2013年中考數(shù)學(xué)解題方法與提分突破訓(xùn)練_構(gòu)造法專(zhuān)題

1、解題方法及提分突破訓(xùn)練：構(gòu)造法專(zhuān)題在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它 可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條 件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造 法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)題的解決。一真題1.（ 2012 ）若 m,n 為實(shí)數(shù)，且|2m n 1. m 2n 80,則（m n）2012的值為2（2012）|如果卑項(xiàng)式產(chǎn)導(dǎo)與溝/是同類(lèi)臥 那么雖_ 3.（2012?如果Jx 1 y 20,那么 xy=_4.（ 2012?）如圖，已知

2、AB=DC，DB=AC（1 ）求證：/ ABD= / DCA 注：證明過(guò)程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù).（2 ）在（1）的證明過(guò)程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？5.（2012?國(guó)務(wù)院總理溫家寶 2011 年 11 月 16 日主持召開(kāi)國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議，會(huì)議決定建立三江源國(guó)家生態(tài)保護(hù)綜合實(shí)驗(yàn)區(qū).現(xiàn)要把 228 噸物資從某地運(yùn)往甲、乙兩地，用大、 小兩種 貨車(chē)共 18輛，恰好能一次性運(yùn)完這批物資已知這兩種貨車(chē)的載重量分別為16 噸/輛和 10噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)如表：運(yùn)往地運(yùn)往地 車(chē)型車(chē)型甲地（元甲地（元/ /輛輛乙地（乙地（犬貨車(chē)犬貨車(chē)720SOO小貨車(chē)小貨車(chē)500650（1）求這兩種

3、貨車(chē)各用多少輛？（2） 如果安排 9 輛貨車(chē)前往甲地，其余貨車(chē)前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車(chē)為a 輛，前往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為 w 元，求出 w 與 a 的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量的取值圍）；（3） 在（2）的條件下，若運(yùn)往甲地的物資不少于120 噸，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車(chē) 調(diào)配方案，并求出最少總運(yùn)費(fèi).所謂構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，并借助該對(duì)象來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造什么和怎么構(gòu)造。充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的在聯(lián)系，把問(wèn)題與某個(gè)熟知的概念、公式、定理、圖形聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行構(gòu)造

4、，往往能促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，使 問(wèn)題中原來(lái)蘊(yùn)涵不清的關(guān)系和性質(zhì)清晰地展現(xiàn)出來(lái)，從而恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而謀求解決題目的途徑。下面介紹幾種數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法：一某些題目根據(jù)條件、仔細(xì)觀察其特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)“方程”求解，從而獲得問(wèn)題解決。例 1：如果關(guān)于 x 的方程 ax+b=2（ 2x+7）+1 有無(wú)數(shù)多個(gè)解，那么a、b 的值分別是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-bT此方程有無(wú)數(shù)多解，a-4=0 且 15-b=0分別解得 a=4, b=15二.構(gòu)建幾何圖形對(duì)于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問(wèn)題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，可以通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來(lái)，從而構(gòu)造出幾何圖形，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

5、幾何問(wèn)題來(lái)解決增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性，使問(wèn)題的解答事半功倍。例 2：已知，貝 U x 的取值圍是（）A 1ww5 B5分析：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知：表示數(shù)軸上到1 與 5 的距離之和等于 4 的所有點(diǎn)所表示的數(shù)。如圖 3,只要表示數(shù)的點(diǎn)落在 1 和 5 之間（包括 1 和 5）,那么它到 1 與 5 的距 離之和都等于 4，所以 1WW5,故選 A.三、構(gòu)造函數(shù)模型，解數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題在解答數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，根據(jù)已知和未知之間的關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式（考慮自變量的取值圍）。再利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決函數(shù)問(wèn)題。這樣既可深入函數(shù)容的學(xué)習(xí)，也有利于增強(qiáng)學(xué)生的思維能

6、力和解題實(shí)踐能 力。例 3:（八年下課本習(xí)題變式）某工廠現(xiàn)有甲種原料360 千克，乙種原料 290 千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品，共 50 件。已知生產(chǎn)一件 A 種產(chǎn)品，需用甲種原料 9 千克、乙種原料 3 千克，可獲利潤(rùn) 700 元；生產(chǎn)一件 B 種產(chǎn)品，需用甲種原料 4 千克、乙種 原料 10 千克，可獲利潤(rùn) 1200 元。（1）按要求安排 A、B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；（2） 設(shè)生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y（元），生產(chǎn) A 種產(chǎn)品X件，試寫(xiě)出y與X之 間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是 多少？

