分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析

1、分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析1、分式的定義：例：下列式子中，15、8a2b、- 9a 、 5ab 、 3a 2b 2、2-2 、 1、 5xy1、1、x y23 2x y4a m6x 2x 21 、 3xy 、3、 a1 中分式的個(gè)數(shù)為（）2xym（A） 2（B） 3（C） 4(D)5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有. 2x 7 ； x1 ； 5a2； x2x 2 ； 2b2 ；xyy2.x 52 3ab2 x2 下列式子，哪些是分式？a ；3； y3；7 x ； xxy ； 1 b .5x24y8x 2 y4 52、分式有、無(wú)意義 ：（1）使分式有意義：令分母0 按解方程的方法去求解；（2

2、）使分式無(wú)意義：令分母=0 按解方程的方法去求解；例 1：當(dāng) x時(shí)，分式1有意義；x 5例 2：分式 2x 1 中，當(dāng) x _ 時(shí)，分式?jīng)]有意義；2 x1例 3：當(dāng) x時(shí)，分式有意義；2x1例 4：當(dāng) x時(shí)，分式x有意義；x 21例 5： x ， y 滿足關(guān)系時(shí)，分式 xy 無(wú)意義；xy例 6：無(wú)論 x 取什么數(shù)時(shí)，總是有意義的分式是（）A2x1B.xC.3x1D.x 5x2x2x1x3x 2例 7：使分式有意義的 x 的取值范圍為（）x 2A x 2 B x2 C x 2 D x 2例 8：要是分式x 2沒(méi)有意義，則 x 的值為（）1)( x(x3)A. 2B.-1或 -3C. -1D.33

3、、分式的值為零：使分式值為零： 令分子 =0 且分母 0，注意：當(dāng)分子等于 0 使，看看是否使分母 =0 了，如果使分母 =0 了，那么要舍去。例 1：當(dāng) x時(shí)，分式 1 2a 的值為 0； a 12x1例 2：當(dāng) x時(shí)，分式的值為 0例 3：如果分式a2的值為為零 , 則 a 的值為 ( )a2A.2B.2C.2D. 以上全不對(duì)例 4：能使分式 x2x 的值為零的所有 x 的值是 （）x21Ax 0Bx 1C x 0或 x1 D x 0 或 x1例 5：要使分式x 29的值為 0，則 x 的值為（）x25x 6A.3 或-3B.3C.-3D 2例 6：若 a10 , 則 a 是()aA. 正

4、數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.任意有理數(shù)4、分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變。例 1： xyaby；6x( yz)y z；如果 5(3a1)5 成立 , 則 a 的取值范圍是a3( yz) 27(3a1)7_；例 2： ab2(1)b c(bca3 b3a)例 3：如果把分式 a2b 中的 a 和 b 都擴(kuò)大 10 倍，那么分式的值（）abA、擴(kuò)大 10 倍B、縮小 10 倍C、是原來(lái)的20 倍D、不變例 4：如果把分式10 x 中的 x，y 都擴(kuò)大 10 倍，則分式的值（）xyA 擴(kuò)大 100 倍B擴(kuò)大 10 倍C不變 D 縮小到原來(lái)的

5、 110例 5：若把分式 x3y的 x、y 同時(shí)縮小 12 倍，則分式的值（）2xA擴(kuò)大 12 倍B縮小 12 倍 C不變D縮小 6 倍例 6：若 x、 y 的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2 倍，則下列分式的值保持不變的是（）A、 3xB 、 3xC、 3x 2D、 3x32 y2 y 22y2 y 2例 7：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式aa 可變形為（）bAaBaCaDaa bbaba ba例8：不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù)，0.2x0.012；x0.051x例9：不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，1 xx2=。5、分式的約分及最簡(jiǎn)分式：約分的概念：把一個(gè)分式的分子與

6、分母的公因式約去，叫做分式的約分分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式約分的結(jié)果：最簡(jiǎn)分式（分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項(xiàng)式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項(xiàng)式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。例1：下列式子（xyx1；（ 2）baabba；（4）1） x2y2ycaac ；（ 3） ab1xyxy 中正確的是（）xyxyA、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)例 2：下列約分正確的是（）A、 x 6x3 ； B、 x y0； C、

