計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

1、精品文檔第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計(jì)、模型的檢驗(yàn)以及模型在預(yù)測方面的應(yīng)用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗(yàn)方面有所擴(kuò)充。本章仍重點(diǎn)介紹了多元線性回歸模型的基本假設(shè)、估計(jì)方法以及檢驗(yàn)程序。與一元回歸分析相比，多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個解釋變量間不存在（完全）多重共線性這一假設(shè)；在檢驗(yàn)部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另一方面引入了對多個解釋變量是否對被解釋變量有顯著線性影響關(guān)系的聯(lián)合性F檢驗(yàn)，并討論了F檢驗(yàn)與

2、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系。本章的另一個重點(diǎn)是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線性模型如何轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。本章第三個學(xué)習(xí)重點(diǎn)是關(guān)于模型的約束性檢驗(yàn)問題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約束檢驗(yàn)。參數(shù)的線性約束檢驗(yàn)包括對參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)、對模型增加或減少解釋變量的檢驗(yàn)以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)與鄒氏預(yù)測檢驗(yàn)兩種類型的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)都是以F檢驗(yàn)為主要檢驗(yàn)工具，以受約束模型與無約束模型是否有顯著差異為檢驗(yàn)基點(diǎn)。參數(shù)的非線性約束檢驗(yàn)主要包括最大似然比檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。它們?nèi)砸?/p>

3、估計(jì)無約束模型與受約束模型為基礎(chǔ)，但以最大似然原理進(jìn)行估計(jì)，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個數(shù)為自由度的Z2分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布特征。非線性約束檢驗(yàn)中的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)在后面的章節(jié)中多次使用。二、典型例題分析例1.某地區(qū)通過一個樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動力受教育的一個回歸方程為edu=10.360.094sibs0.131medu0.210feduR2=0.214式中，edu為勞動力受教育年數(shù)，sibs為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問1 1)sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測的受教育水平

4、減少一年，需要sibs增加多少？2 2)請對medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉尅?3)如果兩個勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：(1)預(yù)期sibs對勞動者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計(jì)值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數(shù)會減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個。(2)medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟

5、姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時，母親每增加1年受教育的機(jī)會，其子女作為勞動者就會預(yù)期增加0.131年的教育機(jī)會。(3)首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為10.36+0.13112+0.21012=14.45210.36+0.13116+0.21016=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2.以企業(yè)研發(fā)支出(R&D)占銷售額的比重為被解釋變量(Y),以企業(yè)銷售額(X1)與利潤占銷售額的比重(X2)為解釋變量，一個有32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：Y=0.4720.32log(X1)0.05X2(1.(37) (0.22)(0.046)R2=

6、0.099其中括號中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。(1)解釋10g(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%,估方tY會變化多少個百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì)上是一個很大的影響嗎？(2)針對R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個檢驗(yàn)。(3)利潤占銷售額的比重X2對R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？解答：(1)10g(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時，10g(x1)變化1個單位，Y變化的單位數(shù)，即AY=0.3230g(X1)之0.32(iX1/X1)=0.32父100%,換言之，當(dāng)企業(yè)銷售X1增長100%時，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的

7、比重Y會增加0.32個百分點(diǎn)。由此，如果X1增加10%,Y會增加0.032個百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個較大的影響。(2)針對備擇假設(shè)H1:文0,檢驗(yàn)原假設(shè)H0：A=0。易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t分布的臨界值為1.699(單側(cè))，計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311,計(jì)算的t值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。(3)對X2,參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087,它

8、比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對Y在統(tǒng)計(jì)上沒有顯著的影響。例3.下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的4個模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)值(括號內(nèi)為p-值)(如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒有此變量)。數(shù)據(jù)為美國40個城市的數(shù)據(jù)。模型如下：housing=01density2value3income4Popchang5unemplocaltax“statetax式中housing實(shí)際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density每平方英里的人口密度，value一自由房屋的均值(單位：百美元)，income平均家庭的收入(單位：千美元)，popchang19801992年的人口增長百分比

