第3講(教師)全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題

1、 1第五講 全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題（1）學(xué)習(xí)要求重點(diǎn)：全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，特別是幾種判定方法，在直角三角形中時(shí)，HL 的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化知識(shí)精講把圖形繞平面上的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)GOGGG變換，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無論是什么圖形，在旋OGGGG轉(zhuǎn)變換下，象與原象是全等形很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)

2、變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對(duì)集中，以便于諸條件的綜合與推演經(jīng)典例題例 1、如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是_C例 2、如圖，同學(xué)們?cè)孢^萬花筒，它是由三塊等寬等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 為中心_。DA順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到GFEDCBA例 3、如圖，C 是線段 BD 上一點(diǎn)，

3、分別以 BC、CD 為邊在 BD 同側(cè)作等邊ABC 和等邊CDE,AD 交CE 于 F，BE 交 AC 于 G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有_。CA1 對(duì) B2 對(duì) C3 對(duì) D4 對(duì) 2KGFEDCBA例 4、 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：CABACMCBNANBMMDNECBFA證明、是等邊三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM【點(diǎn)評(píng)】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形例 5、如圖，三點(diǎn)共線，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，BCEABCDCEBDAEAC于，點(diǎn)求證：DCMNCMCNNMEDCBA證明與都是等邊三角

4、形ABCDCE，及BCACCDCE60ACBDCE ，三點(diǎn)共線BCE，180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在與中BCDACE ，BCACBCDACEDCEC BCDACECANCBM ，120BCDACE 60BCMNCE 60ACD在與中BCMACN ，60BCACBCMACNCBMCAN BCMACNCMCN練習(xí)1、已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：平分CABACMCBNCFAFB 3MDNECBFA GMH DNECBFA【解析解析】過點(diǎn)作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB利用進(jìn)而再證，可得到，故平分AASBCHNCDCGCHCFAFB2

5、、如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形CABACMCBN請(qǐng)你證明：；ANBM；DEAB3平分CFAFBMDNECBFA解：此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，60MCN及平行線所形成的內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來的對(duì)應(yīng)角相等推到而得的：；AFCBFC ，；ANBMCDCEADMENDBE，；AMCNCMBNDEAB，；ACNMCBADCMCENDCBEC為等邊三角形DEC、是等邊三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM由易推得，所以，又，ACNMCBNDCBECCDCE60MCN進(jìn)而可得為等邊三角形易得DECDEAB過點(diǎn)作

6、于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB利用進(jìn)而再證，可得，故平分AASBCHNCDAFCBFC CFAFB例 5、如圖，四邊形、都是正方形，連接、求證：ABCDDEFGAECGAECGGFEDCBA證明ADCEDG CDGADE 在和中CDGADE 4 CDADCDGADEDGDE CDGADEAECG例 6、如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，求CABACMCBNDANEBM證：是等邊三角形CDEMDNECBA證明，ACNMCBANBMABMANC 又、分別是、的中點(diǎn)，DEANBM，BCENCDCECDBCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等邊三

7、角形CDE練習(xí) 3、如下圖，在線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和()，點(diǎn)與點(diǎn)分別是AEABCCDE120ACEPM線段和的中點(diǎn)，則是_。BEADCPMPMBCDEAA鈍角三角形 B直角三角形C等邊三角形 D非等腰三角形解：易得所以可以看成是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線段ACDBCEBCEACDC60M中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，故就是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得所以且，ADPBECPCMC60CPCM，故是等邊三角形，選 C60PCMCPM例 7、如圖，等邊三角形與等邊共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：ABCDECCAEBDDECBA證明是等邊三角形，ABC60ACBACBC，同理，60BCDDCA 60ACEDCA DCECBCDA

8、CE 在與中，BCDACE ，BCACBCDACEDCEC BCDACEBDAE例 8、如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，問的度數(shù)是DABCBDADBPABDBPDBC BPD否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由 5PDCBA ABCDP解：連接，將條件，這兩個(gè)條件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS，由，(公共邊)，知1302BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD()，故的度數(shù)是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD例 9、如圖，等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，求證：ABC90B ABaOACEOOF為定值BEBFOBECFA 4321OBECFA證明：連

