微積分復(fù)習(xí)提綱

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱基本內(nèi)容：1、函數(shù)基本概念及性質(zhì)。基本初等函數(shù)：窯函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。特例：y=VX7=lX，X-0為初等函數(shù)。Ix,x：02、極限定義：liman=au對任給£>0,存在N,當(dāng)n>N時，有|ana|<8.n_（等價定義）3、無窮小的定義與性質(zhì)。1）若函數(shù)f（x）當(dāng)XTXo（或XT笛）時的極限為零，則稱f（x）當(dāng)XTXo（或XT比）時為無窮小量。注：（1）無窮小量是個變員而不是

2、個很小的數(shù).（2）零是常數(shù)中唯一的無窮小量。2）無窮小的性質(zhì)：有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小、有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、有限個無窮小的乘積也是無窮小。3）函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：limf（X）=A的充要條件是X）XoXf（x）=A+ot,其中A為常數(shù)，ot是當(dāng)XTx0（或XT的）時的無窮小。4、無窮大的定義。若當(dāng)XTXo（或XT笛）時,f（x）的絕對值無限增大，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)XTXo（或XTg）時為無窮大量。注：無窮大是變量，不是一個絕對值很大的數(shù)。5、無窮大與無窮小互為倒數(shù)。6、極限的運算法則。0型：1）用風(fēng)詈。2）因式分解法則1。3）分子分x-9母有理化

3、法lim”。X1.Jx-1身型：分子分母同除以一個非零因式,如:CO23x2x-1'Xm：2x2-x3°7、兩個重要極限。1)sinxlim1xTx2)=e以及l(fā)im(1十X)x=e。x0會用重要極限求函數(shù)極限。8、求兩個無窮小之比極限時，分子、分母都可用等價無窮小代替。如:sin2xlixmo或、3x2-36limsin-t：3x5x注：等價無窮小只能在乘積和商中進(jìn)行，不能在加減運算中代換9、連續(xù)的兩種定義。函數(shù)f(x)在點x。處連續(xù)，必須同時滿足三個條件：1) f(x)在點xo處有定義；2) |imfW存在；x眩03)極限值等于函數(shù)值，即|imf(x)=f僅。卜xo,1.

4、，c、7例：已知函數(shù)f(x)=41-2sinx),x#0,在x=0處連續(xù)，則a,x=0a=.10、函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù)的充分必要條件是：f(x。-0)=f履+0)=f&0)(既左連續(xù)又右連續(xù))。11、函數(shù)在點x0處連續(xù)與該點處極限的關(guān)系：函數(shù)在點x0處連續(xù)則在該點處必有極限，但函數(shù)在點x0處有極限并不一定在該點連續(xù)。12、如何求連續(xù)函數(shù)的極限？連續(xù)函數(shù)極限必存在，且極限值等于函數(shù)值，即|imf(x)=f(xJxk13、對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達(dá)式不同時，需根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論如:xgx=xIX-1,x：:：1-11-,x-1214、如

5、何求連續(xù)區(qū)間?基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的15、間斷點的定義。16、間斷點的類型。（一）第一類間斷點1、可去間斷點（1） f（x而Xo處無定義，但|mf（x）存在。x女0（2） f（x）在xo處有定義，f（x）在xo處左右極限存在且相等，但是limf（x）#f（x°）。xxo2、跳躍間斷點：f（x施點xo處左右極限都存在，但不相等,即limf（xlim+f（x）。xx0-xxo第一類間斷點的特點:函數(shù)在該點處左右極限都存在.（二）第二類間斷點（若lim+f（x）與iimf（x）中至少有一個不存xIox-xo-在，稱xo為f（x）的第二類斷點。

6、）1、無窮間斷點2、振蕩間斷點。ix=0是函數(shù)f(x)=cos的何種I可斷點x17、導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)f(x施點X。處可導(dǎo)的充要條件是：f(x)在點X。處的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，即f+(x。)=f-(X。)。18、判斷分段點處是否可導(dǎo)：在分段點處應(yīng)按定義求出左右導(dǎo)數(shù)，在分段點處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則分段點可導(dǎo)。19、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系：若函數(shù)f(x應(yīng)點x?？蓪?dǎo)，則函數(shù)f(x)在點x。連續(xù)。20、函數(shù)y=f(x在點x。處的導(dǎo)數(shù)f收。在幾何上表7K曲線y=f(x)在點p(x0,f(x。)處的切線的斜率。21、隱函數(shù)的求導(dǎo)法。方程兩端對x求導(dǎo)，y是x的函數(shù)，即把y看成中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)。

