代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史及線性代數(shù)簡(jiǎn)史

1、關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史及線性代數(shù)簡(jiǎn)史現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共31頁 代數(shù)學(xué)(algebra)是數(shù)學(xué)中最重要的分支之一。代數(shù)學(xué)的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，科學(xué)和數(shù)學(xué)本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個(gè)過程中，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學(xué)可分為初等代數(shù)學(xué)初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)抽象代數(shù)學(xué)兩部分。初等代數(shù)學(xué)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學(xué)則是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共31頁 代數(shù)學(xué)的西文名稱algebra來源于9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為”ilm al-jabr waI muqabalah”，原意是“還

2、原與對(duì)消的科學(xué)”。這本書傳到歐洲后，簡(jiǎn)譯為algebra。清初曾傳入中國(guó)兩卷無作者的代數(shù)書，被譯為阿爾熱巴拉新法后改譯為代數(shù)學(xué)(李善蘭譯，1853)。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共31頁 初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)等。 代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別是什么？代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別是什么？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共31頁 四大文明古國(guó)中，除古代希臘外，都曾對(duì)算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展做出非常杰出的貢獻(xiàn)。從中世紀(jì)的歐洲一直到19世紀(jì)上半期，代數(shù)學(xué)在歐洲得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。19世紀(jì)，代數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變革。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共3

3、1頁 一系列新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來，大大地?cái)U(kuò)充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學(xué)。包括抽象代數(shù)和線性代數(shù)。 抽象代數(shù)學(xué)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種代數(shù)結(jié)構(gòu)各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為其中心問題的?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共31頁 由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的研究在數(shù)學(xué)中是最具有基本性的，它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)浯鷶?shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分析等，這樣，近世代數(shù)學(xué)就對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著顯著的影響，并且對(duì)于其它一些科學(xué)領(lǐng)域如理論物理、計(jì)

4、算機(jī)原理等也有較直接的應(yīng)用。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共31頁 代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史-線性代數(shù)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共31頁 線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚摗⑴c矩陣結(jié)合的線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。主要研究對(duì)象有行列式、線性方程組、矩陣、主要研究對(duì)象有行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等。線性空間等。 主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著出現(xiàn)（見于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章

5、算術(shù)九章算術(shù)）。）。 1、學(xué)科概述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共31頁 九章算術(shù)的“方程術(shù)” 九章算術(shù)九章算術(shù)中的中的“方程章方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的程的專門論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法?；I式表示方法，以及它的多種求解方法。 九章算術(shù)九章算術(shù)把這些線性方程組的解法稱為把這些線性方程組的解法稱為“方程術(shù)方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過對(duì)方程的系數(shù)矩陣實(shí)施遍相當(dāng)于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過對(duì)方程的系數(shù)矩陣實(shí)施遍

6、乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實(shí)現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實(shí)現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。 1、學(xué)科概述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共31頁 在在“方程章方程章”問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)：性質(zhì)： 如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個(gè)不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。個(gè)不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。 劉徽：劉徽：“程，課程也。群物

7、總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。為行，故謂之方程?！?。 其中其中“課課”為比較的意思，而為比較的意思，而“程程”則為表達(dá)的意思。可見，則為表達(dá)的意思?？梢姡凑瞻凑铡胺匠谭匠獭钡脑x可以把它理解為的原義可以把它理解為“方形表達(dá)式方形表達(dá)式”，與現(xiàn)在的，與現(xiàn)在的“增廣矩陣增廣矩陣”類似。類似。1、學(xué)科概述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共31頁 線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用

8、，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位；要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位； 在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；的一部分； 隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算

9、機(jī)的發(fā)展，線性化了的問題又可以計(jì)算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題化了的問題又可以計(jì)算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。的有力工具。1、學(xué)科概述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共31頁 歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問題是關(guān)于解線性方程組的問歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。材的主要部分。 最初的線性方程組問題大都是來源于生活實(shí)踐，正是實(shí)最初的線性方程組問題大都是來源于生活

10、實(shí)踐，正是實(shí)際問題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)際問題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。進(jìn)一步發(fā)展。1、學(xué)科概述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共31頁 行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。 行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693 年年 4 月，萊布尼茨在寫給

11、洛必達(dá)的一封信中月，萊布尼茨在寫給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式為零的條件為零的條件。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作解伏題元法解伏題元法中也提出了行列式的概念與算法。中也提出了行列式的概念與算法。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁，共31頁 1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作在其著作線性代數(shù)分析導(dǎo)引線性代數(shù)分析導(dǎo)引中，對(duì)行列式中，對(duì)行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，的定義和展開法則給出了比較完整、明確

12、的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。法則。 稍后，數(shù)學(xué)家貝祖稍后，數(shù)學(xué)家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共31頁 在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方

13、程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。 范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂，但對(duì)數(shù)范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院院士。學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來說，他開行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來說，他是這門理論的奠基人。是這門理論的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些

14、規(guī)則，推廣了他的論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法。展開行列式的方法。 2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共31頁 繼范德蒙之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在行列式理論繼范德蒙之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻(xiàn)。方面做出了突出貢獻(xiàn)。 1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。 其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列式特

