第5章 平面彎曲梁的內(nèi)力教學(xué)課件

1、第5章 平面彎曲梁的內(nèi)力彎曲的概念5.1平面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩5.2剪力圖與彎矩圖5.35.1 彎曲的概念5.1.1 梁的平面彎曲桿件的軸線在外力作用下由直線變?yōu)榍€，這種變形通常稱為彎曲變形，簡稱為彎曲彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁梁。樓板梁橋梁結(jié)構(gòu)中的梁單位長度的擋土墻5.1 彎曲的概念梁橫截面一般都存在縱向?qū)ΨQ軸縱向?qū)ΨQ軸，如圖中的y軸?？v向?qū)ΨQ軸與梁軸線所組成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面。如果作用在梁上的所有外力(或外力的合力)均作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁變形后的軸線是位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲平面彎曲。5.1 彎曲的概念5.1.2 梁的分類梁

2、在兩支座之間的部分稱為跨跨，其長度稱為跨長或跨度。常見的靜定梁大多是單跨的，根據(jù)支座的形式，單跨靜定梁一般有三種類型三種類型。簡支梁：梁的一端為活動鉸支座，另一端為固定鉸支座，如圖(a)；懸臂梁：梁的一端為固定端支座，另一端為自由端，如圖(b) ；外伸梁：一端或兩端伸出支座以外的簡支梁，如圖(c) 、(d) 。5.2 平面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩5.2.1 梁的內(nèi)力分析0yFS0FFSFF0CM0MF xMFx用截面法分析梁的內(nèi)力：由平衡條件可知，橫截面1-1上必有維持左段平衡的橫向力FS和力偶M。5.2.2 剪力與彎矩FS - 剪力： 橫截面上切向分布內(nèi)力分量的合力。M - 彎矩： 橫截面上法

3、向分布內(nèi)力分量的合力偶矩。5.2 平面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定：剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定：凡剪力對所取微元段梁內(nèi)任一點(diǎn)的力矩是順時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為負(fù)；凡彎矩使所取微元段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的為正，反之為負(fù)。5.2 平面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩【例5.1】如圖所示簡支梁AB，在D點(diǎn)處作用一集中力F，求梁中點(diǎn)處截面 上的剪力和彎矩?！窘狻浚呵笾ё戳?BM34AyFF0yF4ByFF求m-m截面上的剪力和彎矩假想地沿截面m-m將梁AB截成兩段，取左段為研究對象0yFS304FFFS14FF 0oM30424llFFM8FlM 若取右段為研究對象，可以求得同樣的結(jié)果。5.2 平

4、面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩剪力與彎矩的計算規(guī)律：剪力與彎矩的計算規(guī)律：梁任一橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面的任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有橫向外力的代數(shù)和。截面左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力為正；反之為負(fù)。梁任一橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面的任一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對截面形心的力矩的代數(shù)和。截面左側(cè)梁上的外力對該截面形心之矩為順時針轉(zhuǎn)向，或截面右側(cè)梁上的外力對該截面形心之矩為逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?；反之為?fù)。應(yīng)用這些規(guī)律求梁橫截面上的剪力和彎矩時，可不列出平衡方程，直接根據(jù)該截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求解。5.2 平面彎曲梁的內(nèi)力剪力與彎矩【例5.2】如圖所示簡支梁AB，在D點(diǎn)處作用一

5、集中力F，用求剪力、彎矩的規(guī)律直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力來確定 截面上的剪力和彎矩?！窘狻浚呵笾ё戳?4AyFF4ByFF求m-m截面上的剪力和彎矩取m-m截面左側(cè)梁為研究對象，根據(jù)左側(cè)梁上外力，即可直接寫出：S344FFFF 34248llFlMFF取m-m截面右側(cè)梁為研究對象，根據(jù)右側(cè)梁上外力，即可直接寫出：S=4FF428FlFlM 一般的做法是看哪一側(cè)梁上的外力比較簡單，即取哪一側(cè)梁為研究對象。5.3 剪力圖與彎矩圖5.3.1 利用內(nèi)力方程繪制剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的剪力與彎矩值隨截面位置變化。將梁內(nèi)各截面的剪力和彎矩表示為橫截面位置x的函數(shù)，即剪力方程和彎矩方程：SS( )

