定積分計(jì)算技巧

1、1.定積分的幾何意義解法1由定積分的幾何意義知,202xxdx等于上半圓周(x21)(y0)與x軸所圍成的圖形的面積.故2x-2xdx=22.利用積分不等式例1.求limnpSdx,nnxp,n為自然數(shù).解法利用積分不等式因?yàn)閚psinxdxnnpsinxnxdxp1dxxln而limlnn0所以例2.求limn1工01解法因?yàn)?-dx.xx1，故有于是可得又由于因此3.利用被積函數(shù)的奇偶性求定積分.例1.計(jì)算21?x-分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,2x2xI 1x2dx=limnpsinxdxx11x2是奇函數(shù)，有-dxx1xndx.01xndx00(n).limn-dx=0.x因此首先應(yīng)考

2、慮被積函數(shù)的奇偶性.2x2111x211Cx2dxdx0,111x2dx.由于2x2于是I 2x2x,1x2dx=41J01衣dx=42X1x20(11X)dx=4dx41x2dx00V由定積分的幾何意義可知1o1xdx7,故I 2x2”1X一dx2X140dxrfsinx.例2.計(jì)算一百說疋_開7T解雖然1:一在一匚一上即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，更不能直接求岀原函數(shù)，但我們可以利用以利用-二.得原式八：；(1-cos2x)dx=-sm2x)f=(2ff-去廳)2224設(shè)f(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T,則二''事實(shí)上丁1<LQV*F由于-''&quo

3、t;y'_/1于是F、1Q0(h)&例1.設(shè)''表示距離X最近整數(shù)的距離，計(jì)算-匚芯-2l-xn<x<l,且X)為周期函數(shù)，周期為1,于是曲就方必=l°oj：誠(chéng)或必=100加用+J1xdx+J；(1-町血=4. 利用積分中值定理npsinxp,n為自然數(shù).例1.求lim引蘭dx,nn解法利用積分中值定理設(shè)f(x)sinx,顯然f(x)在n,np上連續(xù)，由積分中值定理得xnpsinxsindxxnP,n,np,當(dāng)n時(shí),而sin1,故n又故例2.解法limnnpsinxdxxsinlimp0.求limnn1xdx.01x由積分中值定理1016.

4、利用適當(dāng)變量變換求定積分baf(x)g(x)dxnx.dx=xlimnf()bag(x)dx可知1110xndx,01.1xndx01limnn10且1111，例1.設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，計(jì)算解設(shè)*亍jf/(cosi)lim1乂n01xdx0-f2/伽Qddx/(sinx)+/(cosff)于是/(cos叮也莎粽麗苛齋護(hù)/(cosH)例2.設(shè)函數(shù)f(x)在；一"7:內(nèi)滿足-且：二卩二7T4'，計(jì)算解法一|J(RA=J-+sin2寸2JIJ/(；-jt)必4-爲(wèi)1*tdi*J'3fjf2zJTJ。加+Jy(£-jt)=+弓-2+f/d處g空-2+J；畑蟲&

5、quot;y<a)=*解法二當(dāng)"兀鈿時(shí)，x-免十sinj,xett,2ttt-'-'.-7t于是仗7T+sin珀證戲+J(斗-27T)t7x=JT22.例46設(shè)奇JT-X解原式J二J："F沖+J；&=|-7.利用定積分公式昭x/(sm工)必二J：J(sin乂同c.公式1:設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，則事實(shí)上；八:-'：/?"：J；(7T-朗/(sinx)dx-x)必-Jfr/(sinx)血移項(xiàng)兩邊同除以2得fj/(sinx)tdx=Jjyfsinjf)dx公式2:-當(dāng)旳為偶數(shù),cosftcosft22,當(dāng)曲為奇數(shù)，37J_(-f

6、)dt=Jcos"tdt=訶cosxdx3兀匚osxdx-cosB_1xdsinz=(M-1)啟沁皿H(l-gJ町心=(«-1)打-(W-嘰,由于遞推公式每次降由于遞推公式每次降2次，要討論n為奇偶數(shù)的情形，由公式3:sina2j5,cos4a.L2sinjB(-£)dt=JLrcos叫必I1+cos2知-人.的周期為冗，當(dāng)然It也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性CDS石=由底/佔(zhàn)叫加=g嚴(yán)曲質(zhì)，有亠'=cos2天d&''而嚴(yán)f“2J嚴(yán)宀必7Fcos2jlxdK=耳2cos2*xdx,4由于2n是偶數(shù)，故和皿“土丄心丄蘭'2

7、zj2w-222-T3公式4J了/(£垃x)d?c.證'-J；垃冷-&y)d£=JJ/(cos£fitf)=JJ/(cosx)dx.2£'JJ=JJ(a+3打£盍例54證明于J°f(a4-£>f)必=J°£0=Jfa-b云”忑公式5設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，則I；/'sinx開|SH1工證由（1-cos2x）2是洱為周期的函數(shù)，當(dāng)然也是以2開為周期的函數(shù),也是以人為周期的函數(shù)，于是fah刊血忑i）必1r1f*=-J_y(|sm|=-J0/(|anxp=gJ/Cl開I)必=J；孑(Rmz|)x=Ja3/Csm仙ry（忑）*芹=（占口fa-（b公式6j/陌芒0口）JQ>/十一口并酗=（&一力/口十一口）XJs/(sm2x)dx-/(cosz)公式7.Jf/gm2x)d