七-八年級三角形的奧數(shù)題及其答案復(fù)習(xí)課程

1、-八年級三角形的奧數(shù)題及其答案三角形綜合例題1:AD,EF,BC相交于。點(diǎn)，且A氏ODB氏OCE氏OF求證：AEBDFC例題2:P為正方形ABCD寸角線BD上任一點(diǎn)，PF±DCPE!BC求證：APIEF.例題3:zABC的高AD與BE相交于H,且BHhAC.求證：/BCHk/ABC例題4:在正方形ABCm，P,Q分別為BCCD邊上的點(diǎn)，/PAQ=45°求證：PQ=PB+DQ例題5:過ABC的頂點(diǎn)A分別作兩底角/B和/C的角平分線的垂線，ADIBD于D,AnCE于E.求證：ED/BC.例題6:如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，PA=2,PB=273,PC=4,求MBC的邊

2、長.例題7:如圖（1）,凸四邊形ABCD,如果點(diǎn)P滿足/APD=/APB=民。且/BPC=/CPD=B,則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個半等角點(diǎn).（1）在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫一個半等角點(diǎn)P,且滿足a*。（2）在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點(diǎn)P,保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）.證明線段Pi(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點(diǎn)Pi、P2(如圖(2),P2上任一點(diǎn)也是它的平等角點(diǎn)。例題8:已知：點(diǎn)。到4ABC的兩邊ABAC所在直線的距離相等,且OB=OC(1)如圖1,若點(diǎn)。在BC上，求證：AB=AC(2)如圖2,若點(diǎn)。在4ABC的內(nèi)部，求證：A況AC(3)若點(diǎn)。在ABC勺外部，A況AC成

3、立嗎？請畫圖表示。練習(xí)試題：1.如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作EF/BC交AB于E,交AC于F,過點(diǎn)。作ODAC于D.下列四個結(jié)論:01BOC90卜A;2以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；設(shè)ODm,AEAFn,則SjEFmn;EF不能成為ABC的中位線.其中正確的結(jié)論是:(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)2 .如圖1,ABCD兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，SDMC、SDAC和SDBC分別表SSc小zDNCADACDBC勺面積。當(dāng)AB/CD寸，有SDMC=DACDBC(1)2(1)如圖2,若圖1中AB與CD不平行時，(1)式是否成立？請說明理由。

4、(2)如圖3,若圖1中AB與CD相交于點(diǎn)。時，SDMC、SDAC和SDBC有何種相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論。3 .如圖，設(shè)ABCffiCDESB是正三角形，且/EBD=62°,則/AEB的度數(shù)是(B)122°(Q120°(D)118°4 .如圖，ABCg等邊三角形，BDC是頂角/BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點(diǎn)，N是CA延長線上一點(diǎn)，且/MD仲60°.試探究MBMNCN±間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明5 .如圖，在ABC,/ABG=600,點(diǎn)P是ABCft的一點(diǎn)，使得/AP&/BPG=/CPA且PA=8,P

5、C=6,WJPB=6 .如圖所示，在ABC中，AB=ACAD=AE,BAD60,則EDC7 .(1)如圖7,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以A5口DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAEffi等邊三角形OCD連結(jié)ACffiBD相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求/AEB的大?。?2)如圖8,AOAE®定不動，保持AOCD勺形狀和大小不變，將AOC啜著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(AOABffiAOCK能重疊)，求/AEB的大小.8 .兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC.（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的

6、字母）；9.如圖，AD是4ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出ABC是等腰三角形的是（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）/BAD=/ACD/BAD=/CAD,AB+BD-AC+CDAB-BD-AG-CD例題1、證明：OAE04ODF,因為：二邊及夾角（對等角）相等，得：AE=DF。同理證得：OBEOCF,AOABAOCD,得：EB=CF,AB=CD。因為：AE=DF,EB=CF,AB=CD三邊相等。所以：AEBADFC例2F于點(diǎn)G延長EP交AB于M,延長FP交AD于NVP為正方形ABCD對角線BD上任一點(diǎn) .PM=PF,PN=PE又AMPN為矩形.an=pm=pf /EPF=/

7、BAC=90.PEFAANP ./NAP=/PFE又/NPA=/FPG（對頂角）/NAP+/NPA=90 ./PFE+/FPG=90 ./PGF=180-(/PFE+/FPG)=90APXEF例3BH=AC,/BDH=/ADC=90°,/HBD=/CAD(這個知道的吧).BD庠AADC .HD=CD,BD=AD .HDC與ABD是等腰直角三角形 ./BCH=/ABD=45例4:在CB的延長線上取點(diǎn)G,使BG=DQ,連接AG .正方形ABCD .AB=AD,/BAD=/ABG=/D=90vBG=DQ.ABGAADQ(SAS) .AQ=AG,/BAG=/DAQPAQ=45 ./BAP+/

8、DAQ=/BAD-/PAQ=45 ./PAG=/BAP+/BAG=/BAP+/DAQ=45丁./PAG=/PAQAP=AP.APQAAPG(SAS) .PQ=PGPG=PB+BG=PB+DQ .PB+DQ=PQ例5、證明;延長于點(diǎn)延長4/1交BCFjMJV/AELCE.，/LAEC=丁乙4CE=NMCEjCE是公共也/.AEC=fEC(ASA)t同理可證,jABF=ANBIJAE=E&hAE=FN,/.At：:EM=AF：FN=1:1,AEK/BO.例6將ACPB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACDA,并連接DP,CDP是等邊三角形PD=CD=CP=4,AD=BP=2r?,:AP=2，AA

