中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題八圖形折疊問題訓(xùn)練

1、專題八 圖形折疊問題類型一 折疊三角形( 2018 浙江臺州中考)如圖，等邊三角形ABC邊長是定值，點O是它的外心，過點O任意作一條直線分別交AB，BC于點D，E. 將BDE沿直線DE折疊，得到BDE，若BD，BE分別交AC于點F，G，連結(jié)OF， OG，則下列判斷錯誤的是( )AADFCGEBB FG 的周長是一個定值C四邊形FOEC的面積是一個定值D四邊形OGBF的面積是一個定值【分析】A根據(jù)等邊三角形ABC的外心的性質(zhì)可知AO平分BAC，根據(jù)角平分線的定理和逆定理得FO平分DFG，由外角的性質(zhì)可證明DOF60，同理可得EOG60，F(xiàn)OG60DOFEOG，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得ADFCG

2、E；B根據(jù)DOFGOFGOE，得DFGFGE，所以ADFBGFCGE，可得結(jié)論；C根據(jù)S 四邊形 FOEC S OCF S OCE判斷即可；1D將S 四邊形OGFBSOACSOFG，根據(jù)SOFG2FGOH，F(xiàn)G變化，故OFG的面積變化，從而四邊形OGBF 三角形的折疊問題一般考查軸對稱的性質(zhì)、勾股定理和線段的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是抓住折疊的本質(zhì)是 軸對稱，軸對稱是全等變換，找出相等的角和線段類型二 折疊平行四邊形（ 2018山東淄博中考）在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB2，AD3，將ACD沿對角線AC折疊，點D落在ABC所在平面內(nèi)的點E處，且AE過 BC的中點O，則ADE的周長等于要計算周

3、長首先需要證明E， C， D共線，DE可求，問題得解關(guān)于平行四邊形折疊問題，解答時需要關(guān)注：在折疊前后，折痕兩邊能夠完全重合的部分是全等圖形， 它們的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，與特殊的平行四邊形相比，它缺少了特殊的條件1 ( 2018 甘肅蘭州中考) 如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點 E處，交BC于點F. 若ABD48，CFD 40，則E為 ( )A 102B 112C 122D 92類型三 折疊菱形( 2018 山東煙臺中考)對角線長分別為6和 8的菱形ABCD如圖所示，點O為對角線的交點，過點O折疊菱形，使B， B兩點重合，MN是折痕若B M 1，則CN的長為( )A 7B 6

4、C 5D 411【分析】連結(jié)AC，BD，利用菱形的性質(zhì)得OC2AC3，OD2BD4，COD 90，再利用勾股定理計算出CD5，接著證明OBMODN 得到DNBM，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得BMBM1，從而有DN1，于是計算CD DN即可【自主解答】折疊是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等對于菱形的折 疊，還要明確菱形的基本性質(zhì)，在解題過程中要抓住菱形的性質(zhì)進行分析2 （ 2018 貴州遵義中考） 如圖，在菱形ABCD中，ABC 120，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（ 不與B，D重合 ） ，折痕為EF，若DG2，BG6，則BE的長為3如圖，在菱形A

5、BCD中，tanA4，M，N分別在邊AD，BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對3應(yīng)線段 EF經(jīng)過頂點D，當(dāng)類型四 折疊矩形（ 2018 浙江杭州中考）折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作：把ADE 翻折，點A落在DC邊上的點F 處，折痕為DE，點E在 AB邊上；把紙片展開并鋪平；把CDG 翻折，點C落在線段AE上的點 H處，折痕為DG，點G在BC邊上若ABAD2，EH1，則AD設(shè)ADx，則ABx2，利用折疊的性質(zhì)得DFAD，EAEF，DFEA90，則可判斷四邊形AEFD為正方形，所以AEADx，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得DHDCx2，則AHAEHEx1，然后根據(jù)勾股定理得到x2 （x

6、 1）2 （x 2） 2，再解方程求出x 即可【自主解答】此類問題中，運用的知識點比較多，綜合性強，如軸對稱性、全等、相似、勾股定理、轉(zhuǎn)換思想、與其他圖形 （ 圓 ） 結(jié)合等，抓住翻折前后兩個圖形是全等的，把握翻折前后不變的要素是解決此類問題的關(guān)鍵4 （ 2018 湖北宜賓中考） 如圖，在矩形ABCD中，AB 3， CB 2，點E 為線段 AB 上的動點，將CBE 沿CE折疊，使點B 落在矩形內(nèi)點F 處，下列結(jié)論正確的是（ 寫出所有正確結(jié)論的序號） 當(dāng)E 為線段AB中點時，AF CE；9當(dāng)E 為線段AB中點時，AF ；513 2 13當(dāng)A， F， C三點共線時，AE；3當(dāng)A， F， C三點共線