7、x y1 ； D、 2 xy 21x 2x yx2xyx4x 2 y 2例 3：下列式子正確的是 ()A2 x y0B.a y1 C.y z y z D. c d c d c d c d02 x ya yx xxaaa例 4：下列運(yùn)算正確的是（）A、 aaB、2 41C 、 a2aD 、 11 1a ba bx x 2b2b2m m m例 5：下列式子正確的是（）A b b2B a b0C a b1 D 0.1a 0.3ba 3ba a 2a ba b0.2a b2a b例 6：化簡(jiǎn) m23m2的結(jié)果是（）9mA、mB 、m3C 、 m3D 、 mm 3mm3m例 7：約分：4x 2 y； 3

8、x=；6xy2x2911 x1 y3x5 y3xy2；53。xy0.6xy例 8：約分：a2a244； a(ab)；xy4ab(ab)(xy)2ax ay；x216； x29x2y2x28x162x614a2bc3_9m2x 2921a3bcm_x 2_。36 x 9例 9：分式a2，ab，4a， x1中，最簡(jiǎn)分式有 ()a23a 2b 212(ab)2A1個(gè)B 2 個(gè)C3個(gè)D 4 個(gè)6、分式的通分及最簡(jiǎn)公分母：通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項(xiàng)式；第二類：分母是多項(xiàng)式（要先把分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸?、三”型：指幾個(gè)分母之間沒(méi)有關(guān)

9、系，最簡(jiǎn)公分母就是它們的乘積。例如：2x最簡(jiǎn)公分母就是 x 2 x 2。x 2x 2“二、四”型：指其一個(gè)分母完全包括另一個(gè)分母，最簡(jiǎn)公分母就是其一的那個(gè)分母。例如：2x最簡(jiǎn)公分母就是 x 24 x 2 x 2x2x 24“四、六”型：指幾個(gè)分母之間有相同的因式，同時(shí)也有獨(dú)特的因式，最簡(jiǎn)公分母要有獨(dú)特的；相同的都要有。例如：x2最簡(jiǎn)公分母是： 2 x x 22 x 2x x 2這些類型自己要在做題過(guò)程中仔細(xì)地去了解和應(yīng)用，仔細(xì)的去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。11n2 ,2例 1：分式 mn,m2m n的最簡(jiǎn)公分母是（）A (m n)(m2n2 )B (m2n2 ) 2C (m n) 2 (m n)

10、D m 2n 2例 2：對(duì)分式 y， x2，1 通分時(shí)， 最簡(jiǎn)公分母是（）2x3y4xyA x2 yB 例 3：下面各分式： x21 , xy,x 1 ,x2y2 ，其中最簡(jiǎn)分式有（）個(gè)。x2x x2y2x 1x2y2A. 4B. 3C. 2D. 1例 4：分式1，a的最簡(jiǎn)公分母是.44a 22a例 5：分式 a 與 1 的最簡(jiǎn)公分母為 _； b例 6：分式212,21的最簡(jiǎn)公分母為。yxyxx8、分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式， 如果是

11、單項(xiàng)式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)行通分； 如果是多項(xiàng)式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例1：22n =mm例 2： 2a 23a 24 =a 21a21例 3：yx=xyyx例 4：x2yy2x2 =x2y2y2x2x2y計(jì)算（ 1）ab（2）a 2b 2abba(a b)2(b a) 2例5：化簡(jiǎn) 1+1+1 等于（）x2x3x13115A 2xB 2xC 6xD 6x例 6： bca例 ： 2a1abc7a24 a2例 8： x3x61例 9： x2x 1xx 23xxx1練習(xí)題：（1）b

12、ab（2）14x 1（ 3）b2a b b 2a22 x x 24 2 xa ba - b例 10：已知： x 24x3 0求xx12 x的值。2x 24x 4分式的乘法：乘法法測(cè)：a · c = ac .bdbd分式的除法：除法法則：a ÷ c = a · d = adbdbcbc例題：計(jì)算：（1） 26 x225x4（ 2） 16x3 y 456 x 415x639y 7125a10100a13計(jì)算：（10） 2x2 5y10y3y 26x21x2求值題：（1）已知： x3 ，求x2y 2y2xyy 2的值。y4x22xyx2xy求值題：（1）已知：xyz求x