9、DP是直角三角形且ZADP=30口ZCDP=6O0,/CDA=90。)AOa¥+CDJ(22+下=28jAC=2'例7(1)根據(jù)題意可知，所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn).因為在圖形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于a所以不是AC的中點(diǎn).(2) (2)畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',延長DB交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求.(因為對稱的兩個圖形完全重合)(3) (3)先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意/AP1D=/AP1B,/DP1C=/BP1C；/AP1B+/BP1C=180度.P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明DP1P

10、20ABP1P2W,那么P1DP2和APIBP2關(guān)于P1P2對稱，P是對稱軸上的點(diǎn)，所以/DPA=/BPA,/DPC=/BPC.即點(diǎn)P是四邊形的平等角點(diǎn).解答：解：(1)所畫白t點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)，即給(4分).(4)(5) (2)畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',延長DB交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求(不寫文字說明不扣分)給(3分).(6)(說明：畫出的點(diǎn)P大約是四邊形ABCD的平等角點(diǎn)，而無對稱的畫圖痕跡，給1分)(8) (3)連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意，(9) /AP1D=/AP1B,/DP1C=/BP1C,(10) .AP1B+/BP1

11、C=180度.(11).P1在AC上，(12)同理，P2也在AC上.(9分)(13)在DP1P2和BP1P2中，(14) /DP2P1=/BP2P1,/DP1P2=/BP1P2,P1P2公共，(15) .DP1P20BP1P2.(11分)(16)所以DP1=BP1,DP2=BP1,DP2=BP2,于是B、D關(guān)于AC對稱.(17)設(shè)P是P1P2上任一點(diǎn)，連接PD、PB,由對稱性，得/DPA=/BPA,/DPC=/BPC,(18)所以點(diǎn)P是四邊形的平等角點(diǎn).例8證明：(1)過點(diǎn)O分別作OELAB,OFXAC,E、F分別是垂足，由題意知，OE=OF,OB=OC,.RtgEB季tSFC.C,從而AB=

12、AC。(2)過點(diǎn)O分別作OELAB,OFXAC,EF分別是垂足，由題意知，OE=OF。在RtAOEB和RtAOFC中，.OE=OF,OB=OC,.RtgEB季tSFE。 .zOBE=/OCF,B=OC知/OBC=/OCB,./ABC=ZACD,.AB=AC。注：當(dāng)/A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC;否則，ABWAC,如示例圖練習(xí)13解：.等邊ABC、等邊CDE .AC=BC,CE=CD,/BAC=/ABC=/ACB=/ECD=60vZACE=/ACB-/BCE,/BCD=/ECD-/BCE ./BCD=/ACE .ACEBCD(SAS)./CBD=/CAE/EBD=6

13、2 ./CBD=/EBD-/CBD=62-/CBE./CAE=62-/CBE丁./BAE=/BAC-/CAE=60-62+/CBE=-2+/CBE丁./ABE+/BAE=60-/CBE-2+/CBE=58 ./AEB=180-(/ABE+/BAE)=1224CN+BM=MN證明：延長AC至M1,使CM1=BM,連結(jié)DM1由已知條件知：/ABC=/ACB=60°,/DBC=/DCB=30°./ABD=/ACD=90°.BD=CD.RtABDMRtACDM1 ./MDB=/M1DC,而DM=DM1 /MDM1=(120°/MDB)+/M1DC=120

14、6;又./MDN=60；/M1DN=/MDN=60°.MDNAM1DN.MN=NM1=NC+CM1=CN+BM即CN+BM=MN5(1)證明： ./APB=/BPC=/CPA,三角之和是360o./APB=/BPC=120o/PAB+/PBA=180o-120o=60o ABC=/PBC+/PBA=60o丁./PAB=/PBC./PABs/pbC【/APB=/BPC,/PAB=/PBC】(2)解：.2PABs，pbCPA/PB=PB/PC推出PB2=PAPC=6<8=48PB=y48=4,36設(shè)/EDC=x,/B=/C=y/AED=/EDC+/C=x+y又因為AD=AE,所以/

15、ADE=/AED=x+y貝U/ADC=/ADE+/EDC=2x+y又因為/ADC=/B+/BAD所以2x+y=y+30解得x=15所以/EDC的度數(shù)是15度71)如圖3,OCD和ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn),.OD=OC=OB=OA,/1=/2=60°,4=/5.又/4+/5=/2=60°,/4=30°.同理/6=30°./AEB=/4+/6,/AEB=60.(2)如圖4,OCD和ABO都是等邊三角形，.OD=OC,OB=OA,/1=72=60°.又OD=OA,.OD=OB,OA=OC,./4=/5,/6=/7./DOB=/1+/3,ZAOC=Z2+Z3,/DOB=/AOC.,/4+/5+/DOB=180,/6+/7+/AOC=180,.-2/5=2Z6,Z5=/6.又./AEB=/8-/5,/8=/2+/6,./AEB=/2+/5