6、FF x( )MM x梁各橫截面上的剪力FS和彎矩M沿梁軸線的變化情況用圖示的方法表示。以平行于梁軸線的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于梁軸線的坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩值，利用剪力方程和彎矩方程，繪出梁各橫截面上的剪力和彎矩沿梁軸線變化情況的圖線，這樣的圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。u 繪圖時將正值剪力畫在x軸上側(cè)，負(fù)值剪力畫在x軸下側(cè)；u 正值彎矩畫在x軸下側(cè)，負(fù)值彎矩畫在x軸上側(cè)，即彎矩圖總是畫在梁縱向纖維受拉的一側(cè)，在彎矩圖上一般不必再標(biāo)注正、負(fù)號。5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.3】如圖所示懸臂梁，受均布荷載q作用。試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚呵蠹?/p>

7、力方程和彎矩方程S()(0)Fxqxxl2( )(0)22xqxM xqxxl 繪制剪力圖和彎矩圖由剪力方程和彎矩方程可知，剪力圖和彎矩圖分別為在 范圍內(nèi)的斜直線和二次拋物線。根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖，如圖所示。由剪力圖和彎矩圖可知，在固定端A右側(cè)橫截面上的剪力和彎矩均為最大，分別為SmaxFql2max2qlMlx 05.3 剪力圖與彎矩圖【例5.4】如圖所示簡支梁AB受均布荷載q作用。試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。【解】：求支座反力由梁AB的平衡方程，可求得0( )( )22AxAyAyqlqlFFF，求剪力方程和彎矩方程S( )(0)2AyqlF

8、xFqxqxxl2( )(0)222AyxqlqM xF xqxxxxl繪制剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖。2max8qlMSmax2qlF5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.5】如圖所示簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力F作用，試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚呵笾ё戳τ闪篈B的平衡方程，可求得0( )( )AxAyAyFbFaFFFll，求剪力方程和彎矩方程S( )()AyFbF xFFFlFaaxll ( )()() ()AyM xF xF xaFbxF xaaxllAC段：S( )(0)AyFbF xFxal( )(0)AyFbM xF xxxa

9、lCB段：5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.5】如圖所示簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力F作用，試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。【解】：繪制剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖。由圖可知，在ab的情況下，梁AC段的任一截面上的剪力值為最大；而在集中力F作用點(diǎn)處的橫截面上的彎矩值為最大。SmaxmaxFbFabFMll，在集中力作用處，其左、右兩側(cè)截面上的剪力值有突變，突變值等于集中力的值。5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.6】如圖所示簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力偶Me，試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚呵笾ё戳τ闪篈B的平衡方程，可求得ee

10、0( )( )AxAyAyMMFFFll ，求剪力方程和彎矩方程eS( )()AyMF xFaxllee( )() ()AyMM xF xMx lxaxll AC段：eS( )(0)AyMF xFxale( )(0)AyMM xF xxxalCB段：5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.6】如圖所示簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力偶Me，試列出該梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚豪L制剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖。由圖可知，在ab的情況下，集中力偶作用處的右側(cè)截面上彎矩值為最大；在集中力偶作用處，其左、右兩側(cè)截面上的剪力沒有變化。emaxM bMl在集中力偶作用處

11、，其左、右兩側(cè)截面上的彎矩值有突變，突變值等于集中力偶的值。5.3 剪力圖與彎矩圖5.3.2 利用剪力、彎矩與荷載間的關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖取出微段dx，分布荷載的集度q(x)以向上為正值。0yFSSS( )( )d( )d( )0F xq xxF xF xSd( )( )dF xq xx0CM2S1( )d( )( )( )d( )d02M xM xM xF xxq xxSd( )( )dM xF xxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx22d( )( )dM xq xx上式稱為剪力、彎矩與分布荷載集度間的微分關(guān)系式，它們有助于校核和繪制剪力圖和彎矩圖。5.3 剪

12、力圖與彎矩圖根據(jù)彎矩、剪力和分布荷載集度之間的微分關(guān)系，可以得出剪力圖與彎矩圖的一些規(guī)律：梁上某段無荷載作用(q=0)時，該梁段的剪力FS為常數(shù)，剪力圖為水平線； 彎矩M為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。梁上某段受均布荷載作用(q為常數(shù))時，該梁段的剪力FS為x的一次函數(shù)， 剪力圖為斜直線；彎矩M為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。在剪力 FS =0處，彎矩圖的斜率為零，此處的彎矩為極值。在集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為作用于該處集中力的值； 此處彎矩圖的斜率也發(fā)生變化，所以彎矩圖在這里有一折角。在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變值即為作用于該處集中力偶的 值；剪力圖沒有變化，在集中力