7、時，CEFAEF.類型五 折疊正方形( 2018 江蘇宿遷中考)如圖，在邊長為1 的正方形ABCD中，動點E， F 分別在邊AB， CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應(yīng)點M始終落在邊AD上(點M不與點A，D重合)，點C落在點N處，MN與 CD交于點P，設(shè)BE x.(1) 當(dāng) AM 1 時，求 x 的值；3(2) 隨著點M在邊AD上位置的變化，PDM 的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；(3) 設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與 x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值【分析】(1) 利用勾股定理構(gòu)建方程，即可解決問題；(2) 設(shè)AMy，則BEEMx，MD1

8、y，在RtAEM 中，由勾股定理得出x，y 的關(guān)系式，可證Rt AEM Rt DMP，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比求DMP 的周長；(3) 作 FH AB于 H.則四邊形BCFH是矩形連結(jié)BM交 EF于 O，交FH于 K.根據(jù)梯形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題即可正方形的折疊同其他圖形一樣，要關(guān)注勾股定理、全等圖形、相似等相關(guān)知識，但由于正方形的特點， 所以有關(guān)正方形的折疊問題有著其他圖形沒有的特殊性，解題時應(yīng)關(guān)注正方形本身具有的特點5綜合與實踐問題背景 折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年

9、，經(jīng)過人們的不懈努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法，最著名的是由日本學(xué)者芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的三種折法，現(xiàn)在被數(shù)學(xué)界稱之為芳賀折紙三定理其中，芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下（ 如圖 1） ：操作1 ：將正方形ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至BE 的位置，得到折痕MN，B E 與 AB交于點P. 則 P 即為 AB的三等分點，即AP PB 2 1.解決問題(1) 在圖 1 中，若 EF與 MN交于點Q，連結(jié)CQ.求證：四邊形EQCM是菱形；(2) 請在圖 1

10、中證明AP PB 2 1.發(fā)現(xiàn)感悟若 E 為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點，重復(fù)“問題背景”中操作 2 的折紙過程，請你思考并解決如下問題：(3) 如圖 2. 若 DE 2. 則 AP AE BP(4) 如圖3，若DE 3，則AEAP BP5 ) 根據(jù)問題(2) ， (3) ， (4) 給你的啟示，你能發(fā)現(xiàn)一個更加一般化的結(jié)論嗎？請把你的結(jié)論寫出來，不要求證明類型六 折疊圓( 2018 湖北武漢中考)如圖，在O中，點 C在優(yōu)弧AB上，將BC沿 BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.若O 的半徑為5， AB 4，則BC的長是 ()AC.23532B 3 2D. 265連結(jié)OD，AC，DC，OB

11、，OC，作CEAB 于E，OFCE 于F，利用垂徑定理、勾股定理、折疊的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)即可求解6如圖，將半徑為4 cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為(A 2 3 cmC. 3 cm8 4 3 cmD. 2 cm參考答案類型一【例1 】 A 如圖，連接OA， OC.點O是等邊三角形ABC的外心， AO平分BAC，點O到AB，AC的距離相等由折疊得DO平分BDB，點O到AB，DB的距離相等，點O到DB，AC的距離相等，1 FO平分DFG，DFOOFG2( FADADF)1BDE ODF 2( DAF AFD)，1OFDODF 2( FADADFDAFA

12、FD) 120，DOF 60.同理可得EOG 60，F(xiàn)OG 60DOFEOG，DOFGOFGOE，ODOG，OEOF，OGFODFODB，OFGOEGOEB，OADOCG，OAFOCE， AD CG， AF CE，ADFCGE，故選項A正確；BDOFGOFGOE，DF GF GE，ADFB GFCGE，B GAD，BFG的周長FGBFBGFGAFCGAC(定值)，故選項B正確；CS 四邊形FOECS OCFS OCES OCF S OA1F S AOC 3( 定值 ) ，故選項C正確；DS 四邊形OGFBSOFGSBGFSOFDSADF S 四邊形OFAD S OAD S OAF S OCG

