中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合及詳細(xì)答案一、旋轉(zhuǎn)1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與BCDC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F,連接EF,設(shè)CE=a,C已b.(1)如圖1,當(dāng)a=4&時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)a=4時(shí)，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形并求出b的值；(3)如圖3,請(qǐng)直接寫出/EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a、b滿足的關(guān)系式.【答案】(1)4v2；(2)b=8;(3)ab=32.【解析】試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,可得AC=4垃,/ACB=45.再CE=a=4j2,可得/CAE=/AEC,從而可得/CAF的度數(shù)，既而可得b=AC;(2)通

2、過(guò)證明ACD4ECA即可得；(3)通過(guò)證明ACD4ECA即可得.試題解析：(1)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,.-.AC=4五,/ACB=45.CE=a=4&,ZCAE=ZAEC=竺-=22.5/CAF=/EAF/CAE=22.5,/AFC=/ACD-/CAF=22.5,/CAF=/AFQb=AC=CF=472；(2) ZFAE=45,ZACB=45,./FAU/CAE=45,/CAE+/AEC=45,./FACACCF.也_0ECCA4472=/AEC又./ACF=/ECA=135,AACFAEC/8,即b=8.(3) ab=32.提示：由(2)知可證ACQECA,ACECCF4.2,CAab4

3、.2.ab=32.2.如圖所示，(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn)A,ZEAF=90,連接BE、DF.將RtAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖(1)給予證明；(2)將(1)中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD,等腰RtAEF變?yōu)镽tAEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖（2）說(shuō)明理由；（3）將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD,將RtAAEF變?yōu)锳AEF,且/BAD=/EAF=q其他條彳不變.（2）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖（3）,如果不變，直接寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線

4、段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用a表示出直線BE、DF形成的銳角3.圖1圖2圖3【答案】（1）DF=BE且DFLBE,證明見(jiàn)解析；（2）數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即DF=kBE,DFBE;（3）不改變.DF=kBE,3=18?！啊窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中線段的長(zhǎng)度不變，得到AF=AE,又/BAE與/DAF都與/BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長(zhǎng)DF交BE于G,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360求出/EGF=90,所以DFBE;（2）等同（1）的方法，因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟龋鶕?jù)題意，可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以FAgEAB,

5、所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360求出/EHF=90,所以DF,BE；（3）與（2）的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360求出/人5+/EHF=180,所以DF與BE的夾角3=180-【詳解】（1）DF與BE互相垂直且相等.證明：延長(zhǎng)DF分別交ARBE于點(diǎn)P、GgC在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD=AB,AF=AE,/BAD=/EAF=90/FAD=/EAB2 .FADAEABZAFD=ZAEB,DF=BE3 /AFD+ZAFG=180:4 /AEG+ZAFG=180；5 /EAF=90,/EGF=180-90=

6、90；DF=kBE,DFBEDFXBE(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變.延長(zhǎng)DF交EB于點(diǎn)H,k，一ABAEADAFABAE6 ZBAD=ZEAF=aZFAAZEAB.FADAEABDFAFkBEAE.DF=kBE.FADAEAB,7 ZAFAZAEB,8 ZAFD+ZAFH=180,ZAEH+ZAFH=180,9 ZEA曰90；ZEH三180-90=90:DFXBE(3)不改變.DF=kBE,3=180-a.H,延長(zhǎng)DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)-.AD=kAB,AF=kAEADAFABAE10 ZBAD=ZEAF=a/FAA/EAB .FADAEABDFAF,kBEAE.DF=kBE由FADEAB

7、得/AFD=/AEB /AFD+/AFH=180 /AEB+ZAFH=180 四邊形AEHF的內(nèi)角和為360； /EAF+ZEHF=180 /EAF=a,/EHF=3 ,a+片180:3=180-a【點(diǎn)睛】本題（1）中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在.3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,4）,B（4,4）,點(diǎn)M,N是射線OC上兩動(dòng)點(diǎn)（OMVON）,且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持/MAN=45。，小明用幾何畫板探究其中的線段關(guān)系.（1）探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M,N均在線段OB上時(shí)（如

8、圖1）,有OM2+BN2=MN2.他的證明思路如下：第一步：將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.第二步：證明APMANM,得MP=MM.第一步：證明/POM=90,得OM2+OP2=MP2.最后得到OM2+BN2=MN2.請(qǐng)你完成第二步三角形全等的證明.圖1圖2圖3（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM2+BN2=MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）新題編制：若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分）.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）

9、見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.證明APMAANM,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M,N在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立.證明方法類似(1);(3)如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).利用(2)中結(jié)論，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)如圖1中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得aAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.圖I點(diǎn)A(0,4),B(4,4),.OA=AB,/OAB=90,/NAP=/OAB=90,/MAN=45,/MAN=/MAP,1 .MA=MA,AN=AP,.MANAMAP(SAS).(2)如圖2中

10、，結(jié)論仍然成立.理由：如圖2中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得aAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.P圖23 /NAP=/OAB=90,/MAN=45,/MAN=/MAP,4 .MA=MA,AN=AP,5 .MANAMAP(SAS),.MN=PM,6 /ABN=ZAOP=135；/AOB=45；/MOP=90,.PM2=OM2+OP2,.OM2+BN2=MN2；(3)如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).設(shè)MN=2x,貝UBM=BN=x,.OA=AB=4,/OAB=90；.OB=42,OM=4拒-x,.om2+bn2=mn2.(4應(yīng)-x)2+x2=(2x)2,解得x=-2J2+2J6或-2