7、解；（1 ）設(shè)需生產(chǎn) A 種產(chǎn)品X件，那么需生產(chǎn) B 種產(chǎn)品（50X）件，由題意得：9x 4（50 x） 3603x 10（50 x）290解得:30X 32/X是正整數(shù) X = 30 或 31 或 32有三種生產(chǎn)方案： 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 30 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 20 件；生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 31 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 19 件；生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 32 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 18 件。（2）由題意得；y 700X 1200（50X）= =500X60000/y隨x的增大而減小當(dāng)X= 30 時(shí)，y有最大值，最大值為：500 30 60000= 45000 （元）答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y

8、=500 x 60000,（ 1）中方案獲利最大， 最大利潤(rùn)為45000 元。三.典題示例一.構(gòu)造方程解題例 1 若代數(shù)式 m2+ 3 與 4m + 1 互為相反數(shù)，則 m-2等于（）1A. 4B. - 4C.D.-4解 由相反數(shù)的性質(zhì)（互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子之和為零），得 m2+ 3 + 4m + 1 = 0,1即 m2+ 4m + 4 = 0, （m + 2）2= 0,解之得：m = - 2,所以 m-2= （-2）-2=，故本題應(yīng)選 C。4解 要使此分式無(wú)意義，只需 x2- 7x -8 = 0,解之得 xi= 8, X2= -1，即當(dāng) x = 8 或 x = -1 時(shí)， 該分式無(wú)意

9、義。要使該分式的值為零，只須分子x2-1 = 0 且分母 x2-7 x -8 工 0;由 x2-1 = 0,得 x =1但當(dāng) x = -1 時(shí)，分母 x2-7x - 8 = 0,分式無(wú)意義。故當(dāng) x = 1 時(shí)，此分式的值為零。例 3 已知 x、y 是正整數(shù)，并且 xy + x + y = 23，x2y + xy2= 120，求 x2+ y2的值。解 因、可化為 xy + (x + y) = 23, xy(x + y) = 120,則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：xy、x + y 是方程 t2- 23t + 120 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 解之得 xy = 8, x + y = 15 或 x

10、y = 15, x+y = & 又x、y 是正整數(shù)，所以只能是 xy = 15, x + y = &所以 x2+ y2= (x + y)2- 2xy = 64 -30 = 34。.構(gòu)造幾何圖形解題 例 4.如圖 1,過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) C 作任意一條直線與 AB、AD 的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) E、F。求證：AE AF 4AB。圖】分析：注意到要證明的不等式的形式，可聯(lián)想到一元二次方程的判別式。 證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a,連 AC。因?yàn)镾AEFSACFSACE，所以有1111AE AFAF CDAE BCa(AE AF)。2222即AE AFa(AEAF)。從而 AE、AF

11、 可視為關(guān)于 x 的一元二次方程x2(AE AF)x a(AE AF) 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 所以該方程的判別式(AE AF)24a(AE AF) 0得AE AF 4a，即AE AF 4AB。注：應(yīng)用構(gòu)造一元二次方程的方法解決一些幾何中的不等式問(wèn)題, 新的感覺(jué)，有益于訓(xùn)練大家思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性。三.構(gòu)建函數(shù)解決問(wèn)題 例 5 (2012 年，省市)(10 分)某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件 20 元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元).時(shí)， 分式X2x27x 8無(wú)意義；當(dāng)時(shí)，此分式的值為零。的確讓我們有耳目一之間的關(guān)系可近似的看作一次函

12、數(shù)：y 10 x 500 .(1) 設(shè)明每月獲得利潤(rùn)為w(元)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？(2) 如果明想要每月獲得 2000 元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)根據(jù)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于32 元，如果明想要每月獲 得的利潤(rùn)不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本=進(jìn)價(jià)X銷(xiāo)售量)答案：解：(1)由題意，得：w= (x 20) y=(x 20) ( 10 x 500)210 x700 x 10000b小x35 2a答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為 35 元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn).(2)由題意，得：10 x 700 x 10000 2000 解

13、這個(gè)方程得：xi= 30 ,X2= 40 .答：明想要每月獲得 2000 元的利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為30 元或 40 元.(3)Ta10，二拋物線開(kāi)口向下當(dāng) 30Wx 2000./xw32,.當(dāng) 30 x-1 B.-1wx2 C.x2 D. -1vxv24. 若最簡(jiǎn)二次根式5a 3與a23是同類(lèi)二次根式，則a 的值為()A. 2 或 3B. -2 或 3C. 3D. 25.已知實(shí)數(shù) x、y 滿足 9/ + 12x + 4+y 2=0，求代數(shù)式 2xy的值。6. 若(m 2)xm 23x= 5 - m 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m =_。12廠b c7. 已知一(b - c)2= (a -

