實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)及其運(yùn)算

1、能力測(cè)試點(diǎn)1實(shí)數(shù)及其運(yùn)算考綱知識(shí)解讀1 .正確理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念；2 .掌握用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)，會(huì)求近似數(shù)與有效數(shù)字；3 .借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對(duì)值、算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)；4 .掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并會(huì)靈活應(yīng)用；5 .會(huì)用多種方法比較實(shí)數(shù)的大小.考綱能力解讀實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在中考中多以選擇題、填空題、計(jì) 算題的形式出現(xiàn).主要考查實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)的運(yùn)算， 特別應(yīng)注 意的是，以實(shí)際問(wèn)題為背景，結(jié)合當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題考查近似數(shù)、 有效數(shù)字、科學(xué)記數(shù)法另外，還應(yīng)注意創(chuàng)新的題型不斷出現(xiàn)，例如通 過(guò)觀察、歸納、總結(jié)找規(guī)律的題型.1、實(shí)數(shù)的兩種分類注意 是無(wú)理數(shù)，但有時(shí)近似地用3 .1

2、4這個(gè)有理數(shù)來(lái)代替,2、目等是無(wú)理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù).2 .實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念(1) 正數(shù)、負(fù)數(shù)像5 , 1 . 5，耳等大于0的數(shù)叫做正數(shù).像5 , - 1 . 5，習(xí)等在正數(shù)前面加上“”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).(2) 整數(shù)、分?jǐn)?shù)正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，有理數(shù)可劃分為：正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、零.(4) 數(shù)軸 定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸. 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)右邊的總比左邊的大.正數(shù)都大于0 ;負(fù)數(shù)都小于0 ;兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大 的反而小.(5) 相反數(shù) 定義：絕對(duì)值相等且符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

3、互為相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn) 距離相等的兩個(gè)點(diǎn). 非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是a,0的相反數(shù)是0,相反數(shù)總是成對(duì) 出現(xiàn)的.(6) 絕對(duì)值 定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值， 記作丨a | . 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其本身.即 I a | = |川|或I a | =_ x 去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)關(guān)鍵是判斷絕對(duì)值符號(hào)中代數(shù)式的正負(fù)，如果 是非負(fù)數(shù)，應(yīng)等于其本身；如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)是它的相反數(shù).(7) 無(wú)理數(shù)定義：無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).說(shuō)明：常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有以下幾種形式： 字母型：如圓周率 ； 構(gòu)造型：如2 . (每?jī)蓚€(gè)I之間多一個(gè)0)就是一個(gè)無(wú)限不

4、循環(huán)的小數(shù)； 根式型：如，都是一些開方開不盡的數(shù)； 三角函數(shù)型：如35 ,27 ,29 等.(8) 近似數(shù)、有效數(shù)字與科學(xué)記數(shù)法 近似數(shù)：一個(gè)與實(shí)際數(shù)比較接近的數(shù)，稱為近似數(shù). 有效數(shù)字：對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字開始， 到最末一位數(shù)字為止，都是這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字. 科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)記作 a x 10n的形式(其中1 w 10 , n為整數(shù)).a.當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成ax lOn , 其中1 10 , n為整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減去 1 ;b .當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a x 10n , 其中1 w 0,則稱a為非

5、負(fù)數(shù). 常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)：| a | 0, a2 0, 0. 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：a .任何非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；b .如果幾個(gè) 非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0 .(10) 倒數(shù) 定義：乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù). 倒數(shù)的求法：求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個(gè)數(shù)分之一；求 一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒即可；求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)， 應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)；求一個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將小 數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再求倒數(shù).只有零沒(méi)有倒數(shù)，其他任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù).正數(shù)的倒數(shù)為正數(shù)， 負(fù)數(shù)的倒數(shù)為負(fù)數(shù).(11) 平方根、立方根如果x2，那么x叫做a的平方根；正數(shù)a的正的平方根叫做a 的算術(shù)平方根，記作

6、正岡;0的算術(shù)平方根為0 ;如果x3，那么x 叫做a的立方根，記作 .3 .常用的幾個(gè)特殊整數(shù)(1) 最小的自然數(shù)是零；最小的正整數(shù)是I;最大的負(fù)整數(shù)是1 ; 絕對(duì)值最小的數(shù)是零，同時(shí)，零也是最小的非負(fù)整數(shù).(2) 1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì) 數(shù).4 .有關(guān)零(1) 零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù) 數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù).零的相反數(shù)為零，絕對(duì)值也為零.5 .實(shí)數(shù)與數(shù)軸(1)有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)有如下關(guān)系：每一個(gè)有理數(shù)可以用數(shù)軸上 的唯一確定的點(diǎn)表示.數(shù)軸是用“形”來(lái)研究“數(shù)”的性質(zhì)的有力工具， 充分了解數(shù) 軸的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用特點(diǎn)很重要，用數(shù)軸可以進(jìn)行數(shù)的大

