線性代數課件PPT第5章特征值和特征向量_矩陣的對角化

1、第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、 矩陣的對角化矩陣的對角化第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、 矩陣的對角化矩陣的對角化矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量定義：定義：設A為復數C上的n階矩陣，如果存在數C和非零的n維向量x，使得Ax=x，就稱是矩陣A的特征值特征值，x是A的屬于（或對應于）特征值的特征向量特征向量。注意：1) 特征向量特征向量x0；2)

2、 特征值問題是對方陣而言的特征值問題是對方陣而言的，本章的矩陣如不加說明，都是方陣。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量根據定義，n階矩陣A的特征值，就是使齊次線性方程組 (IA)x=0有非零解的值，即滿足方程 det(IA)=0的都是矩陣A的特征值。因此，特征值是的多項式det(IA)的根。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量定義：定義：設n階矩陣A=(aij)，則：稱為矩陣A的特征多項式特征多項式，IA稱為A的特征矩陣特征矩陣， d

3、et(IA)=0稱為A的特征方程特征方程。 111212122212detInnnnnnaaaaaafaaaA5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量顯然，n階矩陣A的特征多項式是的n次多項式。特征多項式的k重根也稱為k重特征值。當n5時，特征多項式沒有一般的求根公式，即使是三階矩陣的特征多項式，一般也難以求根，所以求矩陣的特征值一般要采用近似近似計算計算的方法，它是計算方法課中的一個專題。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例例1：

4、求矩陣的特征值和特征向量。511311421A5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例解：矩陣A的特征方程為該特征矩陣的行列式的每行之和均為-3，將各列加到第1列，并將第1行乘-1加到第2、3行得：511detI3110421A5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例故A的特征值為13，22（二重特征值）。2111detI3 020320012A5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值

5、和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例當13時，由(1IA)x=0，即：得其基礎解系為x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1為非零任意常數）是A的對應于13的全部特征向量。123211032104220 xxx 5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例當22時，由(2IA)x=0，即：得其基礎解系為x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2為非零任意常數）是A的對應于22的全部特征向量。123311031104210 xxx 5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣

6、的特征值和特征向量舉例矩陣的特征值和特征向量舉例例2：主對角元為a11, a22, , ann的對角矩陣對角矩陣A或上（下）三角矩陣B的特征多項式是：|IA|= |IB|=(a11)(a22) (ann)故故A，B的的n個特征值就是個特征值就是n個主對角元個主對角元。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質定理：定理：若x1和x2都是A的屬于特征值0的特征向量，則k1x1+ k2x2也是A的屬于0的特征向量（其中k1，k2是任意常數，但k1x1+ k2x20）。證：證：由于x1，x2是齊次線性方程組(0IA)x=0的解

7、，因此k1x1+ k2x2也是上式的解，故當k1x1+ k2x20時，是A的屬于0的特征向量。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質在在(0IA)x=0的解空間中，除零向量以外的全體解向的解空間中，除零向量以外的全體解向量就是量就是A的屬于特征值的屬于特征值的全體特征向量的全體特征向量，因此(IA)x=0的解空間也稱為矩陣矩陣A關于特征值關于特征值的特征子空間的特征子空間，記作V。n階矩陣A的特征子空間是n維向量空間的子空間，它的維數為： dimV=nr(IA)5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特

8、征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質需要注意的是，n階矩陣的特征值可能是復數，所以特征子空間一般是n維復向量空間Cn（見附錄）的子空間。例1中矩陣A的兩個特征子空間為：12TTV|1,1,1,CV|1,1,2,Ckkkkx xx x5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質定理：定理：設n階矩陣A=(aij)的n個特征值為1, 2, ,n，則：證明過程見課本用*標注的部分。11111)2)det( )nniiiiiniiniiiaaAAAAtr其其中中是是 的的主主角角元元之之和和，矩矩陣陣 的的

9、，作作。對稱為跡記5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質由前面定理的第2項可知：當當detA0（即（即A為可逆矩陣）為可逆矩陣）時，其特征值全為非零數；反之，奇異矩陣時，其特征值全為非零數；反之，奇異矩陣A至少有一至少有一個零特征值。個零特征值。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的。一個一個特征向量不能屬于不同的特征值特征向量不能屬于不同的特征值，這是因為，如果x同時是A的屬于特征值1,2(12)