9、，unemp失業(yè)率，localtax人均交納的地方稅，statetax人均繳納的州稅變量模型A模型B模型C模型DC813(0.74)-392(0.81)-1279(0.34)-973(0.44)Density0.075(0.43)0.062(0.32)0.042(0.47)Value-0.855(0.13)-0.873(0.11)-0.994(0.06)-0.778(0.07)Income110.41(0.14)133.03(0.04)125.71(0.05)116.60(0.06)Popchang26.77(0.11)29.19(0.06)29.41(0.001)24.86(0.08)Une

10、mp-76.55(0.48)Localtax-0.061(0.95)Statetax-1.006(0.40)-1.004(0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.312<?21.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6(1)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯中的每一個回歸系數(shù)在10%水平下是否為零(括號中的值為雙邊備擇p-值)。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？(2)在模型A中，在10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè)Ho：口=0(i=1,5

11、,6,7)。說明被擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說明你的結(jié)論。(3)哪個模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。(4)說明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號是“錯誤的”。說明你的預(yù)期符號并解釋原因。確認(rèn)其是否為正確符號。解答：(1)直接給出了P-值，所以沒有必要計(jì)算t-統(tǒng)計(jì)值以及查t分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。由于表中所有參數(shù)的p-值都超過了10%所以沒有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，value、in

12、come、popchang的p-值僅比0.1稍大一點(diǎn)，在略掉unemp、localtax>statetax的模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。(2)針對聯(lián)合假設(shè)H。：月=0(i=1,5,6,7)的備擇假設(shè)為H1:耳=0(i=1,5,6,7)非約束模型為模型A,中至少有一個不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0,實(shí)際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn),約束模型為模型D,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為匚(RSSr RSSU)/(ku -kR)F 二RSSU /(n -kU -1)(5.038e7一4.763e7)/(7-3)_0462(4.763e7)/(40-8)".顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿足F分布，在10%的顯著性

13、水平下，自由度為(4,32)的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計(jì)算的F值小于臨界值，我們不能拒絕H0,所以3i(i=1,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。(3)模型D中的3個解釋變量全部通過顯著性檢驗(yàn)。盡管R2與殘差平方和較大，但相對來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。(4)隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會隨之增加。所以可以預(yù)期33>0,事實(shí)上其估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會隨之增加，所以我們預(yù)期34>0,事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價格的上升，我們預(yù)期對住房的需求人數(shù)減少，即我們預(yù)期33估計(jì)值的符號為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺相符。

14、出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對含有三個自變量的多元回歸模型：Y=0mXi_2X2'3X3你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是H0:P12P2=1。(1)用用，用的方差及其協(xié)方差求出Var例-2鳥)。(2)寫出檢驗(yàn)H0：P1222=1的t統(tǒng)計(jì)量。(3)如果定義Pi-2P2=日，寫出一個涉及住、國良和良的回歸方程，以便能直接得到6估計(jì)值。及其標(biāo)準(zhǔn)誤。解答：(1)由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識易知Var(P1-2邑)=Var(邑)-4Cov(鞏居)+4Var(胤).?-2?

15、2-1t 二se(?-2Z)'(2)由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識易知其中se(IV2l?2)為，1-2嗎)的標(biāo)準(zhǔn)差。(3)由32P2=日知片=8+2%,代入原模型得YJ：。Q2：2)Xi2X23X31=0僅10(2X1X2)3X31這就是所需的模型，其中X古計(jì)值?及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過對該模型進(jìn)行估計(jì)得到。三、習(xí)題（一）基本知識類題型3-1.解釋下列概念：1）多元線性回歸2）虛變量3）正規(guī)方程組4）無偏性5） 一致性3-2.觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性?6）參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間7）被解釋變量預(yù)測值的置信區(qū)間8） 受約束回歸9）無約束回歸10）參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是？精品文