14、b)(c - a)且 a 工 0,貝 U- =_。4a8. (2012?某校為開(kāi)展好大課間活動(dòng)，欲購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為 20 元的排球和單價(jià)為 80 元的籃球共 100個(gè).(1 )設(shè)購(gòu)買(mǎi)排球數(shù)為 x (個(gè))，購(gòu)買(mǎi)兩種球的總費(fèi)用為y (元)，請(qǐng)你寫(xiě)出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值圍)；(2)如果購(gòu)買(mǎi)兩種球的總費(fèi)用不超過(guò)6620 元，并且籃球數(shù)不少于排球數(shù)的3 倍，那么有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3 ）從節(jié)約開(kāi)支的角度來(lái)看，你認(rèn)為采用哪種方案更合算？9. （2012?如圖，點(diǎn) A、B C、D 分別是 O O 上四點(diǎn)，/ ABD=20, BD 是直徑，則/ ACB=7010. 如圖 2,已知四邊形

15、 ABCD 的對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) O,若SAOB4,SCOD9。求證:S四邊形ABCD25五參考答案真題答案：1.2.3解：根據(jù)題意得，x+仁 0, y-2=0,解得 x=-1, y=2,所以，xy= （-1）x 2=-2.故答案為：-2.4.證明：（1）連接 AD ,在厶 BAD 和厶 CDA 中AB=CDDB=ACAD=ADBADCDA （ SSS ）/ ABD= / DCA （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個(gè)三角形的公共邊.5解：（1）解法一、設(shè)大貨車(chē)用 x 輛，小貨車(chē)用 y 輛，根據(jù)題意得l x+y=1816x+10y=228（ 2 分）解得

16、 x=8 y=10答：大貨車(chē)用 8 輛，小貨車(chē)用 10 輛.（1 分）解法二、設(shè)大貨車(chē)用 x 輛，則小貨車(chē)用（18-x）輛，根據(jù)題意得16x+10 （18-x） =228（ 2 分）解得 x=8 18-x=18-8=10 （輛）答：大貨車(chē)用 8 輛，小貨車(chē)用 10 輛；（1 分）3（2）w=720a+800 （8-a） +500 （9-a） +65010- （9-a） （ 2 分）=70a+11550, w=70a+11550 （0 a 120,解得 a 5,（ 1 分）又 0 a 120,解得 a 5,（ 1 分）又 0waw8,- 5waw8 且為整數(shù)，（1 分）/w=70a+11550,

17、k=700, w 隨 a 的增大而增大，當(dāng) a=5 時(shí)，w 最小，最小值為 W=70X5+11550=11900 （元）（ 1 分）答：使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)配方案是：5 輛大貨車(chē)、4 輛小貨車(chē)前往甲地；3 輛大貨車(chē)、6 輛小貨車(chē)前往乙地.最少運(yùn)費(fèi)為11900 元.（1 分）鞏固強(qiáng)化的答案:1.2.3.解：根據(jù)題意，得x+1 01 2-x 0,解得，-1wxw2;故選B.4解 由同類(lèi)二次根式的定義可知：5a -3 = a2+ 3，解之得 a1= 2, a2= 3。但當(dāng) a = 3 時(shí)，已知為.12，它不是最簡(jiǎn)二次根式，所以a 只能取 2,故本題應(yīng)選 D。5.因 9X2+ 12x + 4 = (3x+

18、2)2丸，. y2$0,且(3x + 2)2+ ,y 2= 0,則由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)(幾- 2個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)為零）得（3x + 2f = 0 且.y 2= 0,解之得 x = , y = 2。故所求代數(shù)式 2xy的值：2X(-)2=8。396. 根據(jù)一元二次方程的定義，得m2-2 = 2，解之得 m = 。但當(dāng) m = 2 時(shí)，此方程二次項(xiàng)系數(shù)為零，不是一元二次方程，故m = -2。7. 由已知得：(b - c)2- 4(a - b)( c- a) = 0。b c當(dāng) a -b = 0 時(shí)，貝 U b -c = 0, a = b = c,所以 =2；a當(dāng) a -b 工 0 時(shí)，由(b - c)2- 4(a - b)( c - a) = 0 可知關(guān)于 x 的方程(a - b)x2+ (b - c) + (c - a)=c a0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。又(a -b) + (b - c) + (c -a) = 0,則 xi= X2= 1, xix2= 1,所以1,a b即 L_E = 2。ab c綜上所述，知= 2。a8解：(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)排球 x 個(gè)，購(gòu)買(mǎi)籃球和排球的總費(fèi)用y 元，y=20 x+80 (100-x) =8000-60 x;(2)設(shè)購(gòu)