13、yyzxz的值。234x2y2z2（2）已知： x210x25y30 求 x 2x的值。2xy2y9、分式的求值問(wèn)題：一、所求問(wèn)題向已知條件轉(zhuǎn)化例1已知 x+ 1=3，則x2的值。4x2xx1例 2：若 ab=1，則11的值為。a 1b1例 ：已知 x ，y 1，求2424÷11的值.322(x y)2( x y)2x y x y二、由已知條件向所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化例 4：已知 a13，那么 a21_ ；aa2例 5：已知 113，則 5xxy5 y 的值為（）xyxxyyA7B7C2D22277例 6：如果 a =2，則 a 2ab b 2=ba2b2例 7：已知 y=3xy+x，求代數(shù)式

14、 2 x3xy2 y 的值x2xyy例 8：已知a與b的和等于4x，則 a=, b =。x2x2x 24例 9：若 xyxy0 ，則分式 11（）yxA、 1B、 y x C 、1 D 、 1xy練習(xí)1：已知 x 為整數(shù)，且2+2+ 2x18 為整數(shù)，求所有符合條件的x 值的和 .x33xx292：已知實(shí)數(shù) x 滿足 4x2-4x+l=O ，則代數(shù)式 2x+ 1的值為 _10、分式其他類型試題：2x例 1：觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：2，3，4， 5，6，7，根據(jù)其規(guī)律3815243548可知第個(gè)數(shù)應(yīng)是（ n 為正整數(shù)）例2： 觀察下面一列分式：1,2,48168 項(xiàng)x23,4 ,5 ,., 根據(jù)

15、你的發(fā)現(xiàn)，它的第xxxx是，第 n 項(xiàng)是。例 3：按圖示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的 n 值為 4，則最后輸出的結(jié)果m是A10B20C55D50Yes輸入 nn（ n+1 ）>50計(jì)算與n 10輸出結(jié)果例 4：當(dāng) x=_時(shí), 分式1互為相反數(shù) .5x2 3xNo（ ）m例 5：在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算，其規(guī)則為a b 11 ，根據(jù)這個(gè)規(guī)則abx ( x1)3 的解為（）2222 或A x x 1或 113BC x3D x3例 6：已知x(x44)ABxC，則A_, B_, C_ ；2xx24例 7：先填空后計(jì)算： 11=。11=。11nn 1n 1 n 2n 2 n 3=。（3 分）（本小題

16、 4 分）計(jì)算：11111)( n 1)(n2)( n2)(n3)( n 2007)( n2008)n(n解：11111)( n1)(n2)(n2)( n3)( n2007)( n2008)n(n=11、分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。（2）解分式方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式（最簡(jiǎn)公分母） ，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為 0，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。（3）解分式方程的步驟：（1）能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)；(2)方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程；(3) 解整式方程；(4)驗(yàn)

17、根例 1：如果分式 x1 的值為 1，則 x 的值是；2x1例 2：要使5 與4的值相等，則 x=_。x1x2例 3：當(dāng) m=_時(shí)，方程 2mx 1 =2 的根為 1 .mx2例 4：如果方程23的解是 x 5，則 a。1)a( x例 5：(1) 231(2)2x11xxx33x例 6: 解方程： x216x2x2x 24x2例 7：已知：關(guān)于 x 的方程1a3x4 無(wú)解，求 a 的值。x3x例 8：已知關(guān)于 x 的方程 xa1的根是正數(shù)，求 a 的取值范圍。x2例 9：若分式1與 x2 的 2 倍互為相反數(shù)，則所列方程為x2x3；例 10：當(dāng) m為何值時(shí)間？關(guān)于 x 的方程x 2mxx1 的

18、解為負(fù)數(shù)？x 2x 1x2例 11：解關(guān)于 x 的方程 bax2xb (a0)a例 12：解關(guān)于 x 的方程 : x1x1a22a(a 0)ababb2例 13：當(dāng) a 為何值時(shí) ,x1x22 xa的解是負(fù)數(shù) ?x2x1( x2)( x 1)例 14 關(guān)于 x 的方程 x1xx1( xm1)的解為負(fù)值，求 m的取值范圍。x22)( x12、分式方程的增根問(wèn)題：（1）增根應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為 0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。（2）分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。