16、檔2) Yi=-0-1logXi；i3) logY=：0：1logXi；i4) YiJ：。；(”Xi).一5)Yi6) 丫=1飛(1-XJ)7) Yi=飛.，X1i-Xz10.3-3.多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？3-4.為什么說最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量？多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？3-5.多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么？試說明在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性和有效性的過程中，哪些基本假設(shè)起了作用？3-6.請說明區(qū)間估計(jì)的含義。（二）基本證明與問答類題型3-7.什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：yi=P0

17、+P1x1i+B2x2i十+Pkxki+ui,i=1,2,，n的正規(guī)方程組，及其推導(dǎo)過程。3-8.對于多元線性回歸模型，證明：(1)20=0z?e=£(爵+t?xii+Kxki)e=03-9.為什么從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型得到的預(yù)測值不是一個確定的值？預(yù)測值的置信區(qū)間和置信度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？3-10.在多元線性回歸分析中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否有等價的作用？3-11.設(shè)有模型：y=00+口1x1+P2x2+u，試在下列條件下：(1)昆+為=1P1=P2分別求出P1和P2的最小二乘估計(jì)量。3-12.多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

18、忖二1+F1x1i十口2x2i十十Bkxki十i=1,2,-,n(2.11.1)的矩陣形式是什么？其中每個矩陣的含義是什么？熟練地寫出用矩陣表示的該模型的普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量，并證明在滿足基本假設(shè)的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量是無偏和有效的估計(jì)量。3-13.有如下生產(chǎn)函數(shù)：lnX=1.37+0.6321nK+0.4521nL(0.257)(0.219)2R=0.98Cov(bK,bL)U0.055其中括號內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。請檢驗(yàn)以下零假設(shè)：(1)產(chǎn)出量的資本彈性和勞動彈性是等同的；(2)存在不變規(guī)模收益，即口+P=1。3-14,對模型yi=P0+P1x1i+%x2i+kxki+5應(yīng)用OL

19、S法，得到回歸方程如下:?=?0?x1i?2x2i?kxki要求：證明殘差埼=yi?與？i不相關(guān)，即：£?品=0。3-15.3-16.考慮下列兩個模型：I、yi=：1.：2X2i'.Ui口、Bi-X2i)=：1：2X2i：3X3Ui要求：(1)證明：笈2=黑一1,啕=因，儡=(2)證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即：U?=0(3)在何種情況下，模型n的擬合優(yōu)度屋會小于模型I擬合優(yōu)度R2。3-17.假設(shè)要求你建立一個計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來說明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個學(xué)年收集數(shù)據(jù),得到兩個可能的解釋性方程:方程A：

20、Y?=125.0-15.0X1-1.0X2+1.5X3R2=0.75方程B:Y?=123.014.0X1+5.5X2-3.7X4R2=0.73其中：Y某天慢跑者的人數(shù)X1該天降雨的英寸數(shù)X2該天日照的小時數(shù)X3該天的最高溫度(按華氏溫度)X4第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)請回答下列問題：(1)這兩個方程你認(rèn)為哪個更合理些，為什么？(2)為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變量的系數(shù)得到不同的符號?3-18.對下列模型：yi=a+Pxi+2Zi十5（1）yi=c(+Bxi-Pzi+Ui(2)求出3的最小二乘估計(jì)值；并將結(jié)果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計(jì)值作比較：(3)yi=口+Pxi-+Ui，你認(rèn)為哪

21、一個估計(jì)值更好？3-19.假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價格、氣溫、附近餐廳的盒飯價格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量(單位：千人)作為解釋變量，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管是否有假期，食堂都營業(yè)。不幸的是，食堂內(nèi)的計(jì)算機(jī)被一次病毒侵犯，所有的存儲丟失，無法恢復(fù)，你不能說出獨(dú)立變量分別代表著哪一項(xiàng)！下面是回歸結(jié)果(括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差)：Y?=10.628.4X1i12.7X2i0.61X3i5.9X4i2(2.6)(6.3)(0.61)(5.9)R=0.63n=35要求：(1)試判定每項(xiàng)結(jié)果對應(yīng)著哪一個變量？(2)對你的判定結(jié)論做出說明。(三)基本計(jì)算類題型3-20.試對二元線性回歸模型：Y