13、S OAF S OAC S OFG.如圖，過O作OH AC于 H，1S OFG 2 FG OH，由于 OH是定值，F(xiàn)G變化，故OFG的面積變化，從而四邊形OGBF的面積也變化，故選項D不一定正確故選D.類型二【例2】 四邊形ABCD是平行四邊形， AD BC， CD AB 2.由折疊知DACEAC.DACACB，ACBEAC， OA OC. AE 過 BC的中點O，1 AO 2BC，BAC 90，ACD 90.由折疊知ACE 90， E， C， D 共線，則DE 4， ADE的周長為3 3 4 10.故答案為10.變式訓(xùn)練6 B類型三【例3】 如圖，連結(jié)AC， BD.點 O為菱形ABCD的對角

14、線的交點， CD32 42 5. AB CD，MBONDO.在OBM和ODN中， MBO NDO，OB OD， BOM DON，OBMODN，DNBM.過點O折疊菱形，使B， B兩點重合，MN是折痕， BM B M 1，DN 1， CN CD DN 5 1 4. 故選 D.變式訓(xùn)練27 2.83.7類型四【例4】 設(shè) AD x，則AB x 2.把 ADE翻折，點A落在DC邊上的點F 處， DF AD， EA EF，DFEA 90，四邊形AEFD為正方形，AEADx.把CDG翻折，點C落在線段AE上的點H處，折痕為DG，點G在 BC邊上，DHDCx 2.HE1，AHAEHEx1.在 Rt ADH

15、中，AD2 AH2 DH2， x2 （x 1）2 （x 2）2，整理得x26x30，解得x132 3，x232 3（舍去 ） ，即 AD 的長為3 2 3.故答案為3 2 3.變式訓(xùn)練4 類型五【例5】（1） 在RtAEM中，AE1x，EMBEx，AM1.3 AE2 AM2 EM2， （1 x） 2 （ 13）2 x2，x 95.398 ） PDM的周長不變?yōu)槎ㄖ?. 理由如下：設(shè) AM y，則BEEMx，AE1 x.在 Rt AEM中，由勾股定理得AE2 AM2 EM2，（1 x） 2 y2x2，解得1y22x， 1 y2 2（1 x） EMP 90，AD， Rt AEM Rt DMP，AE

16、 EM AM AE， DM MP DP DM，1 x x y 1 x即，DM MP DP 1 y1 y2解得DM MP DP 2，1 xDMP的周長為2.（3） 如圖，作FHAB 于H. 則四邊形BCFH是矩形連結(jié)BM交EF于O，交FH于K.在 Rt AEM中，AMx2（1 x） 22x 1. B， M關(guān)于EF對稱，BM EF，KOFKHB.OKFBKH，KFOKBH. AB BC FH，AFHE 90，ABMHFE， EH AM2x 1， CF BH x2x 1 ，1 S 2（BE CF） BC 2（x x2x 1） 12（ 2x 1）22x 1 1 12（ 2x 1 21） 2 83.13

17、當(dāng)2x 1 時，S有最小值為.28變式訓(xùn)練5解：（1） 由折疊可得CM EM，CMQEMQ，四邊形CDEF是矩形，CD EF，CMQEQM，EQM EMQ， ME EQ MC，又MC QE，四邊形EQCM是平行四邊形又CM EM，四邊形EQCM是菱形(2) 如圖1，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，CMx，則EMx，DM1x.1x2( 21) 2(1 x) 2，在 Rt DEM中，由勾股定理可得EM2 ED2 DM2，即5解得x，8CM 8， DM 8.PEM D 90，AEPDEM 90，DEM EMD 90，AEP DME.又AD 90，AEPDME，AP DEAPAEDM12382AP ，3PB1，AP3PB 2 1.(3)4(4)6(5) 根據(jù)問題(2) ， (3) ， (4) ，可得當(dāng)DE n(n 為正整數(shù))時，則AP 2n.AEBP理由：設(shè)正方形ABCD的邊長為1 ，CMx，則EMx，DM1x.在 Rt DEM中，由勾股定理可得EM2 ED2 DM2，即x2(nn 1)2(1 x)2，( n 1) n解得 x2 ，2( n1 )2n 1DM 1 CM 2（ n 1） 2，AP DEAEPDME可得AE DM，nAPn 12n即 ，解得AP，1 2