15、征方程的術(shù)語；給出了相記法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開定似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個(gè)證明。理并給出了一個(gè)證明。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共31頁 19 世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，詹姆士世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，詹姆士.西爾維斯特西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1897)對(duì)行列式理論研究始終不渝。對(duì)行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)他的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)m 次和一個(gè)次和一個(gè)n 次的次的多項(xiàng)式中消去多項(xiàng)式中消去 x 的方法，他稱之為配析法，并給出形的方法，他稱之為配析法，并給出

16、形成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明。要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明。 2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁，共31頁 西爾維斯特（西爾維斯特（James Joseph Sylvester，公元，公元1814年年9月月3日日公元公元1897年年3月月15日）是英國(guó)數(shù)學(xué)家。生于倫日）是英國(guó)數(shù)學(xué)家。生于倫敦，卒于牛津。敦，卒于牛津。 西爾維斯特的貢獻(xiàn)主要在代數(shù)學(xué)方面。他同凱萊西爾維斯特的貢獻(xiàn)主要在代數(shù)學(xué)方面。他同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠

17、定了關(guān)于代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)，他在數(shù)論方面同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)，他在數(shù)論方面也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞，當(dāng)代數(shù)學(xué)中常用到析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞，當(dāng)代數(shù)學(xué)中常用到的術(shù)語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他的術(shù)語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有橢圓函數(shù)橢圓函數(shù)專論專論一書。西爾維斯特是一書。西爾維斯特是美國(guó)數(shù)學(xué)雜志美國(guó)數(shù)學(xué)雜志的創(chuàng)始人，的創(chuàng)始人，為發(fā)展美國(guó)數(shù)學(xué)研究做出了貢獻(xiàn)。曾獲得英國(guó)皇家勛章、為發(fā)展美國(guó)

18、數(shù)學(xué)研究做出了貢獻(xiàn)。曾獲得英國(guó)皇家勛章、科普利獎(jiǎng)?wù)?，以及都柏林、愛丁堡、牛津、劍橋等大學(xué)科普利獎(jiǎng)?wù)?，以及都柏林、愛丁堡、牛津、劍橋等大學(xué)授予的名譽(yù)學(xué)位授予的名譽(yù)學(xué)位。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共31頁 繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引進(jìn)了函數(shù)，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即行列式，即“雅可比行列式雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。列式的導(dǎo)數(shù)公式。

19、雅可比的著名論文雅可比的著名論文論行列式的形成和性質(zhì)論行列式的形成和性質(zhì)標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在促使行列式理論自身在 19 世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個(gè)個(gè) 19 世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。理都相繼得到。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)

20、的是第20頁，共31頁 矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。應(yīng)用的一個(gè)重要工具。 “矩陣矩陣”這個(gè)詞是由這個(gè)詞是由西爾維斯特西爾維斯特首先使用的，他是首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語。為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究，不管行

21、列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。而在歷史上次序正好相反。 2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共31頁 英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公認(rèn)為是矩一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。出來

22、，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。 凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。記號(hào)。 1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文矩陣矩陣論的研究報(bào)告論的研究報(bào)告，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣

23、的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。些基本結(jié)果。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁，共31頁英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 。英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的近代。英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。學(xué)派帶頭人。凱萊最主要的貢獻(xiàn)是與凱萊最主要的貢獻(xiàn)是與J.J.西西爾維斯特一起爾維斯特一起 ，創(chuàng)立了代數(shù)型，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)論的創(chuàng)立者。他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻(xiàn)。凱一研究也作了重要的貢獻(xiàn)。凱萊在勸說劍橋大學(xué)接受女學(xué)生萊

24、在勸說劍橋大學(xué)接受女學(xué)生中起了很大的作用。他曾任劍中起了很大的作用。他曾任劍橋哲學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、皇家橋哲學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、皇家天文學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。天文學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。2、矩陣和行列式凱萊（18211895）Cayley，Arthur現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁，共31頁 1855 年，埃米特年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 證明了別證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來 ，克萊伯，克萊伯施施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆、布

25、克海姆 (A.Buchheim) 等等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯 (H.Taber) 引入引入矩矩陣的跡陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。 2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁，共31頁 在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。 他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，

26、以合乎邏輯的形式整理了不變因子和同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。些重要性質(zhì)。 1854 年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。 1892 年，梅茨勒年，梅茨勒 (H.Metzler) 引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。方程

27、發(fā)展的需要而開始的。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁，共31頁 矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已由最初作為一種工具經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支矩陣論。而矩陣論又可矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。技的各個(gè)領(lǐng)域。2、矩陣和行列式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁，共31頁 線性方程組的

28、解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作線性方程組的解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作九章算九章算術(shù)術(shù) 方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。未知量的方法，即高斯消元法。 在西方，線性方程組的研究是在在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。麥克的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。麥克勞林在勞林在 18 世紀(jì)上半葉研

29、究了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法則。則。 18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程組理論進(jìn)世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了行了一系列研究，證明了 n元齊次線性方程組有非零解的條件是元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。系數(shù)行列式等于零。3、線性方程組現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁，共31頁 19 世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯 (H.Smith) 和道奇森和道奇森 (C-L.

30、Dodgson) 繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了 個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。 大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展?，F(xiàn)程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展。現(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。 3、線性方程組現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第28頁，共31頁 二次型也稱為二次型也稱為“二次形式二次形式”，數(shù)域，數(shù)域 P上的上的n 元二次齊次元二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域多項(xiàng)式稱為數(shù)域 上的上的 n元二次型。元二次型。 二次型