22、i=久+AXii+2X2+5,(i=1,2,，n)作回歸分析，要求：(1)求出未知參數(shù)日0,3邛2的最小二乘估計(jì)量K,因的；(2)求出隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差仃2的無偏估計(jì)量；(3)對樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；(4)對總體回歸方程的顯著性進(jìn)行F檢驗(yàn)；(5)對3,久的顯著性進(jìn)行t檢驗(yàn)；(6)當(dāng)X0=(1,X10,X20)時，寫出E(Yo|Xo)和丫0的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間。3-21.下表給出三變量模型的回歸結(jié)果:方差來源平方和(SS)自由度(d.f.)平方和白均值(MSS)來自回歸65965一一來自殘差_一一一總離差(TSS)6604214要求：(1)樣本容量是多少？(2)求RSS?(3)ESS

23、和RSS的自由度各是多少？2(4)求R2和R?(5)檢驗(yàn)假設(shè)：X2和X3又丫無影響。你用什么假設(shè)檢驗(yàn)？為什么？(6)根據(jù)以上信息，你能否確定X2和X3各自對丫的貢獻(xiàn)嗎？3-22.下面給出依據(jù)15個觀察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)：2Y=367.693,X2=402760,X3=8.0,£y=66042.26922£x2i=84855096,£x2i=280.0,£yix2i=74773846ZyiX3i=4250.9,ZX2iX3i=4796.0其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。要求：(1)估計(jì)三個多元回歸系數(shù)；,、，、，2-2(2)估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出

24、R與R?(3)估計(jì)B2、B395%的置信區(qū)間；(4)在豆=5%下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性(雙邊檢驗(yàn))；(5)檢驗(yàn)在a=5%下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。3-23.考慮以下方程(括號內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差)：V?=8.562+0.364號十0.004號-2.560Ut2(0.080)(0.072)(0.658)n=19R=0.873其中：Wt年的每位雇員的工資和薪水Pt年的物價水平Ut年的失業(yè)率要求：(1)對個人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；(盡量在做本題之前不參考結(jié)果)(2)討論在理論上的正確性，對本模型的正確性進(jìn)行討論；Pt是否應(yīng)從方程中刪除？為什么？3-24.下表是某種商

25、品的需求量、價格和消費(fèi)者收入十年的時間序列資料:年份12345678910需求量59190654506236064700674006444068000724007571070680價格23.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入7620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：(1)已知商品需求量丫是其價格X1和消費(fèi)者收入X2的函數(shù)，試求丫對X1和X2的最小二乘回歸方程：丫?='工？X1?2X2(2)求丫的總變差中未被X1和X2解釋的部分，并對回歸方程進(jìn)行

26、顯著性檢驗(yàn)；(3)對回歸參數(shù)聯(lián)，目進(jìn)行顯著性t檢驗(yàn)。3-25.參考習(xí)題2-28給出的數(shù)據(jù)，要求：(1)建立一個多元回歸模型，解釋MBA畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結(jié)果;(2)如果模型中包括了GPA和GMAT分?jǐn)?shù)這兩個解釋變量，先驗(yàn)地，你可能會遇到什么問題，為什么?(3)如果學(xué)費(fèi)這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，是否表示進(jìn)入最昂貴的商業(yè)學(xué)校是值得的。學(xué)費(fèi)這個變量可用什么來代替?3-26.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水平有關(guān)，對18名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:學(xué)生購買書籍及課外受教育年限家庭月可支配收序號讀物支出丫(元/X1(年)入

27、X2(元/月)1450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792.76350.913580.84357.914612.75359.015890.873719161121.09435.3171094.28523.9181253.010604.1要求:(1)試求出學(xué)生購買書籍及課外讀物的支出Y與受教育年限X1和家庭收入水平X2的估計(jì)的回歸方程：Y?=?0Zx1?2x2-

