立體幾何球與立方體內(nèi)切外接

1、專題層級(jí)快練四十八1. 2021唐山*II擬正三棱錐的高和底面邊長都等于6,那么其外接球的外表積為A.64兀B.32兀C.16兀D.8兀答案A解析如圖,作PM,平面ABC于點(diǎn)M,那么球心O在PM上,PM=6,連接AM,AO,那么OP=OA=RR為外接球半徑,在Rt個(gè)AM中,OM=6R,OA=R,又AB=6,且4ABC為等邊三角形,故AM=需62-32=2寸3,那么R2-6-R2=2V32,那么R=4,所以球的外表積S=42ttR=64兀.2.各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,那么這個(gè)球的外表積是A.16%B.20%C.24兀D.32兀答案C解析由V=Sh,得S=4,得正四棱柱底

2、面邊長為2.畫出球的軸截面可得,該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑,所以球的半徑為R=222+22+42.所以球的外表積為S=4tiR2=24兀.應(yīng)選C.3.假設(shè)一個(gè)正方體的體積是8,那么這個(gè)正方體的內(nèi)切球的外表積是A.8兀B.6兀C.4兀D.兀答案C解析設(shè)正方體的棱長為a,那么a3=8.因此內(nèi)切球直徑為2,S表=4兀/=4兀.4. 2021課標(biāo)全國出圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑長為2的同一個(gè)球的球面上,那么該圓柱的體積為B.A.兀7171C.萬D.4答案B解析根據(jù)球的半徑長是1,圓柱的高是1,如圖,所以圓柱的底面半徑r=22T所以圓柱3o.3,的體積V=Tt/h=TtXj-2X1=4兀

3、.應(yīng)選B.5. 2021安徽合肥模擬球的直徑SC=6,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),且AB=SA=SB=3,那么三棱錐S-ABC的體積為BuB.4C.詈D*答案D解析設(shè)該球球心為O,由于球的直徑SC=6,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),且AB=SA=SB=3,所以三棱錐S-OAB是棱長為3的正四面體,其體積Vs-oab3*2*3X半X后呼,同理Voabc=/,故三棱錐S-ABC的體積Vsabc=Vsoab+Voabc=,應(yīng)選D.6,直三棱柱ABCAiBiCi的6個(gè)頂點(diǎn)都在球.的球面上,假設(shè)AB=3,AC=4,ABLAC,AA=12,那么球O的半徑為A.3j7213C.萬B.2國D.3,10答案C解析如圖

4、,由球心作平面ABC的垂線,那么垂足為BC的中點(diǎn)M.一151一又AM=BC=2,OM=2AA1=6,所以球O的半徑R=OA=q.2+62苦.7.2021廣東惠州一模一個(gè)水平放置的各棱長均為4的三棱錐形容器內(nèi)有一小球0質(zhì)量忽如不計(jì),現(xiàn)從該三棱錐形容器的頂端向內(nèi)注水,小球慢慢上浮,當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的7時(shí),小球與該三棱錐各側(cè)面均8相切與水面也相切,那么小球的外表積等于74A-%B.-tt6321C三兀D.-tt32答案C解析由題知,沒有水的局部的體積是三棱錐形容器的體積的三棱錐形容器的體積為2*42嘩4=呼,所以83433沒有水的局部的體積為平.設(shè)其棱長為a,那么其體積為1X乎a2xW

5、6a=2,a=2,設(shè)小球的半徑為r,那么4xx3343335xr=,解得r=36,.球的外表積為4兀1=3兀,應(yīng)選C.8.如圖,ABCDAiBiCiDi是棱長為1的正方體,S-ABCD是高為1的正四棱錐,假設(shè)點(diǎn)S,A1,81, Ci,Di在同一個(gè)球面上,那么該球的體積為25兀49兀A.I6C.8i兀66243兀D.i28答案C解析如下圖,O為球心,設(shè)OGi=x,那么OBi=SO=2x,同時(shí)由正方體的性質(zhì)可知BiGi：12,那么在Rt個(gè)BiGi中,OBi2=GiBi2+OGi2,即2x2=x2+2,解得x=1,所以球的半徑R=OBi=q,所以球的外表積S=4tiR2=應(yīng)選C.8i69. 20i8

6、鄭州質(zhì)檢四棱錐PABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,該四棱錐的三視圖如下圖,E,F分別是棱AB,俯視圖CD的中點(diǎn),直線EF被球面所截得的線段長為2啦,那么該球的外表積為B.3兀D,12兀A.9兀C.2,2兀答案D解析該幾何體的直觀圖如下圖,該幾何體可看作由正方體截得,那么正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2也,可知正方形ABCD對(duì)角線AC的長為2亞,可得正方形ABCD的邊長a=2,在APAC中,PC=42+班2=273,球的半徑R=流,/S表=4兀r2=47tX(m)2=i27t.10. 20i4湖南一塊石材表示的幾何體的三視圖如下圖.將該石材切削、打磨,加工成球,那么

7、能得到的最大球的半徑等于正視圖側(cè)視圖俯視圖A.1B.2C.3D.4答案B解析此幾何體為一直三棱柱,底面是邊長為6,8,10的直角三角形,側(cè)棱為12,故其最大球的半徑為底面直角1.三角形內(nèi)切圓的半徑,故其半徑為r=2*(6+810)=2,應(yīng)選B.11.(2021天津)一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,假設(shè)這個(gè)正方體的外表積為18,那么這個(gè)球的體積為一3一R,那么2R=V3a=3,得R=-,所答案2兀解析設(shè)正方體的棱長為a,那么6a2=18,得a=,3,設(shè)該正方體外接球的半徑為以該球的體積為4兀r3=4兀(3)3=9兀.3322S112 .右一個(gè)正四面體的外表積為S1,其內(nèi)切球的外表積為S2,那么

