量子力學(xué)期末考試知識點(diǎn)+計(jì)算題證明題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1. 你認(rèn)為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。(簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的？)答：Bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對于復(fù)雜原子光譜，甚至對于氦原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里有些困難是人們尚未認(rèn)識到電子的自旋問題），對于光譜學(xué)中的譜線的相對強(qiáng)度這個問題，在Bohr理論中雖然借助于對應(yīng)原理得到了一些有價值的結(jié)果，但不能提供系統(tǒng)解決它的辦法；其次，Boh

2、r理論只能處理簡單的周期運(yùn)動，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看，Bohr理論提出的原子能量不連續(xù)概念和角動量量子化條件等，與經(jīng)典力學(xué)不相容的，多少帶有人為的性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質(zhì)。2. 什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應(yīng)的？答：當(dāng)一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表面逸出的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)；光電效應(yīng)的規(guī)律：a.對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻率，當(dāng)照射光頻率時，無論光的強(qiáng)度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只與照射光的頻率有關(guān)，而與光強(qiáng)無關(guān)；c.當(dāng)入射光頻率時，不管光多微弱，

3、只要光一照，幾乎立刻觀測到光電子。愛因斯坦認(rèn)為：(1)電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應(yīng)弛豫時間應(yīng)很短，是瞬間完成的。(2)所有同頻率光子具有相同能量，光強(qiáng)則對應(yīng)于光子的數(shù)目，光強(qiáng)越大，光子數(shù)目越多，所以遏止電壓與光強(qiáng)無關(guān)，飽和電流與光強(qiáng)成正比。(3)光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對應(yīng)光子能量越大，所以光電效應(yīng)也容易發(fā)生，光子能量小于逸出功時，則無法激發(fā)光電子。3簡述量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對于一般情況，如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：（是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。這就是量子力學(xué)中

4、的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理的含義表示當(dāng)粒子處于態(tài)和的線性疊加態(tài)時，粒子是既處于態(tài)，又處于態(tài)。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統(tǒng)一。量子力學(xué)中這種態(tài)的疊加導(dǎo)致在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性。4. 什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：體系處于某個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)的性質(zhì)：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化；（2）任何力學(xué)量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化；（3）任何力學(xué)量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。5. 簡述力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系？答：算符是指作用在一個波函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運(yùn)算符號。量子力學(xué)中采用算符來表示微

5、觀粒子的力學(xué)量。如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中將換為算符而得出的，即：。量子力學(xué)中的一個基本假定：如果算符表示力學(xué)量F，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時，力學(xué)量F有確定值，這個值就是在中的本征值。6.經(jīng)典波和量子力學(xué)中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學(xué)量的幾率分布；（2）經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動能量為原來的四倍，變成另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對強(qiáng)度，幾率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)，所描述的粒子狀態(tài)

6、并不改變；7. 能量的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。答：不一定，如果，對應(yīng)的能量本征值相等，則還是能量的本征態(tài)，否則，如果，對應(yīng)的能量本征值不相等，則不是能量的本征態(tài)8.什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。9. 簡述量子力學(xué)的五個基本假設(shè)。答：（1）微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件；（2）力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)

7、中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示中的將動量換為算符得出。表示力學(xué)量的算符具有組成完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開：，則在態(tài)中測量力學(xué)量F得到結(jié)果為的幾率為，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是；（4）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：，是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。10.波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化嗎？答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現(xiàn)，所以在整個空間中發(fā)現(xiàn)粒子是必然事件，概率論中認(rèn)為必然事件的概率等于1。因而粒子在整個

8、空間中出現(xiàn)的概率即對整個空間的積分應(yīng)該等于1.即式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。波函數(shù)一旦歸一化，歸一化常數(shù)將不隨時間變化。11.量子化是不是量子力學(xué)特有的效應(yīng)？經(jīng)典物理中是否有量子化現(xiàn)象？答： 所謂量子化，就是指某個力學(xué)量可取數(shù)值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學(xué)的特有效應(yīng)。經(jīng)典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經(jīng)典波在束縛態(tài)形成駐波時，頻率也是量子化的，但經(jīng)典波的頻率量子化并不對應(yīng)能量量子化。有時量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學(xué)特有的效應(yīng)。12.什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們