10、的特征向量，即有： Ax=1x 且 Ax=2x 則：1x=2x 即(1-2) x=0。由于1-2 0，則x=0，這與x0矛盾。矩陣的特征值和特征向量還有以下性質：5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質性質性質1：若是矩陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，則：1) k是kA的特征值（k是任意常數）2)m是Am的特征值（m是正整數）3) 當A可逆時，-1是A-1的特征值且x仍是矩陣kA, Am, A-1的分別對應于特征值k, m, 1/的特征向量。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣

11、特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質證：證：1）省略。2）由已知條件Ax=x，可得： A(Ax)=A(x)=(Ax)=(x)即 A2x=2x 再繼續(xù)施行上述步驟m-2次，就得： Amx=mx 故m是矩陣Am的特征值，且x也是Am對應于m的特征向量。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質3) 當A可逆時，0，由Ax=x可得： A-1(Ax)=A-1(x)=A-1x因此 A-1x=-1x故-1是A-1的特征值，且x也是A-1對應于-1的特征向量。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似

12、矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質性質性質2：矩陣A和AT的特征值相同。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質證：證：因為(I-A)T= (I)T-AT =I-AT，所以 det(I-A)=det (I-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質例3：設1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩陣P，使P-1AP為對角陣。111222111A5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值

13、和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質解： 1）A的特征值為1=2=0（二重特征值）和3=-2。21111012222211111101221332303 IA5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質當1=0時，由(1I-A) x=0，即Ax=0得基礎解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T 故A對應于1=0的全體特征向量為k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T +k2(-1,0,1)T 其中k1, k2為不全為零的任意常數。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和

14、特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質當3=-2時，由(3I-A) x=0 ，即：得基礎解系為x3=(-1,-2,1)T，A對應于3=-2的全體特征向量為k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3為非零任意常數。123311020201110 xxx 5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣特征值和特征向量的性質特征值和特征向量的性質2）將Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩陣等式取AP=P，且|P|=20，因此就得P-1AP=為對角陣。11231232312300,00001110,102 ,00112x xxx xxx xxAP取取5.

15、1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質定義：定義：對于矩陣A和B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，就稱A相似于相似于B，記作AB。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質矩陣的相似關系也是一種等價關系，即也有以下三條性質。1）反身性：AA2）對稱性：若AB，則BA3）傳遞性：若AB， BC，則AC證明略。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質相似矩陣有以下性質：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1

16、P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1, k2是任意常數）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若AB，則AmBm（m為正整數）5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質證：證：因為AB，所以存在可逆矩陣P，使 P-1AP=B于是 Bm=(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP) =P-1AmP故 AmBm5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質定理：定理：相似矩陣的特征值相同。5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相

17、似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質證：證：只需證明相似矩陣有相同的特征多項式。設AB，則存在可逆矩陣P，使得： P-1AP=B于是|I-B|=|I-P-1AP| =|P-1(I-A)P|=|P-1| |I-A| |P| =|I-A|5.1 矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質必須注意，該定理的逆命題不成立，例如：都以1為二重特征值，但對于任何可逆矩陣P，都有P-1IP=IA，故A和I不相似。10011101IA5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件所謂矩陣可對角化指的是，矩陣與對角陣相似所

18、謂矩陣可對角化指的是，矩陣與對角陣相似。本節(jié)討論矩陣可對角化的條件。其主要結論是：矩陣可對角化的充分必要條件是矩陣可對角化的充分必要條件是n階矩階矩陣有陣有n個線性無關的特征向量，或矩陣的每個特征值的個線性無關的特征向量，或矩陣的每個特征值的（代數）重數等于對應特征子空間的（幾何）維數（代數）重數等于對應特征子空間的（幾何）維數。今后我們常將主對角元為a1, a2, , an的對角陣記作diag(a1, a2, , an)，或記作。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件從5.1節(jié)例3可見，當三階矩陣A有三個線性無關的特征向量x1, x2, x3時，取P

19、=(x1, x2, x3)就有： P-1AP=diag(1, 2, 3)其中1, 2, 3分別是特征向量x1, x2, x3所對應的特征值，這表明，三階矩陣A有三個線性無關的特征向量是A與對角陣相似的充分條件。事實上它也是必要條件。下面給出一般結論。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件定理：定理：n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件證：證：必要性：設 即：AP=P將P矩陣按列分塊，表示成 P=(x1, x2, , xn)則：112(,)ndiag