8、下S2解析設(shè)正四面體的棱長為a,2aaS1.3a26.3S2兀c兀_26a那么正四面體的外表積為S1=443a2=V3a2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的1,即r=1；6a=6a,因此內(nèi)切球外表積為$2=4兀2=4431213 .一圓柱內(nèi)接于球O,且圓柱的底面圓的直徑與母線長均為2,那么球O的外表積為.答案8兀解析圓柱的底面圓的直徑與母線長均為2,所以球的直徑為q22+22=78=272,即球半徑為血,所以球的外表積為4TtX(42)2=8兀.14 .(2021衡水中學(xué)調(diào)研卷)正三棱錐PABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為g的球面上,假設(shè)PA,PB,PC兩兩相互垂直,那么球心到截面ABC的距離為解析

9、方法一：先在一個(gè)正方體中找一個(gè)滿足條件的正三棱錐,再利用正方體的性質(zhì)解題.如圖,滿足題意的正三棱錐P-ABC可以是正方體的一局部,其外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線,且面ABC與體對(duì)角線的交點(diǎn)是體對(duì)角線的一個(gè)三等分點(diǎn),所以球心到平面ABC的距離等于體對(duì)角線長的5故球心到截面abc的距離為X后坐方法二：用等體積法：VPABC=VAPBC求解.的視圖15 .2021四川成都診斷一個(gè)多面體的三視圖如下圖,其中正視圖與側(cè)視圖都是直角邊長為1的等腰直角三角形,俯視圖是邊長為1的正方形,假設(shè)該多面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,那么該球的外表積為.答案3兀解析由三視圖知幾何體為四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面

10、,高等于1,其底面是邊長為1的正方形,四棱錐的外接球即是邊長為1的正方體的外接球,外接球的直徑為外接球的外表積S=47txp232=3兀.16 .2021河北唐山模擬矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在平面互相垂直,AD=2,AB=3,AF=羋,M為EF的中點(diǎn),那么多面體MABCD的外接球的外表積為.答案16兀解析記多面體M-ABCD的外接球的球心為O,如圖,過點(diǎn)O分別作平面ABCD和平面ABEF的垂線,垂足分別為Q,H,連接MH并延長,交AB于點(diǎn)N,連接OM,NQ,AQ,設(shè)千O的半徑為R,球心到平面ABCD的距離為d,即OQ=d,二,矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直

11、,AF=32&M為EF的中點(diǎn),.MN=乎,.AN=NB=|,NQ=1,2/4+92223/32 R=2+d=1+2-d, d=亭,R2=4, 多面體MABCD的外接球的外表積為4求2=16兀.備選題1. 2021課標(biāo)全國n,文長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,那么球O的外表積為答案14兀解析依題意得,長方體的體對(duì)角線長為+22+12=屈,記長方體的外接球的半徑為R,那么有2R=4T4,R=2工,因此球O的外表積等于4ttR2=14兀.2. 2021湖南長沙一中模擬如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,那么該多面體外接球的外表積為A.

12、8兀C.12兀D.41兀答案D解析根據(jù)三視圖得出,幾何體是正方體中的一個(gè)四棱錐D為所在棱的中點(diǎn).根據(jù)幾何體可以判斷,球心應(yīng)該在過A,D的平行于正方體底面的中截面O-ABCD,正方體的棱長為2,A,上,設(shè)球心到平面BCO的距離為x,那么到AD的距離為2-x,所以R2=x2+(W)2,R2=12+(2-x)2,解得3x=7.R=4,該多面體外接球的外表積為4tiR2=,應(yīng)選D.3.2021陜西,理底面邊長為1,側(cè)棱長為42的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,那么該球的體積為32兀A.y3B. 4兀C. 2兀答案D解析由于該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對(duì)角線的一半,所以半徑r=、12+12+(正

13、)2=1,所以V球=yx13=y.應(yīng)選d.334.2021洛陽統(tǒng)一測(cè)試如圖是某幾何體的三視圖,那么該幾何體的外接球的外表積為州視圖正視圖俯視圖200兀150兀C.100兀D.50兀E25兀答案D解析由三視圖知,該幾何體可以由一個(gè)長方體截去3個(gè)角后得到,該長方體的長、寬、高分別為5、4、3,所以S=4兀R2=47tx其外接球半徑R滿足2R=42+32+52=5我,所以該幾何體的外接球的外表積為應(yīng)選D.5.2021廣東清遠(yuǎn)三中月考某一簡單幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的外接球的外表積是正視圖側(cè)視圖B.16兀D.27兀A.13%C.25兀答案C解析由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的長方體,底面

14、對(duì)角線為4,高為3,設(shè)外接球半徑為r,那么2r=勺2鏡2+222+32=5,r=怖,長方體外接球的外表積S=4/3,那么球O的外表積為A.16兀B.16兀364C.3兀D.64兀答案D解析由于AB=AC=BC=2?3,所以4ABC為正三角形,其外接圓的半徑r=2,設(shè)4ABC外接圓的圓心為.1,那么OO1,平面ABC,所以O(shè)A2=OO12+r2,所以R2=乎R,22,解得R2=16,所以球O的外表積為4兀R2=64tt,應(yīng)選D.7. 2021四川廣元模擬如圖,邊長為2的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),將ADE,EBF,FCD分別沿DE,EF,FD折起,使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A,假設(shè)四面體AEFD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,那么該球的半徑為解析由題意可知AEF是等腰直角三角形,且AD,平面AEF.調(diào)視圖1,1,2的正四棱柱,三棱由于AEF可以補(bǔ)全為邊長為1的正方形,那么該四面體必能補(bǔ)全為長、寬、高分別為錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球,易知正四棱柱的外接球的直徑為l2+