9、有什么物理意義？答：含有算符的方程稱為的本質(zhì)方程，為的一個本質(zhì)值。而則為的屬于本征值的本征函數(shù)。 如果算符多代表一個力學(xué)量，上述概念的物理意義如下：當(dāng)體系處于的本征態(tài)時，測量F的數(shù)值時確定的，恒等于。當(dāng)體系處于任意態(tài)時，單次測量F的值必等于它的本征值之一。13.算符運(yùn)算與一般代數(shù)運(yùn)算有什么異同之處？答：（1）相同點(diǎn):都滿足加法運(yùn)算中的加法交換律和加法結(jié)合律。（2）不同點(diǎn)：a.算符乘積一般不滿足代數(shù)乘法運(yùn)算的交換律，即；b.算符乘積定義，運(yùn)算次序由后至前，不能隨意變換。14.什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。若勢場恒定，

10、則體系可以處于定態(tài)。當(dāng)粒子被外力（勢場）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi)，及在無窮處波函數(shù)等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當(dāng)定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。15.（1）在量子力學(xué)中，能不能同時用粒子坐標(biāo)和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3）歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子（是實(shí)常數(shù)）？（4）已知F為一個算符，當(dāng)F滿足如下的

11、兩式時，a. ,b. ,問何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時具有確定值。（2）不改變；根據(jù)Born對波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，描寫體系量子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率總和等于1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對強(qiáng)度。（3）可以；因?yàn)?，如果對整個空間積分等于1，則對整個空間積分也等于1.即用任意相因子（是實(shí)常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一化

12、。（4）滿足關(guān)系式a的為厄密算符，滿足關(guān)系式b的為幺正算符；（5）證明：以表示F的本征值，表示所屬的本征函數(shù)，則因?yàn)镕是厄密算符，于是有，由此可得，即為實(shí)數(shù)。16.薛定諤方程應(yīng)該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對時間微商的微分方程；（2）方程是線性的，即如果和都是方程的姐，那么和的線性疊加也是方程的解，這是因?yàn)楦鶕?jù)態(tài)疊加原理，如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：（是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)；（3）這個方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量，如動量、能量等，因?yàn)榉匠痰南禂?shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種的狀態(tài)所滿足。17. 量子力學(xué)中的力

13、學(xué)量用什么算符表示？為什么？力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？答：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示力學(xué)量的算符的本征值是這個力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，它的本征值必須是實(shí)數(shù)。力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。18.簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)？答：（1）實(shí)數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實(shí)數(shù)；（2）正交性：屬于不同本征值的本征態(tài)彼此正交。即；（3）完備性：力學(xué)量算符的本征態(tài)的全體構(gòu)成一完備集，即。19.在什么情況下兩個算符相互對易？答：如果兩個算符和有一組共同本征函數(shù)，而且組成完全系，則算符和對易。20.請寫出測不準(zhǔn)關(guān)系?答：設(shè)

14、算符和的對易關(guān)系為：，則測不準(zhǔn)關(guān)系式為：，如果不為零，則和的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)。21.量子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)？量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué)的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答：量子力學(xué)中不顯含時間，且其算符與體系的哈密頓算符對易的力學(xué)量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時間改變；量子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量概念不相同，實(shí)質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。a.量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。如對于自由粒子，動量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)并不一定是動量的本征態(tài)（平

15、面波），在一般情況下是一個波包；b.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，的三個分量都守恒，但由于不對易，一般說來它們并不能同時取確定值（角動量的態(tài)除外）。22.定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正；適用條件是：。23.什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級躍遷到低能級，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場）作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍遷。24.什么是嚴(yán)格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是什么？答：如果在任何級近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴(yán)格禁戒

16、躍遷。角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是：。25. 誰提出了電子自旋的假設(shè)？表明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設(shè)。他們主要根據(jù)的兩個實(shí)驗(yàn)事實(shí)是：堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常的Zeeman效應(yīng)。他們假設(shè)的主要內(nèi)容為：a.每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能是兩個數(shù)值：；b.每個電子具有自旋磁矩，它和它的自旋角動量的關(guān)系式是：，式中是電子的電荷，是電子的質(zhì)量。表明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。其現(xiàn)象：K射出的處于S態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫原子具有磁

