1987年高考數(shù)學(xué)試題文理科

1、一九八七年(理科)一.(本題滿分 2 24 4 分)本題共有 8 8 個(gè)小題， 每小題都給出代號(hào)為 A,B,C,A,B,C,D D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)。選對(duì)的得 3 3 分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的(不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi))， 一律得。分。(1)設(shè)S,T是兩個(gè)非空集合，且ST,TS,X=ST,那么SX等于(D)22(2)設(shè)橢圓方程為、+與=l(ab0),令c=、：a2-b2,那么它的ab準(zhǔn)線方程為(C)2.22.2(A)y=-(B)y=(C)x=(D)x=cccc(3)設(shè)a,b是滿足ab|a-b|(B)|a+b|a-b|(C)

2、|a-b|a|-|b|(D)|a-b|0恒成立，求a的取值范圍aa14a解：由題意得：人2a2令z=1og2，貝U(3)式變?yōu)閦(log28z)(2z)0,a1化簡(jiǎn)為z(6z)0,解得zz0(4)式變?yōu)?0g28-zA0,即z3,綜合(4),(5)得z0,即10g2-2a-0,a1由此，-2a-1(6)解(1),(6)彳#a取值范圍：0a1.a1六 .(本題滿分12分，共2個(gè)小題)設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2滿足關(guān)系式2巨2+Az1+Az2=0， 其中A為不等于0的復(fù)數(shù)。證明：證：(1)；|z1+A|z2+A|=|z1+A|z2+A|=|(z1+A)|(z2+A)|=|z1z2Az1Az2AA|=|AA|

3、=|A|2|=|A|2(2)A:0,由此得z1 A:0,z2-A=0,z1A(乙A)(z2A)z1z2Az2Az1AA_|A|2z2A-aA)。A)-ZA|2-匕A|2_|乙+A|z2+A|_|乙+A|=zAZ+Af.2+A|z2二A.七 .(本題滿分12分，共3個(gè)小題)0,4(a1)八log2Q(2log2a2a、24(a1).)-4lOg210g22；04a2(1)(1)|z1+A|z2+A|=|A|2;(2)z1+Az1+Az2+Az2+A設(shè)數(shù)列為總2,，an,的前n項(xiàng)的和S與a、的關(guān)系是Sn=4an+1-二，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b#-1。(1b)(1)求a、和a、_1的關(guān)系式；(

4、2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式；(3)當(dāng)0bc1時(shí)，求極限limSn.n斛：(1)an=Sn-Snj=-b(an-an)-.in1n0：b：1時(shí),limb=0,lim=0二一二1b所以當(dāng)0b1時(shí),limSn=1.nj二=_b(an-an1)由此解得anb)+(1b)banJn(n-2)22)a1=S1=-ba11b(1b)n11,-a11b(n-2)anb1(1+b)n(1b)n1an.2bb2(1-b)n11b1|Mbb3ban4-nT(1b)nbb2+(1b)n1由此推得an將（2）代入（3）得anbb2b3(1b)n1n1(1b)n1n4一(3)bb2bn(1b)n1n1b-b=y2,

5、由（3）得y1-y2&由此解得y1,y2,由（1）解得x1,x2,所以-可取得最小值勺.相應(yīng)的V+y2=J2,，4M點(diǎn)縱坐標(biāo)y0=y1*y2=-22二M點(diǎn)坐標(biāo)為（5,、2）或（勺,-上）4242九.（附加題，本題滿分10分，共2個(gè)小題，每小題5分，不計(jì)入總分）（1）求極限lim-1-（2）設(shè)y=xln（1+x2）,求y （2）y=ln（1x2）S.1x一九八七年（文科）考生注意：這份試卷共八道大題，滿分120分一.（本題滿分 2424 分）本題共有 8 8 個(gè)小題，每小題都給出代號(hào)為 A,B,C,DA,B,C,D 的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓

6、括號(hào)內(nèi)。 選對(duì)的得3 3分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），律得。分。（1）設(shè)S,T是兩個(gè)非空集合，且ST,TS,X=ST,那么S=X等于22(2)設(shè)橢圓方程為:+冬=1仁/0),令c2=a2.b2,那么它的ab準(zhǔn)線方程為(C)2.22.2(A)y=-(B)y=(C)x=-(D)x=-cccc(3)設(shè)log3410g4810g8m=log416,那么m等于(B)(A)9(B)9(C)18(D)272(4)復(fù)數(shù)$訪40口一8$40口的輻角為(D)(A)400(B)1400(C)2200(D)3100(5)二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)為(C)3c(A