28、c-2(2)對%-2的顯著性進(jìn)行t檢驗(yàn)；計(jì)算R2和R;(3)假設(shè)有一學(xué)生的受教育年限Xi=10年，家庭收入水平X2=48磯/月，試預(yù)測該學(xué)生全年購買書籍及課外讀物的支出，并求出相應(yīng)的預(yù)測區(qū)間(”=0.05)。3-27.根據(jù)100X(Xi,y)的觀察值計(jì)算出:，22"x2=12%xy=-9%y=30要求：(1)求出一元模型y=久+0同+u中的3的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量；(2)后來發(fā)現(xiàn)y還受X2的影響，于是將一元模型改為二元模型y=ot0+a1X1+a2X2+v,收集x2的相應(yīng)觀察值并計(jì)算出：'X2=6"x2y=8"x1x2=2求二元模型中的%,

29、a2的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量；(3)一元模型中的用與二元模型中的%是否相等？為什么？3-28.考慮以下預(yù)測的回歸方程：c2Y?1200.10Ft5.33RStR=0.50其中：Yt第t年的玉米產(chǎn)量(蒲式耳/畝)Ft第t年的施肥強(qiáng)度(磅/畝)RSt第t年的降雨量(英寸)要求回答下列問題：(1)從F和RSX丫的影響方面，說出本方程中系數(shù)0.10和5.33的含義；(2)常數(shù)項(xiàng)20是否意味著玉米的負(fù)產(chǎn)量可能存在？(3)假定庫的真實(shí)值為0.40,則估計(jì)值是否有偏？為什么？(4)假定該方程并不滿足所有的古典模型假設(shè)，即并不是最佳線性無偏估計(jì)值，則是否意味著Prs的真實(shí)值絕對不等于5.33?為

30、什么？3-29.已知線性回歸模型Y=XB+U式中U(0,仃21),門=13且卜=3(門為樣本容量，k為參數(shù)的個數(shù))，由二次型(Y-XB)'(Y-XB)的最小化得到如下線性方程組：?2?2馬=32?15?2馬=9?262要求：（1）把問題寫成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之;（2）如果YY=53,求92；（3）求出口的方差一協(xié)方差矩陣。3-30.已知數(shù)據(jù)如下表:YX1X211103298351541285-6要求：（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)以下回歸模型的方程（只估計(jì)參數(shù)不用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）：小二10->Xii.Uliyi='02X2iU2iyi=飛,'2X2i-Ui

31、（2）回答下列問題：=P1嗎？為什么？九2=P2嗎？為什么？（四）自我綜合練習(xí)類題型3-31.自己選擇研究對象（最好是一個實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題），收集樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件（建議使用Eviews3.1）,完成建立多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的全過程，并寫出詳細(xì)研究報(bào)告。四、習(xí)題參考答案（一）基本知識類題型3-1.解釋下列概念（1）在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動中往往存在一個被解釋變量受到多個解釋變量的影響的現(xiàn)象，表現(xiàn)為在線性回歸模型中有多個解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元指多個解釋變量。（2）形如XY=XXB?的關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的線性代數(shù)方程組稱為正規(guī)方程組。3-2.答：變量非線性、系數(shù)線性；變量、系數(shù)均

32、線性；變量、系數(shù)均線性；變量線性、系數(shù)非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線性。3-3.答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面：一是解釋變量的個數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型多了“解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)式的表達(dá)更復(fù)雜；3-4.在多元線性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具備線性、無偏性、最小方差性，同時多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量，又稱BLUE估計(jì)量。對于多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，3-5.答：多元線性回

33、歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、解釋變量的非隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui服從均值為0方差為仃2的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性中，利用了解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定；在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。3-6.答：區(qū)間估計(jì)是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（從一組樣本觀測值算得的）作為近似值的精確程度和誤差范圍。（二）基本證明與問答類題型3-7.答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱為正規(guī)方程組。正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：£yi-Z色十f?iXii+f?2X2i十十Gki)=0Zyi=4(4+1xii+f?2X2

