2018-2019版數(shù)學(xué)新導(dǎo)學(xué)筆記人教A全國通用版選修3講義：隨機變量及其分布2版含答案

1、2.3.2離散型隨機變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差.問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新知務(wù)實基礎(chǔ)知識點一方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y,X和Y的分布列如下：X012P610110310Y012P510310210思考1試求E(X),E(Y).答案E(X)=0X一+1X+2X一=一,10101010E(Y)=0X10101010思考2能否由E(X)與E(Y)的值

2、比較兩名工人技術(shù)水平的高低?答案不能，因為E(X)=E(Y).思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩名工人技術(shù)水平的高低？答案方差.梳理(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機變量X的分布列為XX1X2XiXnPP1P2PiPn方差：D(X)=%E(X)2pi；i=1標(biāo)準(zhǔn)差：yIDX.(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越/匕2(3)萬差的性質(zhì)：D(aX+b)=aD(X).知識點二兩點分布與二項分布的方差XX服從兩點分布XB(n,p)D(X)p(1p)(其中p為成功概率)np(1p)思考辨析判斷正誤II

3、1 .離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定.(X)2 .若a是常數(shù)，則D(a)=0.(v/)3 .離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度.(，)題型探究啟迪思維探究重點類型一求隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例1已知X的分布列如下：X10111Pa24求X2的分布列；(2)計算X的方差；(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.考點離散型隨機變量方差的性質(zhì)題點方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由分布列的性質(zhì)，知一+-+2=1,故a=_,244從而X2的分布列為1(2)方法一由(1)知2=一,4所以X的均值E(X)=(-1)X-+0X-+1x-=-2444,故X的方差D(X)=1+-2X-+4721

4、10十一J、4)41116方法二由(1)知a=1，所以X的均值E(X)=(-1)x-+0X-+1x-=-42444X2的均值E(X2)=0X_+1X所以X的方差D(X)=E(X2)-E(X)2=一44416(3)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.反思與感悟方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯！在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)=E(X2)E(X)2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX+b)=a2D(X).跟蹤訓(xùn)練1已知刀的分布列為01020506012121P35151515(1)求方差

5、及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)丫=2刀一E(明求D(Y).考點離散型隨機變量方差的性質(zhì)題點方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)E()=0X-+10X-+20X+50X+60X=16,35151515D(r)=(0-16)2X-+(10-16)2x2+(20-16)2X+(50-16)2X+(60-16)2=384,35151515VDK尸86(2)Y=2E(%D(Y)=D(2r-E(r)=22D(=4X384=1536.類型二兩點分布與二項分布的方差例2為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，各株6沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p,設(shè)效成活沙柳的株數(shù)，均值E(9為3,

6、標(biāo)準(zhǔn)差qD(Ejt求n和p的值，并寫出第勺分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率.考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差解由題意知，>B(n,p),P(ek)=Cnp%p)nk,k=0,1,，n.3由E(9=np=3,D(a=np(1p)=2,得1p=-,從而n=6,p=.22E的分布列為0123456P13155153164326416643264(2)記“需要補種沙柳”為事件A,則P(A)=P(m3),1315521'彳531"21得P(A)=+,或P(A)=1P(03)=1十一+一=一，所以需要補種沙柳的概64326416

7、32©43264,3221率為一.32反思與感悟解決此類問題第一步是判斷隨機變量E服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解.若E服從兩點分布，則D(?=p(1p);若E服從二項分布，即個B(n,p),則D0)=np(1-p).跟蹤訓(xùn)練2某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差.考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差解(1)用E表示抽得的正品數(shù)，則-0,1.E服從兩點分布，且P(E=0)=0.02,P(E=1)=0.98,所以D(9=p(1p)=0.98X(10.98)=

8、0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則XB(10,0.98),所以D(X)=10X0.98X0.02=0.196,標(biāo)準(zhǔn)差為D(X0.44.類型三方差的實際應(yīng)用例3為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量E,Y,甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.求E,用勺分布列；(2)求E,用勺均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點均值與方差在實際中的應(yīng)用解依

9、據(jù)題意知，0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,，乙射中7環(huán)的概率為1(0.3+0.3+0.2)=0.2.kY的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中匕Y的分布列，可得E(10X0.5+9X0.3+8X0.1+7X0.1=9.2,E(力=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X0.2=8.7,D(109.2)2X0.5+(9-9.2)2X0.3+(89.2)2X0.1+(7-9.2)2x0.1=0.96,D(力=(108.7)2X0.3+(9-8.7)2X0.3+(

