長春市普通高中2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測(三)數(shù)學(xué)理科

1、長春市普通高中2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)理科（試卷類型A）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1. 設(shè)集合，則A. B. C. D. 2. 復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若，則 A. B. C. D. 3. 已知向量，則A.B. C. D. 4. 已知函數(shù)，則A. B. C. D. 5. 已知實數(shù)，且，則的概率為A. B. C. D. 6. 已知，為第一象限角，則A. B. C. D. 7. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體

2、的體積為A. B. C. D. 8. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位后的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)在上的最小值為A. B. C. D. 9. 按右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的把的右數(shù)第位數(shù)字賦給是否開始輸入輸出結(jié)束A. B. C. D. 10. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，若圓和雙曲線的一個交點為, 滿足，則雙曲線的離心率是A. B. C. D. 11. 在中，是中點，已知,則的形狀為A.等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形12. 定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時，總有 ，則的解集為 A. B. C.D. 第卷（非選擇題，共9

3、0分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 已知實數(shù)滿足，則的最大值為_.14.設(shè)函數(shù)的圖象與軸的交點為，則曲線在點處的切線方程為_.15. 在橢圓上有兩個動點，點，滿足，則的最大值為_.16. 如果一個棱錐底面為正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐稱為正棱錐.已知正四棱錐內(nèi)接于半徑為的球，則當(dāng)此正四棱錐的體積最大時，其高為_.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

4、）.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項和為.18. （本小題滿分12分）某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年一班共有學(xué)生人，測試立定跳遠(yuǎn)的成績用莖葉圖表示如下（單位：）：男生成績不低于的定義為“合格”，成績低于的定義為“不合格”；女生成績不低于的定義為“合格”，成績低于的定義為“不合格”. (1)求女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)； (2)若在男生中按成績是否合格進(jìn)行分層抽樣，抽取個人，求抽取成績“合格”的男生人數(shù)；（3）若從全班成績“合格”的學(xué)生中抽取人參加選拔測試，用表示其中男生的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.19. （本小題

5、滿分12分）已知等腰梯形如圖所示，其中，分別為和的中點，且，為中點，現(xiàn)將梯形按所在直線折起，使平面平面，如圖所示，是線段上一動點，且.（1）當(dāng)時，求證：平面；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.20. （本小題滿分12分） 動點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，設(shè). (1)求點的軌跡的方程;(2) 設(shè)點,過點的直線交軌跡于（不同于點）兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明： ，總有.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾

6、何證明選講.已知四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，且，其對角線與相交于點，過點作圓的切線交的延長線于點.（1）求證：；(2) 若，求證：.23. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點在直線上.（1）若直線與曲線交于,兩點，求的值；（2）若曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.已知使不等式成立.(1)求滿足條件的實數(shù)的集合；(2) 若，對，不等式恒成立，求的最小值.長春市普通高中2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考一、

7、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. B2. C3. B 4. B5. B6. C7. A8. D9. A 10. B 11. D12. B簡答與提示：1. B【命題意圖】本題主要考查集合的化簡與交運算，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】B 由題意可知，所以. 故選B.2. C【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，以及復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】C復(fù)數(shù)，所以. 故選C.3. B【命題意圖】本題主要考查平面向量的運算性質(zhì). 【試題解析】B由得，故選B.4. B【命題意圖】本題考查分段函數(shù)及指數(shù)、對數(shù)運算，是一道基礎(chǔ)題. 【試題解析】B. 故選B.5. B【命題意圖】

8、本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】B 由題意，的所有可能為共6種，其中滿足的有4種，故概率為. 故選B.6. C【命題意圖】本題考查三角函數(shù)定義及恒等變換. 【試題解析】C由三角函數(shù)定義，故. 故選C.7. A【命題意圖】本題主要考查四棱錐的體積，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】A該幾何體可以看成由兩個四棱錐組成，每個四棱錐的底面面積為9，高為3，故其體積為9，所以整個幾何體體積為18. 故選A.8. D【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題. 【試題解析】D由題可知，從而，則該函數(shù)在的最小值為. 故選D.9. A【命題意圖】本題考查程序框圖及進(jìn)位制，屬

