篇自主預(yù)習【做一做3】 如圖,設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,記 =,則當APC為鈍角時,實數(shù)的取值范圍是.課前篇自主預(yù)習解析由題意,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢

4、測探究一利用空間向量求空間中兩點間距離探究一利用空間向量求空間中兩點間距離 例1 如圖,60的二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的長度.思路分析本題中的圖形不適合建立空間直角坐標系,因此可通過向量分解的方法,利用公式|a|= 求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟利用空間向量求空間兩點距離的基本方法(1)坐標法,建立空間直角坐標系,得出兩個點的坐標,然后根據(jù)兩點距離公式求解.(2)向量分解法,將兩點所對應(yīng)向量用基向量表示,然后利用公式|a|= 求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢

5、測變式訓練1已知AB,BC,CD為兩兩垂直的三條線段,且它們的長都為2,則AD的長為()A.4 B.2C.3 D.2 答案D 課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測探究二利用空間向量求點面距探究二利用空間向量求點面距例2 在三棱錐S-ABC中,ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.思路分析借助平面SAC平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標系,先求平面CMN的法向量,再求距離.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測解取AC的中點O,連接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SA

6、C平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC.又BO平面ABC,SOBO.如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz,課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟求點到平面的距離的主要方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.(3)向量法:d= (n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段)課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練2在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.(1)求證:B1C平面A1BD

7、;(2)求點B1到平面A1BD的距離.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測(1)證明連接AB1交A1B于點E,連接DE. 課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測探究三利用空間向量解決空間中的探索性問題探究三利用空間向量解決空間中的探索性問題 例3 在四棱錐P-ABCD中,ABCD是菱形,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD= a,點E在PD上,且PEED=21.在PC上是否存在一點F,使BF平面AEC?并證明你的結(jié)論.思路分析首先假設(shè)存在,然后再根據(jù)BF平面AEC,結(jié)合線面平行的條件進行推理.解PA=AC=a,ABC=60,AB=AD=a.又PB=PD= a,PAAB,PAAD,PA

8、平面ABCD.如圖,以A為坐標原點,AD,AP所在直線分別為y軸、z軸,過A點垂直于平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標系.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟立體幾何中探索性問題的解法解決這類探索性問題的基本策略是:假定題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分的結(jié)論,然后在這個前提下進行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè);否則,給出肯定結(jié)論.其中反證法在解題中起著重要的作用.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練3如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA菱形ABCD所在的平面

9、,ABC=60,E是BC中點,F是PC上的點. (1)求證:平面AEF平面PAD;(2)若M是PD的中點,當AB=AP時,是否存在點F,使直線EM與平面AEF所成角的正弦值為 ?若存在,請求出 的值,若不存在,請說明理由.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測(1)證明連接AC,因為底面ABCD為菱形,ABC=60,所以ABC是正三角形,E是BC的中點,AEBC,又ADBC,AEAD,PA平面ABCD,AE平面ABCD,PAAE,又PAAD=A,AE平面PAD,又AE平面AEF,所以平面AEF平面PAD.(2)解以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系,不妨設(shè)AB=AP=2,則AE= ,課堂

10、篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測規(guī)范解答規(guī)范解答 利用空間向量解決空間的綜合問題典例如圖,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB= AB.(1)證明:BC1平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.【審題策略】第一問可借助線面平行的判定定理證明;第二問應(yīng)建立直角坐標系,利用向量方法進行求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測【規(guī)范展示】(1)證明連接AC1,交A1C于點F,連接DF,則F為AC1的中點.又因為D是AB的中點,所以DFBC1.又因為DF平面A1CD,BC1平面A1CD,故BC1平

11、面A1CD.(2)解設(shè)AB=2a,由AA1=AC=CB= AB可得AA1=AC=CB= a,所以ACBC.又因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,故可建立如圖所示的空間直角坐標系.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測【答題模板】第1步:證明線線平行第2步:證得線面平行第3步:建立空間直角坐標系第4步:求出平面內(nèi)兩不共線向量的坐標第5步:用待定系數(shù)法求法向量的坐標第6步:求出兩個法向量夾角的余弦值,進而求得正弦值.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,失分主要出現(xiàn)在第(2)問,造成失分的原因是:(1)不能利用三角形中的邊長關(guān)系

12、找到垂直的條件,從而不能恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系.(2)不能利用中點公式正確地求出相關(guān)點的坐標.(3)待定系數(shù)法求法向量的方法與步驟不熟練,導(dǎo)致法向量坐標求錯.(4)不能利用三角函數(shù)的知識把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為二面角的正弦值.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測 跟蹤訓練如圖,在多面體ABCDEF中,正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分別為EC和BD的中點.(1)求證:BC平面BDE;(2)求直線MN與平面BMC所成的角的正弦值.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測(1)證明在梯形ABCD中,取CD中點H,連接BH,因為

13、AD=AB,ABCD,ADCD,所以四邊形ADHB為正方形.又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD.又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD,所以DE平面ABCD,所以BCDE,又BDDE=D,故BC平面BDE.課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測(2)解由(1)知CD平面ABCD,ADCD,所以DE,DA,DC兩兩垂直.以D為坐標原點建立如圖所示直角坐標系D-xyz,課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測1.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,M是面ABC內(nèi)一點,且M到其他三面的距離分別

14、是2,3,6,則M到頂點P的距離是()A.7B.8 C.9 D.10解析以P為原點,PA,PB,PC所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= .答案A課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測2.在如圖所示的幾何體中,三棱錐D-ABC的各條棱長均為2,OA,OB,OC兩兩垂直,則下列說法正確的是()A.OA,OB,OC的長度可以不相等B.直線OB平面ACDC.直線OD與BC所成的角是45D.直線AD與OB所成的角是45課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測答案D 課堂篇探究學習探究一探究二探究三當堂檢測3.如圖所示,在直二面角-l-中,A,Bl,AC,A