19、例 1：分式方程x+1=m有增根，則 m=x 3x3k4x 不會(huì)產(chǎn)生增根；。例 2：當(dāng) k 的值等于時(shí)，關(guān)于 x 的方程2x3x3例 3：若方程3a4有增根，則增根可能為（）x2x x( x2)A、 0B、2C、0或2D、 113、分式的應(yīng)用題：（1）列方程應(yīng)用題的步驟是什么？(1) 審； (2) 設(shè)； (3) 列； (4) 解； (5) 答（2）應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有四種：a. 行程問(wèn)題：基本公式：路程=速度×時(shí)間而行程問(wèn)題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題b. 數(shù)字問(wèn)題：在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法c. 工程問(wèn)題：基本公式：工作量 =工時(shí)×工效d. 順?biāo)?/p>

20、逆水問(wèn)題 :v順?biāo)?=v 靜水 +v 水v逆水 =v 靜水 -v水工程問(wèn)題 ：例 1：一項(xiàng)工程，甲需 x 小時(shí)完成，乙需 y 小時(shí)完成，則兩人一起完成這項(xiàng)工程需要 _小時(shí)。例 2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字， 小明每分鐘比小張少打 6 個(gè)字，小明打 120 個(gè)字所用的時(shí)間和小張打180 個(gè)字所用的時(shí)間相等。設(shè)小明打字速度為x 個(gè)/ 分鐘，則列方程正確的是（）A 120180B120180C120180D120180x 6xx 6xxx 6xx 6例 3：某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成 , 如果甲工程隊(duì)獨(dú)做 , 恰好如期完成 ; 如果乙工作隊(duì)獨(dú)做 , 則超過(guò)規(guī)定日期 3 天, 現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作 2

21、 天, 剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做 , 恰好在規(guī)定日期完成 , 求規(guī)定日期 . 如果設(shè)規(guī)定日期為 x 天, 下面所列方程中正確的是 ( )A. 2x1; B.23 ;C.112x21; D.1x1xx 3x x 3xx 3x3xx 3例 4：趙強(qiáng)同學(xué)借了一本書(shū)，共 280 頁(yè)，要在兩周借期內(nèi)讀完，當(dāng)他讀了一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)平時(shí)每天要多讀 21 頁(yè)才能在借期內(nèi)讀完 . 他讀了前一半時(shí) , 平均每天讀多少頁(yè) ?如果設(shè)讀前一半時(shí) , 平均每天讀 x 頁(yè), 則下列方程中 , 正確的是（）A、14014014B 、28028014xx 21xx 21C、10101D 、14014014xx 21xx 21例 5：某工程

22、由甲、乙兩隊(duì)合做6 天完成，乙、丙兩隊(duì)合做10 天完成，甲、丙兩隊(duì)合做 5 天完成全部工程的 2 。求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？3價(jià)格價(jià)錢問(wèn)題：例 1：“五一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價(jià)為 180 元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)， 結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了3 元錢車費(fèi)，設(shè)參加游覽的同學(xué)共 x 人，則所列方程為（）A 1801803 B 1801803C 1801803xx 2x 2xxx 2D 1801803x 2x例 2：為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額為 4800 元，第二次捐款總額為 5

23、000 元，第二次捐款人數(shù)比第一次捐款人數(shù)多 20 人，而且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人進(jìn)行捐款？順?biāo)嫠畣?wèn)題 ：例 1：A、B 兩地相距 48 千米，一艘輪船從 A 地順流航行至 B 地，又立即從 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小時(shí)，已知水流速度為 4 千米 / 時(shí)，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x 千米 / 時(shí)，則可列方程（）A、 48489B、48489C 、484 9x4x 44x4 xxD、 96969x4x 4例 2：一只船順流航行 90km與逆流航行 60km所用的時(shí)間相等，若水流速度是2km/h，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中速度為xkm/h，則可列方程（）9060B9060C 、90606090A、 x 2 = x 2、 x 2 = x2x+3= xD 、 x+3= x例 3：輪船順流航行 66 千米所需時(shí)間和逆流航行 48 千米所需時(shí)間相同， 已知水流速度是每小時(shí) 3 千米，求輪船在靜水中的速度。行程問(wèn)題：例 1：八年級(jí) A、B 兩