9、結(jié)由上可知，而，OB1290 2390 13 445C OBOC，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa練習(xí) 4、如圖，正方形繞正方形中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：OGHKABCDOEFAECFAB54321OHBEDKGCFA證明 ：正方形中，ABCD1245 OAOB而，3490 4590 ，35AOEBOF，AEBFAEFCBFFCBCAB例 10、如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 求EABCDCDFCBEAAF證：DEBFFEDCBA證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，ABCDABAD因?yàn)椋?0BADADEABF EAAF所以，所以 90BAFBAEBAEDAE 6

10、，故，故 BAFDAE Rt ABFRt ADEDEBF練習(xí) 5、如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面積是 16，求的長(zhǎng)_。ABCDDPPDCBAABCDEP解：如圖，過點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，容易證得(實(shí)際上就是把DDEDPBCDEEADPCDE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)ADP90DPBE正方形的面積等于四邊形面積為，DPBEABCD164DP 例 11、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證：FABCDBCCD45EAF AHEFHAHABCHFEDBA CHFEGDBA證明：延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，易證，CBGBGDFAGABGADFBAGDAFAG

11、AF再證，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有AEGAEFAHAB例 12、 如圖所示，是邊長(zhǎng)為 的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一ABC1BDC120D個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)_。60MDNMNABACAMNNMDCBA NMEDCBA解：如圖所示，延長(zhǎng)到使ACECEBM在與中，因?yàn)?，BDMCDEBDCD90MBDECD BMCE所以，故BDMCDEMDED因?yàn)?，所?20BDC60MDN60BDMNDC 又因?yàn)椋?BDMCDE 60MDNEDN 在與中，MNDENDDNDN60MDNEDN DMDE所以，則，所以的周長(zhǎng)為MNDENDNEMNAMN2例

12、13、在等邊的兩邊 AB，AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M，N，D 為外一點(diǎn)，且，ABCABC60MDN，探究：當(dāng)點(diǎn) M，N 分別愛直線 AB，AC 上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN 之間的數(shù)量120BDCBDCD關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng) L 的關(guān)系_。AMNABC 7如圖，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊 AB，AC 上，且 DM=DN 時(shí)，BM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)=_QL如圖，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊 AB，AC 上，且時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫DNDM 出你的猜想并加以證明；3如圖，當(dāng)點(diǎn) M，N 分別在邊 AB，CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x，則 Q=_(用 x，L表示)解：BM+N

13、C=MN;23QL(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng) AC 至 E，使 CE=BM，連接 DE ,120BDCDBDC且，30DBCDCB 由是等邊三角形，ABC90MBDNCD ()MBDECD SAS，,DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN 在與中MDNEDNDMDEMDNEDNDNDN()MDNEDN SASMNNENCBM的周長(zhǎng)=AMNQAMANMN()()AMBMANNC2ABACAB而等邊的周長(zhǎng)ABC3LAB23QL(3)223xL練習(xí) 6、(1)如圖，在四邊形 ABCD 中，ABAD，BD，E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且90EAF=BAD求證：EFBEFD;1

14、2 8FEDCBA(2) 如圖，在四邊形 ABCD 中，ABAD，B+D，E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且180EAF=BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 12FEDCBA證明：延長(zhǎng) EB 到 G，使 BG=DF，聯(lián)結(jié) AG ABGABC=D， ABAD，90ABGADFAGAF， 12 113232EAFBAD GAE=EAF又AEAE，EGEF AEGAEFEG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的結(jié)論仍然成立 EFBEFD例 14、已知：如圖，、都是等邊三角形，且、共線，求證：ABCCDEEHKADKADDK也是等邊三角形HBDEKHCDBAMABDCHKE

15、證明：連結(jié)，EBCECDCEEABEAD所以，并且與的夾角為，BEADBEAD60延長(zhǎng)交于，EBAKM則360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMEDMMDEMEDHDMHDK又因?yàn)?，HKADBEBHHD所以BEHDKH所以，HKHEEHDEHDDHKBHE 9 10第六講 全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題（2）典型提高例題典型提高例題例 1、在等腰的斜邊上取兩點(diǎn)、，使，記，Rt ABCABMN45MCNAMmMNxBNn則以、為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是_。xmn A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D隨、的變化而變化xmnMNCBA MDNCBA解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋

16、轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，CBNC90CADMD則，ADBNnCDCNACDBCNMCDACMACDACMBCN 904545MCN ，MDCMNCMDMNx又易得，在中，有，故應(yīng)選(B)454590DAM Rt AMD222mnx練習(xí) 1、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平分交邊于點(diǎn)ABCD1FCDAEBAFBCE求證：AFDFBE設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的DFx01xADFABESx值及若不存在，請(qǐng)說明理由SFEDCBAGABCDEF 證明： 如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)CBGBGDFAG因?yàn)槭钦叫?，所以在和中，ABCDRt ADFRt ABGADAB，90ADFAB