20、 P AP記記作作121212(,)(,)nnnA xxxxxx5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件即： (Ax1, Ax2, , Axn)= (1x1, 2x2, , nxn)于是： Axi= ixi (i=1, 2, , n)故x1, x2, , xn是A分別對應于特征值1, 2, , n的特征向量。由于P可逆，所以它們是線性無關的，必要性得證。上述步驟顯然可逆，所以充分性也成立。5.1節(jié)例1中的A只存在兩個線性無關的特征向量，所以不可對角化。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件由相似矩陣的特征值相同的

21、定理可知：若A與對角陣相似，則的主對角元都是A的特征值。若不計k的排列方式，則是唯一的，稱為A的相似標準型相似標準型。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件定理：定理：矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件證：證：設A的m個互不相同的特征值為1, 2, , m，其相應的特征向量分別為x1, x2, , xm，對m作歸納法，證明x1, x2, , xm 線性無關。當m=1時，結論顯然成立（因為特征向量x10）。設k個不同特征值1, 2, , k 的特征向量x1, x2

22、, , xk 線性無關，下面考慮k+1個不同特征值的特征向量的情況。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件設：a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1 =0則：A(a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1) =0即：a11x1+a22x2+akkxk+ak+1k+1xk+1 =0將第1式乘k+1，再減去第3式得：a1(k+1-1)x1+a2 (k+1-2) x2+ak (k+1-k) xk =05.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件根據歸納假設x1, x2, , xk 線性無關，所以：ai(k+1-

23、i)=0, i=1, 2, , k由于： k+1i， i=1, 2, , k所以： ai = 0， i=1, 2, , k將上式代入第1式，得： ak+1xk+1=0由于特征向量xk+10，故ak+10，故x1, x2, , xk+1 線性無關。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件推論：推論：若n階矩陣A有n個互不相同的特征值，則A與對角陣相似。但必須注意必須注意，推論的逆不成立，如5.1節(jié)例3，A與對角陣相似，但特征值中0是二重特征根。矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件*定理：定理：設1, 2, , m是n階矩陣A的m個互異特征值，對應于i的線性

24、無關的特征向量為x1, x2, , xiri (i=1,2,m)，則由所有這些特征向量（共r1+r2+rm個）構成的向量組xi1, xiri |i=1,2,m是線性無關的。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件*定理：定理：設0是n階矩陣A的一個k重特征值，對應于0的線性無關的特征向量的最大個數為l，則kl。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件例1：設實對稱矩陣問：A是否與對角陣相似？若與對角陣相似，求對角陣及可逆矩陣P，使得P-1AP=。再求Ak（k為正整數）。1111111111111111A5.2 矩陣

25、可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件解： A的特征多項式31111111111111111211111111111111111111022022200200002IA5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件所以A的特征值1=-2（單根），2=2（三重根）。由(1I-A)x=0，即：得1對應的特征向量為k1x1|x1=(1,1,1,1)T, k10。由(2I-A)x=0，即： x1+x2+x3+x4=0123431110111101131011130 xxxx 5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩

26、陣可對角化的條件得基礎解系為x21=(1, -1, 0, 0)T x22=(1, 0, -1, 0)T x23=(1, 0, 0, -1)TA有4個線性無關的特征向量，故A與對角陣相似。?。?21222311111100,10101001Pxxxx5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件則：的4個對角元依次是4個特征向量所對應的特征值。由于特征向量（或(I-A)x=0的基礎解系）不唯一，所以P也不唯一。12222P AP5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件由A=PP-1，可得：11111411111111121

27、10013111210101131421001111322,2,kkkkkkkkkkkAPPPP PPPPP PIA當當 為為偶偶數數，當當 為為奇奇數數。5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件例2：設A=(aij)nn是主對角元全為2的上三角矩陣，且存在aij0(ij) ，問A是否與對角陣相似？5.2 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件解：設其中*為不全為零的任意常數。則：|I-A|=(-2)n即=2是A的n重特征值，而r(2I-A)1，所以(2I-A)x=0的基礎解系所含向量個數n-1個，即A的線性無關的特征向

28、量的個數n-1個，因此， A不與對角陣相似。2*02*002A5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化上一節(jié)已指出，不是任何矩陣都與對角陣相似，然而實用中很重要的實對稱矩陣一定可對角化，其特征值全為實數。而且對于任一個實對稱矩陣A，存在正交矩陣T，使得T-1AT為對角陣，為了證明這些重要結論，先介紹復矩陣和復向量的有關概念和性質。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化定義：定義：元素為復數的矩陣和向量，稱為復矩陣復矩陣和復向量復向量。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化

