數(shù)與式的運(yùn)算、因式分解(教師版)

1、數(shù)與式的運(yùn)算一、乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：立方和公式 ；立方差公式 ；三數(shù)和平方公式 ；兩數(shù)和完全立方公式 ；兩數(shù)差完全立方公式 【例1】計算： (3) (4)答案：（1） （2） （3） (4)例題的設(shè)計意圖(1) (2)兩個例子讓學(xué)生熟悉立方和與立方差公式（3）（4）利用整體代換思想簡化運(yùn)算。二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【

2、例2】化簡（1） （2）例題的設(shè)計意圖（1）考查根式的性質(zhì)（2）繁分式的化簡，我個人比較傾向解法二，運(yùn)算速度快（1）解法一：因為又，所以解法二：故解法一：利用到和，先計算原式的平方，然后再開方（2） 解法一：原式 =解法二：原式=說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式， 解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法 因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平

3、方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分組分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)【公式1】【公式2】【公式3】【公式4】【公式5】【例1】把下列各式分解因式： ； ； = ； ； 【答案】（1）（2）（3） （3）（4）二、十字相乘法一般二次三項式型的因式分解。大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法注意：1、十字相乘法思路：分解二次三項式，嘗

4、試十字相乘法。分解二次常數(shù)項，交叉相乘做加法；叉乘和是一次項，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三項式都能用十字相乘法分解分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，【例2】把下列各式分解因式：_ ；_ ；_ ；（4） =_ （5）=_【答案】；（4）（5）【變式】用十字相乘法求下列方程的根 （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【拓展】雙十字相乘法對于某些二元二次六項式()，我們也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式我們將上式按降冪排列，并把當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為 可以看作是關(guān)于的二次三項式 對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為 。再利用十

5、字相乘法對關(guān)于的二次三項式分解.所以 原式=上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法(雙十字相乘法)。具體步驟:分解形如的二次六項式,在草稿紙上，將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如下圖所示,如果，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則【例】把下列各式分解因式：_；_；_；【答案】三、求根法如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么多項式可以分解為。由，比較系數(shù)得故就得到韋達(dá)定理。韋達(dá)定理：設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則【例3】把下列各式分解因式：_；(2) 【答案】；(2) 【例4】若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求

6、| x1x2|的值； （2）求的值； （3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()【點(diǎn)評】利用韋達(dá)定理求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等【重要結(jié)論】：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0

7、），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論【變式】已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1&#

8、183;x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時，方程為x230x2930，3024×1×2930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根。四、分組分解能分組分解的有四項或六項或大于四項，一般的四項分組分解有兩種形式：二二分法（按字母分組按系數(shù)分組符合公式的兩項分組），三一分法（先完全平方公式后平方差公式）。【例5】把下列各式分解因式： ； ； ； ； . 【答案】 課后練習(xí)1、 把下列各式分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（