7、)y=x4(B)y=4-x(C)y=-(4-x)4(6)在區(qū)間(g,0)上為增函數(shù)的是(B)(A)y-log(-x)2(C)y-(x1)2(7)已知平面上一點(diǎn)為（0,n）（m0）,而在平移后所得到的新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（m,0）,那么新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（A）(A)(-m,m)(B)(m,-m)(C)(m,n)(D)(-m,-m), ,-JT-JT. .(8)要得到函數(shù)y=sin(2x-g)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象(圖略)(D)(D)(A)X(B)T(C)*(D)S（B）一1-x（D）y=1x2P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(D)y=3(2-x2)4(C)向左平行移動(dòng)-(D)

8、向右平行移動(dòng)-66二.(本題滿分28分)本題共7小題，每一個(gè)小題滿分4分。只要求寫出結(jié)果(1)求函數(shù)y=sin22x的周期。答-222(2)已知方程一L=i表示雙曲線，求入的范圍。21答入-1或入-2.(注：寫出一半給2分。)(3)若(1+x)n的展開式中，x3的系數(shù)等于x的系數(shù)的7倍，求n.答8(注：若給出8同時(shí)給出-5得2分)(4)求極限lim1+4+與+十穹nnnnn答2(5)由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1與2不相鄰的五位數(shù)。求這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)。答72(6)求函數(shù)y=log2(1+2x3x2)的定義域答-1xAABC=PA，2VB-PAC=(Lh)32同理，VC-PA=

9、Lh,ED=1Lh21 BD=1Lh-BD6CD6三棱錐P-ABC的體積1.,3,、，1.,3=Isint(一一sintcost)(一sintcost)2222=I0=0四.(本題滿分12分)在復(fù)平面內(nèi)，已知等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別為2,1+兌i,求第三個(gè)頂點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)。22解：設(shè)第三個(gè)頂點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)為z那么根據(jù)題意，z-2和z-(1+型i)的模相等，輻角差為三(或-三)，因而22331.3二二1,3132z-2;z-(-i)(cosisin)=(一i)z-(-i)223322221.311.3.321-(-i)z=2-2i(i)2224222V=1LhBD+1LhCD=1Lh

10、(BD+CD=1LhBC=1L2h.若E,D不是分別在線段AP,BC上，結(jié)論仍成立（此話不說，也不扣分）六 .（本題滿分12分）設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)x,不等式a一，、，八2.2a,2.4(a+1).(a+1).(21og2)-41og21og2-0一.一(3)a1a4a令z=1og2-2a-，貝U(3)式變?yōu)閦2(log28z)(2z)0,a1化簡(jiǎn)為z(6-z)0,解得zAz0,即z3,綜合(4),(5)得z0,即10g2二a-父0,a1解（1）,（6）得a取值范圍：0a0恒成立，求a的取值范圍。(1)214(a1)c12a,(a1)xlog22xlog2log22-aa14a解：由題意得：an0,a

11、+1,4(a+1)八10g20由此,包1,上式當(dāng)n1時(shí)對(duì)k=0也成立。(2)若limSn=1,即lim(kan+1)=1,n一j二二limkan-j二二_kn=lim(Sn-1)=0,即limk=0,一：n一產(chǎn)(k-1)n.lim(f：k-1)n=0,二白1,解得k1:二ABCD勺面積。解得C（ xc),D(xC=(1-v1-4b)-b,2YC=-(1-1-4b);L2|CD|=,(xc-XD)2(ycXDYD)兩點(diǎn)坐標(biāo)為1(1-1-4b)-b,21yD(1.1-4b).2yD)2-2-8b|AD|JxD-yD4L|4-b|.、.2、2|4-b|-|CD|AD|,2-8b(3).2二(4-b)2=(V272-8b)2,即b2+8b+12=0,解二：二C,D兩點(diǎn)在拋物線上，可設(shè)C(s2,s),D(t,t),又A,B在直線y=x+4上，AB與y軸成450角,四邊形ABC的正方形，對(duì)角線AC與邊AB也成450角，.AC/y軸，同理BD