29、定義：定義：,ijijijijijm nm naaaaaAAAA設為復數，是 的共軛復數，則稱 是 的共軛矩陣。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化由此定義可知：TTT;( ) ;AA AAAAA當 為實對稱矩陣時，。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化根據定義及共軛復數的運算性質，容易證明共軛矩陣有以下性質： 111)2)3)4)5)6) detdetTTTkkkAAABABABABABB AAAAAA（ 為復數）若 可逆， 則5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角

30、化n維復向量（以列的形式表示）x滿足性質：這是因為，若x=(x1, x2, , xn)T, xiC (i=1, 2, , n)，則0Tx xx， 等號成立當且僅當 =01 12222212000 (1, 2, , )TnnnTiiix xx xx xxxxxxxin 0 x xx xx其中是復數 的模，因此，當且僅當，即。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量雖然一般實矩陣的特征多項式是實系數多項式，但其特征根可能是復數，相應的特征向量也可能是復向量，然而實對稱矩陣的特征值全是實數，（在實數域上）相應的特征向量是實向量，且不同特征值

31、的特征向量是正交的。下面給以證明。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量定理：定理：實對稱矩陣A的任一特征值都是實數。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量證：證：設是A的任一特征值。0,0TTTTTTTTTTTAAAAAA xxxxxxx xxxxxx xx xxx x由和，有又，所以， 即 為實數。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量定理：定理：實對稱矩陣A對應于不同特征值的特征向量是正交的。5.3 實對

32、稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量證：設Axi=ixi, (xi0, i=1, 2), 12 , AT=A，則：由于12 ，所以：故當x1, x2為實的特征向量時， x1與 x2正交(x1, x2為復向量的情形，利用附錄A的知識，也可證明二者正交)。121211212121221221TTTTTTTTAAAx xxxxxxxxxxxx x21210,0T， 即，x xxx5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化定理：定理：對于任一個n階實對稱矩陣A，存在n階正交矩陣T，使得： T-1AT=diag(1

33、, 2, , n)5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化證：用數學歸納法。n=1時，結論顯然成立。假設定理對任一個n-1階實對稱矩陣B成立，即存在n-1階正交矩陣Q，使得Q-1BQ=1。下面證明，對n階實對稱矩陣A也成立。設：Ax1=1x1，其中x1是長度為1的特征向量?，F將x1擴充為Rn的一組標準正交基 x1, x2, , xn其中x2, , xn不一定是A的特征向量，于是就有：5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化記：P=(x1, x2, , xn)（P為正交矩陣）并將上式右端矩陣用分塊矩陣表示，上式可寫為

34、：110P APBb12121121121222122(,.,)(,.,)(,.,)0(,.,)0nnnnnnnnnbbbbbbAAAAAAxxxxxxxxxxxx5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化由于P-1=PT, (P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AP，所以：因此，b=0, BT=B（即B為n-1階實對稱矩陣），代入得：1100TTBBbb110bP APB110P AP0B5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化根據歸納假設，構造一個正交矩陣：（不難驗證STS=In），便有：10S0Q111

35、111111211(,)ndiag 000SP AP S0Q0B0Q0000Q BQ5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化取T=PS（兩個正交矩陣之積仍是正交矩陣），T-1= S-1 P-1，則： T-1AT=diag(1, 2, , n)其中1, 2, , n是A的特征值。得證。5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化給定一個n階實對稱矩陣A，如何求正交矩陣T，使T-1AT=呢？首先由特征多項式：得到全部互異特征值1, , m。由于A可對角化，根據前面定理，ri重特征值i對應ri個線性無關的特征向量1irmii

36、IA1,riiixx5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化利用施密特正交化方法得到個ri相互正交的單位向量由前面定理，不同特征值對應的特征向量正交，得到為n個相互正交的單位特征向量，將其按列排成n階矩陣，就是所求的正交矩陣T。1,riiiyy1,|1,riiiyyim5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化例1：設求正交陣T，使T-1AT為對角陣。122224242 A5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化解： 2212222424202232 / 202224223 / 2221127 IA5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化得1=2，由(1I-A)x=0，即：得線性無關的特征向量x1=(2, -1, 0)T, x2=(