10、88.7)2X0.2+(7-8.7)2X0.2=1.21.E(3>E(*說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高.又D(3<D(r),說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定.甲的射擊技術(shù)好.反思與感悟(1)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結(jié)論.(2)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)模€需比較它們的取值偏離于均值的平均程度，即通過比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛?跟蹤訓(xùn)3甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為0123P0.30

11、.30.20.2012P0.10.50.4試評定兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點均值與方差在實際中的應(yīng)用解甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)E的均值和方差分別為E(。=0><0.3+1X0.3+2X0.2+3X0.2=1.3;D(。=(01.3)2X0.3+(11.3)5*-=一，故不正確，顯然正確.X0.3+(21.3)2X0.2+(31.3)2X0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的均值和方差分別為E(力=0X0.1+1X0.5+2。0。=1.3;D(力=(01.3)2X0.1+(1-1.3)2X0.5+(2-1.3)2X0.4=0.41.因為E($=E(,D(3>D

12、(,所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.達(dá)標(biāo)檢測拾測評除達(dá)標(biāo)過關(guān)1 .已知隨機變量X的分布列為X101P121316則下列式子：E(X)=1；D(X)=23；P(X=0)=.其中正確的個數(shù)是()3273A.0B.1C.2D.3考點離散型隨機變量方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念與計算題點離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算解析由分布列可知,E(X)=(-1)X1+0X1+1X1=2361一，故正確;3D(X)=1+2+.3；20+-2x-、3；31'+1+一；<3；10株的分篥數(shù)據(jù)，計算出樣本均值E（X

13、甲）=E（X乙）,方差分別為D（2.有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各X甲）=11,D（X乙）=3.4.由此可以估計（）A.甲種水稻比乙種水稻分篥整齊B.乙種水稻比甲種水稻分篥整齊C.甲、乙兩種水稻分篥整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分篥整齊程度不能比較考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點均值與方差在實際中的應(yīng)用3.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為巴貝UD（。等于（）A.B.C.5D,5842考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差答案A111解析拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣都出現(xiàn)反面的概率為P=-x-=-224則易知滿足1n=10,p=一,4111、15則D(9=np(1p

14、)=10X-X1|=4<4；8，b=4 .已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若E（X）=0,D（X）=1,則2=X1012Pabc112考點離散型隨機變量方差的性質(zhì)題點方差性質(zhì)的應(yīng)用答案511245a=一,121解得bb=-,4則P(E=0)=A33,11a+b+c=-,12I解析由題意知-a+c+-=0,6Ia+c+-=1,35 .編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是E,求E(9和D(l考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差解E的所有可能取值為0,1,3,E=。表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況

15、，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，E=1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了,C31則P(E=1)=一;A32E=3表示三位同學(xué)全坐對了，即對號入座,則P(E=3)=A3所以E的分布列為E($=0X1+1x1+3x-=1.326013P131216111D(=-x(0-1)2+-x(11)2+-x(3-1)2=1.規(guī)律與方法1 .隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的平土程度.方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差西X慳小，則隨機變量取值偏離均值的平均程度越小;方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差西X*大，表明偏離的平均程度越大，說

16、明X的取值越分散.2 .求離散型隨機變量X的均值、方差的步驟理解X的意義，寫出X的所有可能的取值.(2)求X取每一個值的概率.(3)寫出隨機變量X的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(X),D(X).特別地，若隨機變量服從兩點分布或二項分布，可根據(jù)公式直接計算E(X)和D(X).注重雙基強化落實則第勺方差D(。等于()課笆對點練、選擇題一1,A發(fā)生，1 .設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和A,且P(A)=m,令隨機變量|0,A不發(fā)生,A.mB.2m(1m)C.m(m1)D.m(1m)考點三種常用分布的方差題點兩點分布的方差答案D解析隨機變量E的分布列為01P1mm所以E(3=0X(1m)+1Xm=m

17、.所以D(9=(0m)2x(1m)+(1m)2xm=m(1m).2.牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02,設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為E,則D(3等于()A.0.2B.0.8C.0.196D.0.804考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差答案Cr、r、213.設(shè)隨機變量E的分布列為P(ek)=cn.-k-.ni,k=0,1,2,，n,且E(3=24,則D($的值為()3J3J2A.-B.8C.12D.169考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差答案B'2'解析由題意可知hBn,_,<3)2所以gn=E(3=24.所以n=36.所以