13、偶作用處兩側(cè)剪力值相同。5.3 剪力圖與彎矩圖5.3 剪力圖與彎矩圖求支座反力；根據(jù)梁上荷載和支承情況將梁分為若干段，集中力和集中力偶作 用處、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)、梁的支承處以及梁的端面均視為 分段點(diǎn)；根據(jù)各段梁的荷載情況，確定各段剪力圖和彎矩圖的形狀；根據(jù)各段剪力圖和彎矩圖的形狀，求出有關(guān)控制截面上的剪力值 和彎矩值，逐段繪制梁的剪力圖和彎矩圖。利用內(nèi)力圖的規(guī)律，不僅有助于檢查剪力圖和彎矩圖的正確性，還可以更加簡捷而迅速地作出剪力圖和彎矩圖。其步驟如下：5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.7】簡支梁AB受力如圖所示，試作該梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚呵笾ё戳?60kN( )60kN( )AxA

14、yAyFFF，作剪力圖分段： AC、CD、DB三段初步判斷各段圖形形狀： AC段：；CD段：； DB段： C點(diǎn)處FS圖突變F=40kN。求控制截面上的剪力RS60kNAAyFFRS60kN40kN20kNCAyFFFRSS20kNDCFFLS60kNBByFF 作圖：以直線連接各控制截面上剪力的坐標(biāo)，作出剪力圖5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.7】簡支梁AB受力如圖所示，試作該梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚鹤鲝澗貓D分段： AC、CD、DB三段初步判斷各段圖形形狀： AC段： ；CD段： ； DB段： D點(diǎn)處M圖突變Me=80kNm。求控制截面上的彎矩L4m2m160kN mDAyMFF0AM2m12

15、0kN mCAyMF0BMRe4m2m80kN mDAyMFFME截面剪力FSE=0，由相似三角形的比例關(guān)系有20:60=DE:EB，得EB=3m。 E截面彎矩即為極值彎矩，其值為:3m3m 1.5m60kN 3m20kN/m 3m 1.5m90kN mEByMFq5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.7】簡支梁AB受力如圖所示，試作該梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚鹤鲌D以直線連接MA、MC和 的坐標(biāo)，可得AC及CD段的彎矩圖；按下凸的二次拋物線將 、ME和MB的坐標(biāo)相連，即可得DB段的彎矩圖。確定|FS|max， |M|maxLDMRDM由剪力圖可知，|FS|max=60kN，發(fā)生在A點(diǎn)稍右至C點(diǎn)稍左區(qū)

16、間和B點(diǎn)稍左截面上。由彎矩圖可知：|M|max =160kNm，發(fā)生在D點(diǎn)稍左截面上。5.3 剪力圖與彎矩圖5.3.3 疊加法作梁的彎矩圖應(yīng)該注意，彎矩圖的疊加，是指彎矩圖縱坐標(biāo)的疊加。疊加法作梁的彎矩圖采用的是疊加原理。疊加原理是指梁受多個荷載共同作用時，某一橫截面上的彎矩等于梁在各個荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。5.3 剪力圖與彎矩圖【例5.8】試用疊加法作如圖所示簡支梁的彎矩圖?！窘狻浚簩⒘荷献饔玫暮奢d分解為集中力單獨(dú)作用和集中力偶單獨(dú)作用。將梁上作用的復(fù)雜荷載分解為簡單荷載繪制梁在簡單荷載作用時的彎矩圖利用疊加原理繪制彎矩圖p 本章小結(jié) 平面彎曲是指作用在梁上的所有外力（或外力的合力）均作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后的軸線仍位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。 單跨靜定梁的基本形式有簡支梁、懸臂梁和外伸梁。 平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力有剪力 和彎矩 。利用求剪力和彎矩的規(guī)律，不用列出平衡方程，可直接根據(jù)某截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求解該截面的剪力和彎矩。 繪制剪力圖和彎矩圖可利用的方法有：剪力方程和彎矩方程；剪力、彎矩和分布荷載集度間的微分關(guān)系；疊加原理。