高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點與例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納 知識點：(一)數(shù)列的該概念和表示法、 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。 不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖

2、象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立的點（4） 數(shù)列分類： 按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列； 按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。（5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。（6）

3、數(shù)列通項與前項和的關(guān)系1 2題型一 應(yīng)用求數(shù)列通項【例1】已知數(shù)列的前項和，求其通項公式. 解析：當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故 題型二、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項【例2】根據(jù)數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式解析：因為，所以所以，以上個式相加得 即：【點撥】：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。課外練習(xí)1、設(shè)，()，則的大小關(guān)系是( C )ABCD不能確定解：因為所以，選2已知數(shù)列的前項和則3已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是解：構(gòu)造函數(shù)由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上遞減，且；函數(shù)在上遞增且（2） 數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)），等差中

4、項：成等差數(shù)列前項和性質(zhì)：是等差數(shù)列（1）若，則（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當(dāng)，解不等式組可得達到最大值時的值. 當(dāng)，由可得達到最小值時的值. (6)項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，.（7）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有，.1等差數(shù)列中，A14B15C16D17解：2等差數(shù)列中，則前 項的和最大。解：為遞減等差數(shù)列為最大。3已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為 解：成等差數(shù)列，

5、公差為D其首項為，前10項的和為4設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知求出公差的范圍，指出中哪一個值最大，并說明理由。解：5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項的和，則其公差等于( D )6.已知等差數(shù)列中，等于（ A ）A15 B30 C31 D647.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，=548.等差數(shù)列的前項和記為，已知 求通項；若=242，求解：由，=2429已知數(shù)列中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項公式設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。解：數(shù)列為等差數(shù)列。要使得對一切正整數(shù)恒成立，只要，所以存在實數(shù)使得對一切正整數(shù)都成立，的最小值為。2. 等

6、比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），.等比中項：成等比數(shù)列，或.前項和：（要注意?。┬再|(zhì)：是等比數(shù)列（1）若，則（2）仍為等比數(shù)列,公比為.注意：由求時應(yīng)注意什么？時，；時，.例：在等比數(shù)列中，求，若 在等比數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有等式 成立。 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因為由題設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對于等比數(shù)列，則有所以可以得出結(jié)論，若成立，在本題中3求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法例1：數(shù)列，求解： 時， 時， 得：，練習(xí)數(shù)列滿足，求解：注意到，代入得；又，是等比數(shù)列，時，

7、（2）疊乘法例2：數(shù)列中，求解: ，又，.（3）等差型遞推公式例3：由，求（用迭加法）解：時，兩邊相加得練習(xí)數(shù)列中，求（）（4）等比型遞推公式例4：（為常數(shù)，）解：可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)令，是首項為為公比的等比數(shù)列，（5）倒數(shù)法例5：，求解：由已知得：，為等差數(shù)列，公差為，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比或、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法)4. 求數(shù)列前n項和的常用方法(1) 裂項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項. 例6：是公差為的等差數(shù)列，求解：由練習(xí)求和：（2）錯位相減法若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項和，可由，

8、求，其中為的公比. 例7： 解： 時，時，（3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. 相加練習(xí)已知，則 解：由原式(附：a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和如果一個數(shù)列an，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項和對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意

9、事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列an·bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an ，從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等