17、G DFBG，RtRt(SAS)ADFABG，AFAGDAFBAG 又 是的平分線AEBAF，EAFBAE DAFEAFBAGBAE 即EADGAE ，ADBCGEAEAD ，GEAGAE AGGE即AGBGBE，得證AFBGBE ADFABESSS1122DF ADBE AB，1ADAB12SDFBE由知，AFDFBE 11所以12SAF在中，Rt ADF1AD DFx，21AFx2112Sx由上式可知，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，最大而，2xS01x所以，當(dāng)時(shí)，1x 最大值為S2111222x 例 2、請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖 1 在中，點(diǎn)、分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若Rt ABC90BACABACDEB

18、C探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系45DAEBDDEEC小明的思路是：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，AECA90ABEE D使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； BDDEEC 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2，其它條件不變，中探EBCDCB究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明圖 1ABCDE 圖 2ABCDE 222DEBDEC證明：根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AECA90ABEAECABE，BEECAEAECABE EACE AB 在中Rt ABCABAC45ABCACB 90ABCABE即90

19、E BD222E BBDE D又45DAE45BADEAC45E ABBAD即45E AD AE DAED DEDE222DEBDECEEDCBAFEDCBA 關(guān)系式仍然成立222DEBDEC證明：將沿直線對(duì)折，得，連ADBADAFDFE AFDABD 12，AFABFDDB，F(xiàn)ADBAD AFDABD 又，ABACAFAC45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又AEAEAFEACE，F(xiàn)EEC45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中Rt DFE即222DFFEDE222DEBDEC例 3、 平面

20、上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與平分ACFABDBCEEFCDFEDBCA解：連接與DEDF，DBAEBC BADCAF ，DBEABC BACDAF 在與中DBEABCDBABDBEABCBEBC (SAS)DBEABCDECAFC在與中DFABCADABADAFBACAFAC (SAS)DFABCADFBCEC為平行四邊形，DECF，互相平分EFCD例 4、如圖，在外面作正方形與，為的高，其反向延長(zhǎng)線交于ABCABEFACGHADABCFH，求證：(1);(2)MCFBH MHMF GHFMEDCBA 13證明;(2)作，先證，ABHAFCFPMDP于HQMDQ于AFPBADA

21、CDHAQ再證FPMHQM練習(xí) 2、以ABC 的兩邊 AB、AC 為邊向外作正方形 ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且 CEBG OGFEDCBA【解析】易證，故，又，故AECABGACEAGB ACAGAOGBOC CEBG例 5、 如圖所示，在五邊形中，求此五邊形的ABCDE90BE ABCDAE1BCDE面積_。EDCBA FEDCBA分析：我們馬上就會(huì)想到連接、，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積ACAD并不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應(yīng)當(dāng)如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等1BCDE時(shí)我們常用的“截長(zhǎng)補(bǔ)短法” ，那么可否把拼接到的一端且

22、使呢(如圖所示)？BCDEEFBC據(jù)此，連接，則發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各AFABCAEF1FD AFACAEABADF為 的三角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為 112ACDAFD1例 6、 在五邊形中，已知，連接求證：ABCDEABAEBCDECD180ABCAED AD平分ADCDEEDCBA FEDCBA證明：連接由于，ACABAE180ABCAED 我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，AABCAEFABAEBE而，180AEFAEDABCAED 所以、在一條直線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，DEFCFAFACEFBC所以DFDEEFDEBCCD在與中，AC

23、DAFD因?yàn)?，ACAFCDFDADAD故，ACDAFD因此，即平分ADCADF ADCDE作業(yè)1.如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明與相ABCADEBCDCEACCD 14等的理由EDCBA答案：，ACABCAEBAD AEADAECADBCEBD又BDBCCDACCDCEACCD2.已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于EABCDABDDFDEBC點(diǎn)求證：FDEDFFEDCBA答案：ADCEDF ADECDF 在和中ADECDFDAEDCFADCDADECDF ADECDF DEDF3.在梯形中，是中點(diǎn)，試判斷與ABCDABCD90A 2AB 3BC 1CD EADEC的位置關(guān)系，并寫出推理過程EBABCDE FEDCBA答案：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)BECDF是中點(diǎn)，EADDEAE，ABCD90A 90EDFEAB ABED