7、小比較，即正確 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出數(shù)后，應(yīng)用“數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的數(shù)總 比左邊的數(shù)大”進(jìn)行比較.(3) 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng).6 .實(shí)數(shù)的運(yùn)算(1)加法同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值滿足運(yùn)算律： ； ()=()(2) 減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)(3) 乘法， 兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相乘. n個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù) n個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0 . 滿足運(yùn)算律：；()()；a().(

8、4) 除法 兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除. 0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0 .(5) 乘方與開方乘方與開方互為逆運(yùn)算(6) 實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序加、減、乘、除、乘方、開方 (這六種運(yùn)算稱為代數(shù)運(yùn)算 )六種運(yùn) 算，加減是一級(jí)運(yùn)算，乘除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算，這 三級(jí)運(yùn)算的順序是三、二、一，如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒(méi) 有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中， 要從左至右依次進(jìn)行運(yùn)算， 無(wú)論何種運(yùn)算， 都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算7比較實(shí)數(shù)的大?。?）比較實(shí)數(shù)大小的一般方法：性質(zhì)比較法：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于任何負(fù)數(shù).絕對(duì)值比較法：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大 的反而小.數(shù)軸比較法：將實(shí)數(shù)用

9、點(diǎn)表示在數(shù)軸上，沿?cái)?shù)軸正方向 的數(shù)越來(lái)越大.差值比較法：設(shè) a, b是任意實(shí)數(shù)，若a b0 , 則 ab ;若 a b0，則 ab0 ,則 ,可以把比較，的大小轉(zhuǎn)化成比較a, b的大小問(wèn)題.倒數(shù)比較法：兩個(gè)正數(shù)，倒數(shù)大的反而小.除了以上方法外，還有比較幕的 大小的底數(shù)比較法、指數(shù)比較法、估算法、中間值法等.8 .平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：（1）在用根號(hào)表示平方根時(shí)，根指數(shù)2可以省略，而用根號(hào) 表示立方根時(shí)，根指數(shù)3不能省略；（2）平方根只有非負(fù)數(shù)才有，而 立方根任何數(shù)都有，且只有一個(gè)；（3）正數(shù)的平方根有兩個(gè)且互為相 反數(shù)，正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù).聯(lián)系：（1）都與相應(yīng)的乘方互為逆運(yùn)算；（

10、2）都可歸納為非負(fù)數(shù)的非 負(fù)方根來(lái)研究.平方根主要通過(guò)算術(shù)平方根來(lái)研究， 而負(fù)數(shù)的立方根 也可利用 二-轉(zhuǎn)化為正數(shù)的立方根來(lái)研究；（3）0的立方根和平 方根都是它本身.9 .實(shí)數(shù)的新運(yùn)算先給出實(shí)數(shù)新運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則，然后付之應(yīng)用.解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是把新運(yùn)算轉(zhuǎn)換成六種基本運(yùn)算.10 .實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究規(guī)律探究性問(wèn)題是根據(jù)問(wèn)題的條件或問(wèn)題提供的若干特例，通過(guò) 觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)涵的基本規(guī)律與特征的一類 探索性問(wèn)題.其解題策略是：由特例觀察、歸納T猜想、揭示一般規(guī) 律T實(shí)驗(yàn)或證明猜想.例如：已知 1+3=4=22 ， 1+3+5=9=32 ， 1+3+5+7=16=42 ，

11、 1+3+5+7+9=25=52.，根據(jù)前面各式的規(guī)律，可猜測(cè)：3+5+7+(21)=(其中n為自然數(shù)).解析：找規(guī)律題一般對(duì)相鄰的兩個(gè)式子豎直排列對(duì)照找出相同部 分和不同部分， 不同部分的變化規(guī)律就決定整體的變化規(guī)律， 為了防 止規(guī)律的局限性， 請(qǐng)代入到每一個(gè)式子中進(jìn)行檢驗(yàn)， 如此題等式的左 邊都是連續(xù)的奇數(shù)， 每相鄰的一個(gè)式子中增加一個(gè)奇數(shù)， 右邊的底數(shù) 就加 1，故答案為： (1)211 一種結(jié)論及其推廣(1) 結(jié)論：若丨a | + | b丨=0,則0, 0.(2) 推廣： 若 a22=0 ,則 0, 0 a2+ | b | =0 ,則 0 , 0 . | a | 2=0 ，則 0, 0. 若 | + | =0,則 0 , 0，即一x, - y.12 .三種重要的非負(fù)數(shù)(1) 實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值,記作| a|；(2) 實(shí)數(shù) a 的偶次方,記作 a2n(n 為正整數(shù))；實(shí)數(shù)a(a