34、i+%Xki)xi=0工yiX2i£(用+?iXii+$2X2i+lxki)X2i=0kyiXkiJ(?-?iXii?2X2i-?；Xki)Xki=0正規(guī)方程組的矩陣形式如下：XV-XB?推導(dǎo)過程略。3-16.解:(1)證明：由參數(shù)估計(jì)公式可得下列參數(shù)估計(jì)值ZX2i(yiX2i)ZX2iX3iZX3i(yiX2i)ZX3i二.X2i二.X2iX3iX2iX3i'一2X3iX2iyiX3iXz二?2X2iX3i-1,二X2iX3i-2X3i二X2iX3i'X3i.1.X2i1.X2iX3i二X2iX3i二X3i,、X2i二.X2iX3i二.X2iX3i2X3i£

35、; X2iZ X2i X3i工X2i(yi-X2i)工X3i(yiX2i)-2X2i一X2iX3i2X3iX2iX3i2X2i'、X2iVZX2iX3i"X3iyi'、X2i-X2iX3i2X2i二.X2iX3iZX2iZX2iX3i工X2iX3iZX3i=?3.1.X2i1.X2iX3i,二.X2iX3i.1.?=yx-2X2-"Vy-(1?2)X2-3X3uy-ZX2-?3X3二Z證畢。證明：u?=yi-x2i-？1T?2x2i-？3x3i=yi-21-X1，?2)x2i-?3X3i=yi-Z-Zx2iri=?證畢。設(shè):zi=yi-x2i“ u?2

36、9;、(yi - y)2I式的擬合優(yōu)度為:21ESS1Ri=1-二1TSSii式的擬合優(yōu)度為:ESSTSS'、u? 2v (z - z)2在中已經(jīng)證得u?=u?J成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優(yōu)度R；小于模型2一一22I的擬合優(yōu)度Ri,必須滿足：Z(z-z)<H(y-y)。3-17.答：方程B更合理些。原因是：方程B中的參數(shù)估計(jì)值的符號與現(xiàn)實(shí)更接近些，如與日照的小時數(shù)同向變化，天長則慢跑的人會多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)成反向變化，這一點(diǎn)在學(xué)校的跑道模型中是一個合理的解釋變量。解釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對被解釋變量的影響，在

37、方程A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程A選擇的是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)”，由此造成X2與這兩個變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計(jì)相同的變量得到不同的符號。3-18.答：將模型改寫成(yi2zj)=口+為+5,則P的估計(jì)值為：?(1-x)(yi-24)v(xi-x)2將模型改寫成yi=口+P(xizi)+ui,則P的估計(jì)值為：?(XiZiXZ)yi工(Xi-Zi-XZ)2這兩個模型都是三變量回歸模型在某種限制條件下的變形。如果限制條件正確，則前兩個回歸參數(shù)會更有效；如果限制條件不正確則前兩個回歸參數(shù)會有偏。3-19.答：答案并不唯一，猜測為

38、：Xi為學(xué)生數(shù)量，X2為附近餐廳的盒飯價格，X3為氣溫,X4為校園內(nèi)食堂的盒飯價格;理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價格成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價格成正比，因?yàn)楸舜耸翘娲?；與氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生不會因?yàn)闅鉁厣卟怀燥垺?三)基本計(jì)算類題型3-22.解：?'、yiX2X2iyiX3)X2iX3i2二一、2-2_二X2i二.X3i:X2iX3i.1.X2iX3i_74778.346280-4250.94796.0284855.096280-4796.02_550620757810=0.7266?.一yiX3i-X2i.一yiX2i-X2iX3i、X2i%X3i-%X2iX3i“X2iX3i4250.984855.096-74778.3464796.01_284855.096280-4796.02073580757810=2.7363?=Y-?2X2-?3X3-367.693-0.7266402.760-2.73638.0=53.15722'、e2'、y：一yj一牡：yx-n-3-15-366042.269-0.726674778.346-2.73634250.912=6.3821se( J) = *Var( ). IS A= 12.768其中：A# Y XrX'2雙