7、22、參數(shù)方程所表示函數(shù)T)的導(dǎo)數(shù)dy立、y=W(t)dx中'(t)23、對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)。如:tanxy=x,僅。)。24、Ay=f(x+&xf(x)可表7K為Ay=A&x+o(Ax),稱函數(shù)y=f(x)在點x是可微的。dy=A&，叫做函數(shù)y=f(x而點x的微分。注：A#。，dy是Ay的線性主部。25、函數(shù)y=f(x準(zhǔn)點x可微的充要條件是函數(shù)f(x)在點x可導(dǎo)，且dy=f(x部。(dy是由的線性主部)26、近似公式：fx:.fx0Lfx0x-x0o此近似公式，用來求x0近旁點x的函數(shù)值的近似值。27、中值定理的內(nèi)容。28、洛必達(dá)

8、法則。注：當(dāng)lim匚宜)不存在時，并不能斷定|im二)也不存在，此xk0gxxj)<0gxX；:X二時應(yīng)使用其他方法求極限。21Jxsin丫如：lim=一°x_0sinx29、函數(shù)單調(diào)性判別法：設(shè)函數(shù)y=f(x病kb】上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。(1)如果在(a,b)內(nèi)fx)>0,那末函數(shù)y=f(xa,b】上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)fx)<0,那末函數(shù)y=f(x1,b】上單調(diào)減少。注：討論單調(diào)區(qū)間，f<x)=0的根(即駐點)及f1x)不存在(不可導(dǎo)點)的點作為定義區(qū)間的分點。30、求極值步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(2)求出f(x)的全部駐

9、點以及使導(dǎo)數(shù)不存在的點(即可能極值點)；(3)由定理2或定理3判斷極值點(用定理3判斷，f”(x0)=0的點再用定理2判斷)；(4)求出各極值點處的函數(shù)值，即得f(x冏全部極值。31、求最大(小)值的步驟：1、找出f(x而b,b】內(nèi)部的一切駐點，求出駐點處的函數(shù)值。2、找出f(x位a,b1內(nèi)部不可導(dǎo)的點，求出不可導(dǎo)點的函數(shù)值。3、求出區(qū)間端點處的函數(shù)值。4、將所求出的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。例：函數(shù)y=x+2cosx在0,-上的最小值為232、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：全體原函數(shù)構(gòu)成不定積分。即jf(x)dx=F(x)+c。積分運算與微分運算有如下互逆關(guān)系：F

10、1) (jf(x)dx)=f(x)或d(jf(x)dx)=f(x)dx.2) F(x)dx=F(x)c或dF(x)=F(x)c.33、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法(湊微分法)：jf3(x巾(x)dx=1f(u)du】。u二x第二類換元法：f(x)dx=f(t)(t)dto分部積分法：udv=uv-vduo35、定積分的性質(zhì)。36、(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間Lb】上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b】上至少存在一個點使下式成立：Jf(x)dx=f穴b-a)(a復(fù)4b)這個公式叫做積分中值公式。ax37、6x)=ff(t)dt(a<x<b),為積分上限的函數(shù)(或變上限的JEa積分)。它的導(dǎo)數(shù)是：D,x="；f%='(X)aMxMb2積分上限的函數(shù)是上限的函數(shù)。會計算如：±廣sinddt類型dx0的題目。(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在Q,b】上連續(xù)，則函數(shù)X(x)=f(t)dt就ZEf(x)在b,b】上的一，個原函數(shù)。38、|bf(x)dx=F(b)F(a)叫做牛頓一萊布尼茲公式，又叫微積分基a本公式。計算定積分：1)先用求不定積分的方法求出一個原函數(shù)。2)把上、下限代入原函數(shù)。3)作減法運算。39、定積分的換元法：lbf(x)dx=f