9、基礎(chǔ)題.【試題解析】A經(jīng)計算得. 故選A.10. B【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)與圓切線的性質(zhì)，是一道中檔題.【試題解析】B 由題可知，由，有，整理得，所以離心率. 故選B.11. D【命題意圖】本題主要考查解三角形正弦定理的應(yīng)用，是一道中檔題. 【試題解析】D 如圖，由題可知，在中，在中，所以，即，所以或，則此三角形為等腰三角形或直角三角形. 故選D. 12. B【命題意圖】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系、奇偶性等綜合應(yīng)用，是一道較難題. 【試題解析】B 由題可知當(dāng)時，從而，有函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)為偶函數(shù)，所以其在上單調(diào)遞減，由于時，所以等價于，由，故的解集為或. 故

10、選B.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 414. 15. 6416. 簡答與提示：13. 4【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃問題，是一道常規(guī)題. 從二元一次方程組到可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，全面地進(jìn)行考查. 【試題解析】令，根據(jù)可行域及的幾何意義，可確定最優(yōu)解為，從而的最大值為4. 14. 【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是一道中檔題. 【試題解析】由題意，從而曲線在點處的切線方程為.15. 64【命題意圖】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)和平面向量的基本運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題. 【試題解析】由題意，由，有，從橢圓的簡單幾何性質(zhì)可得，當(dāng)點為時最大，

11、故的最大值為64.16. 【命題意圖】本題涉及球內(nèi)接四棱錐體積運算，需要借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行運算求解，是一道較難題. 【試題解析】由球的幾何性質(zhì)可設(shè)四棱錐高為，從而，有，可知當(dāng)時，體積最大. 三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列、等差數(shù)列前項和，對考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) 證明：由知，由，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(6分)(2) 由(1)知，設(shè)的前項和為，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上得. (12分)18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，包

12、括莖葉圖、離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查學(xué)生對數(shù)據(jù)處理的能力.【試題解析】(1) 女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)cm（3分）(2) 男生中成績“合格”和“不合格”人數(shù)比為，用分層抽樣的方法抽取6個人，則抽取成績“合格”人數(shù)為4人；（6分）(3) 依題意，的取值為0，1，2，則，因此，的分布列如下：P（12分）19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) 過點作于點，過點作于點，連接. 由題意，平面平面，所以平面 且，因為，所以

13、平面，所以，由，所以平面，又，所以，即，則，由平面，平面，所以平面（6分）(2) 以為坐標(biāo)原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系. 由題意，平面的法向量為平面的法向量，即，在平面中，即則，所以二面角的余弦值為. (12分)20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線的方程，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識. 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力都有很高要求. 【試題解析】解：(1) 設(shè)，有，將代入，得，從而點的軌跡的方程為. （4分）(2) 設(shè)，聯(lián)立 ，得，則，因為，所以因為不同于點，所以，則故的取值范圍是. (12分)21

14、. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值等情況. 對考生的邏輯推理與運算求解能力有較高要求.【試題解析】解(1) 由題意得，若函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，則即存在取值區(qū)間，即存在取值區(qū)間，所以. (6分)(2) 當(dāng)時，由有，從而，要證原不等式成立，只要證對恒成立，首先令，由，可知，當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，所以，有構(gòu)造函數(shù)，因為，可見，在時，即在上是減函數(shù)， 在時，即在上是增函數(shù)，所以,在上，所以.所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時，綜上，由于取等條件不同，故，所以原不等式成立. (12分)22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小

15、題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到切割線定理以及三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力.【試題解析】解(1) 由可知，在中，則，因此；(5分)(2) 由可知，又由(1)可知，則，由題意，可得，則，又，即，又為圓的切線，則，因此，即. (10分)23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、利用直線的參數(shù)方程的幾何意義求解直線與曲線交點的距離等內(nèi)容. 本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運算求解能力有一定要求.【試題解析】解(1) 已知曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其左焦點為，則，將直線的參數(shù)方程與曲線的方程聯(lián)立，得，則. (5分)(2) 由曲線的方程為，可設(shè)曲線上的定點則以為頂