17、矩，設(shè)沿Z方向：；如在空間可取任何方向， 應(yīng)連續(xù)變化，照片上應(yīng)是一連續(xù)帶，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩條, 說明 是空間量子化的，只有兩個取向 ，對S 態(tài) , ,沒軌道角動量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點(diǎn)：（1）電子具有自旋角動量這一特點(diǎn)純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。它是電子的本身的內(nèi)稟屬性，標(biāo)志了電子還有一個新自由度。（2）電子自旋與其它力學(xué)量的根本區(qū)別為，一般力學(xué)量可表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù)，自旋角動量與電子坐標(biāo)和動量無關(guān)，不能表示為 ，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是一個新的自由度。（3）電子自旋值是 ， 而不是的整數(shù)倍。（4）， 而 兩者在差一倍。自旋角動量也具有

18、其它角動量的共性，即滿足同樣的對易關(guān)系：。 它是個內(nèi)稟的物理量，不能用坐標(biāo)、動量、時間等變量表示； 它完全是一種量子效應(yīng)，沒有經(jīng)典對應(yīng)量。也就是說，當(dāng)時，自旋效應(yīng)消失。 它是角動量，滿足角動量最一般的對應(yīng)關(guān)系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取兩個值。26. 什么是斯塔克效應(yīng)？答：當(dāng)原子置于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應(yīng)。27. 什么是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因是什么？考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級的簡并度是多少？答：由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)；當(dāng)n和l給定后，j 可以取，即具有相同的量子數(shù)n，l的能級有

19、兩個，它們的差別很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因?？紤]精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級的簡并度為28. 什么是塞曼效應(yīng)？什么是反常的塞曼效應(yīng)？對簡單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強(qiáng)磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應(yīng)。而反常的塞曼效應(yīng)是指在弱磁場中原子光譜線的復(fù)雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。對簡單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變

20、。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關(guān)系。請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗(yàn)證它們滿足角動量對易關(guān)系。 答：泡利矩陣：；對易關(guān)系為：；自旋算符；對易關(guān)系為。驗(yàn)證過程如下：即：31.請寫出兩個電子體系的波函數(shù)。答：按空間態(tài)和自旋態(tài)組合可有四種反對稱態(tài)：；其中；。32.請簡述微擾論的基本思想。答：將復(fù)雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。 是可求出精確解的，而 可看成 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實(shí)的近似解。確定 時，先確定 ，再用 確定 。33. 什么是玻色子和費(fèi)米子？答：由電子，

21、質(zhì)子，中子這些自旋為 的粒子以及自旋為 的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從(Fermi) (Dirac) 統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，由光子（自旋為1）以及其它自旋為零，或 整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose)統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子。34.什么是隧道效應(yīng)？請舉例說明隧道效應(yīng)的應(yīng)用。答：粒子在其能量小于勢壘高度時，仍然會有部分粒子穿過勢壘的現(xiàn)象叫隧道效應(yīng)，又叫隧穿效應(yīng)。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電子隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學(xué)和生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域

22、中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應(yīng)的半導(dǎo)體器件，也是隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。由于隧道效應(yīng)而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負(fù)陽區(qū)，因而隧道二級管具有高頻、低噪聲的特點(diǎn)。隧道二級管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開關(guān)電路中的重要器件。35. 厄米算符具有哪些性質(zhì)？厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有哪些性質(zhì)？答：厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符 和 對易時，它們之積才為厄米算符。因?yàn)椤Ｖ挥性跁r，才有，即仍為厄米算符；c.無論厄米算符、是否對易，算符及 必為厄米算符，因?yàn)?；d.任何算符總可分解為。令 、，則和均為厄米

23、算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)；厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化；厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性；厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。36. 簡單討論一下相對論情形和非相對論情形下的德布洛意關(guān)系式。答：對于非相對論情形：,;相對論情形：; ;所以當(dāng)時，即得到非相對論情形下的公式：由于能量只有相對變化才有意義（即能量的絕對值在物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選?。?，可將常數(shù)項(xiàng)抵消，此時相對論形式的關(guān)系退化為非相對論情形：，就是非相對論粒子的動能。德布洛意頻率本身不是一個可觀測量，因此只有德布洛意波長具有物理意義。37. 為什么物質(zhì)的波動性在宏觀尺度不顯現(xiàn)？答：由于，原因是普朗克常數(shù)太?。ǎ?，而宏觀尺度的運(yùn)動動量太大,導(dǎo)致波長太小，難以引起可以