18、D(9=nx馬x1-x36=8.3、3,94,若數(shù)據(jù)X1,X2,，Xn的平均數(shù)為6,標(biāo)準(zhǔn)差為2,則數(shù)據(jù)2X16,2X26,，2Xn6的平均數(shù)與方差分別為()A.6,8B.12,8C.6,16D,12,16考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差答案C5 .由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽中得分情況為X1(甲得分)012P(X1=X)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=Xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽，派哪位運動員參加較好？()A.甲B.乙C.甲、乙均可D.無法確定考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點均值與方差在實際中的應(yīng)用答案A解析E(X1)=E(X2)=1.1,D

19、(X1)=1.12X0.2+0.12X0.5+0.92X0.3=0.49,D(Xz)=1.12X0.3+0.12X0.3+0.92X0.4=0.69,.D(X1)<D(X*即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好.6 .已知隨機變量的分布列如下:若E(3=2,則D(3的最小值等于()1A.-B.2C.1D.02考點離散型隨機變量方差的性質(zhì)題點方差性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由題意得a=1=一，所以E(=_m+_n=2,即m+2n=6.又D(9=一x(m2)2+-x(n2)2=2(n3333332)2,所以當(dāng)n=2時，D(3取最小值為0.17 .某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是且在

20、各路口是否遇到紅燈是相互3獨立的，記X為遇到紅燈的次數(shù)，若Y=3X+5,則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.4b.3CZ/3D.2考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差3次獨立重復(fù)試驗，即X答案A1fi、則X的方差D(X)=3XX1-3<3J解析因為該同學(xué)經(jīng)過每個路口時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成一，所以Y的方差D(Y)=32D(X)=9X_=6,所以Y的標(biāo)準(zhǔn)33差為、循尸6.8 .已知隨機變量X+Y=8,若XB(10,0.6),則E(Y),D(Y)分另J是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差答案B解析因為X+Y=8,所以Y=8X

21、.因此，求得E(Y)=8E(X)=810X0.6=2,D(Y)=(1)2D(X)=10X0.6X0.4=2.4.二、填空題9.隨機變量第勺分布列如下:101Pabc1其中a,b,c成等差數(shù)列，若EG)=-,3則D(?=考點離散型隨機變量方差的性質(zhì)題點方差性質(zhì)的應(yīng)用5答案一922b=a+c,a+b+c=1,解析由題意得1ca=一,31解得a=一61b=一,c=3一，故D(9=.10.設(shè)隨機變量>B(2,p),刀B(4,p),若P(E>1)=，則D(=9考點三種常用分布的方差題點二項分布的方差8答案一9解析由隨機變量EB(2,p),且P(筍1)=9,得P(筍1)=1P(E=0)=1C0

22、X(1p)2=9,易得p=3.3/9由刀B(4,p),得隨機變量刀的方差D(力=4XX1-11.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,若從中隨機抽出3張，設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X,則D(X)=.考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差答案3.36解析由題意得，隨機變量X的可能取值為6,9,12.C87P(X=6)=C3015C8XC2P(X=9)=C30715C8XC2P(X=12)=C30115則E(X)=6X+9X+12X=7.8,151515771D(X)=-X(6-7.8)2+-X(9-7.8)2+X(12-7.8)2=3.36.三、解答題12.為了豐富學(xué)生的課

23、余生活，促進(jìn)校園文化建設(shè)，某校高二年級通過預(yù)賽選出了經(jīng)典美文誦讀比賽決賽.決賽通過隨機抽簽方式?jīng)Q定出場順序.求：(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為X,求X的均值和方差.考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差解(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件A,A2>A41貝UP(A)=一A6151所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為一.15(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4.6個班(含甲、乙)進(jìn)行p(X=0)=A2AA5-=；,432XA4P(X=1)=A6415A4XA2XA3P(X=2)=A6A4XA2XA2P(X=3

24、)=A6215X01234P1341515215115A4XA2P(X=4)=A6115隨機變量X的分布列為因止匕，E(X)=0X+1X+2X+3X+4X=31515515313.有甲、1D(X)=3X其中，區(qū)，*分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120,試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好).考點均值、方差的綜合應(yīng)用題點求隨機變量的均值與方差解E(A)=110X0.1+120X0.2+125X0.4+130X0.1+135X0.2=125,E(旬=100X0.1+115X0.2+125X0.4+130X0.1+145X0.2=125,D(國)=0.

25、1X(110125)2+0.2X(120125)2+0.4X(125-125)2+0.1X(130-125)2+0.2X(135-125)2=50,D(勃=0.1X(100125)2+0.2X(115125)2+0.4X(125125)2+0.1X(130125)2+0.2X(145125)2=165,由此可見，E(A)=E(,D(氧)<D(，故兩種材料的抗拉強度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好.四、探究與拓展14.根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表所示.降水量XX<300300<X<700700WX<900X>900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,則工