11、J2-2J6(舍棄)MN=-472+4而.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.4.如圖所示，ABC和ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90。，EC的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)P.(1)把4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1,BD,CE的關(guān)系是(選填相等”或不相等”)；簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)若AB=3,AD=5,把4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90時(shí)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，PD=,簡(jiǎn)要說(shuō)明計(jì)算過(guò)程；(3)在(2)的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最

12、小值為,最大值為.1717【解析】分析：(1)依據(jù)4ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90,即可BA=CA,/BAD=/CAE,DA=EA,進(jìn)而得到ABD0ACE,可彳導(dǎo)出BD=CE(2)分兩種情況：依據(jù)/PDA=/AEC,/PCD=/ACE,可得PCgACE即可得到PD=CD，進(jìn)而得至|JPD=/34；ZABD=ZPBE,/BAD=/BPE=90,可得AECE17BADsBPE,即可得至uPBE，進(jìn)而得出PB=MJ34,PD=BD+PB=20J34;(3)以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)CE在。A下方與。A相切時(shí)，PD的值最小；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時(shí)

13、，PD的值最大.在RPED中，PD=DE?si吆PED,因此銳角/PED的大小直接決定了PD的大小.分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最小值以及最大值.詳解：(1)BD,CE的關(guān)系是相等.理由：ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/BAC=ZDAE=90,BA=CA,/BAD=ZCAEDA=EA.ABDAACE,BD=CE故答案為相等.(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點(diǎn)C在AD上，如圖2所示：郢/EAC=90, ce=Vac2ae2扃, /PDA=/AEC,/PCD=/ACE,.,.PCDAACE,PDCDAECE .PD=V34；17母ABD中，BD=JaD2AB2/34，

14、BE=AE-AB=2, /ABD=ZPBE/BAD=ZBPE=90,.BADABPEPBBEPB2一，即二-f，ABBD3.34解得PB=_6344,34PD=BD+PB=/34+6734=20734,520故答案為一5y34或一J34；1717PD(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)CE在。A下方與。A相切時(shí),的值最??；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時(shí)，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?sinPED因此銳角/PED的大小直接決定了PD的大小.當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中4ACB的位置時(shí)，在RtACE中，CE=J5232=4,在RtDAE中，DE=J5

15、2525近,四邊形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在RtAPDE中，PD=VDE1PE2750491,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最小值為1；當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中ABC時(shí)，可得DP為最大值，此時(shí)，DP=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最大值為7.故答案為1,7.點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決最值問(wèn)題.5.如圖1,4ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm,點(diǎn)

16、D從。點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到ABCE連結(jié)DE.(1)求證：4CDE是等邊三角形；(2)如圖2,當(dāng)6vtv10時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出4BDE的最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)存在【解析】試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DCE=60,DC=EC,即可得到結(jié)論；(2)當(dāng)6vtv10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Ca

17、dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)0DAB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論；(3)存在，當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)04V6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ABE=60。，/BDE60。，求得/BED=90。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ZDEB=60；求得/CEB=30；求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+1s2當(dāng)6t10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DBE=60,求得/BDE60,于是得到t=14+1=14.試題解析：(1)證明：二,將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得到ABCE/DCE=60；DC=EC

18、, .CDE是等邊三角形；(2)存在，當(dāng)6t10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知，4cde是等邊三角形，.de=cd, 1Cadbe=CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CDAB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD=2、,3cm, .BDE的最/J、周長(zhǎng)=CD+4=273+4;(3)存在，二當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；當(dāng)0490,，此時(shí)不存在；當(dāng)t10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZDBE=60,又由(1)知/CDE=60, /BD曰/CDEnZBDC=60+ZBDC,而/BDC0, /BDE6

19、0； 只能/BDE=90；從而/BCD=30,.BD=BC=4,1.OD=14cm,-t=14+1=sl4綜上所述：當(dāng)t=2或14s時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.點(diǎn)睛：在不帶坐標(biāo)的幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中求最值，通常是將其表達(dá)式寫出來(lái)，再通過(guò)幾何或代數(shù)的方法求出最值；像第三小問(wèn)這種探究性的題目，一定要多種情況考慮全面，控制變量，從某一個(gè)方面出發(fā)去分類.6.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC.將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到PCB的位置.(1)設(shè)AB的長(zhǎng)為a,PB的長(zhǎng)為b(b0）,第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.1（3）在第（2

20、）題圖4中，連接DGBE,且a=3,b=2,k=-,求BE2+DG2的值.【答案】（1）BG，DE,BG=DE;BG，DE,證明見(jiàn)解析；（2）BGDE,證明見(jiàn)解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到三角形DC匕從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定BC84DCE,從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到（1）中的位置關(guān)系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BH+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬平方和.詳解：（1）BGDE,BG=DE;四邊形

21、ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DQCG=CE/BCD=/ECG=90,/BCG=ZDCE.BCGADCEBG=DE,/CBGNCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；1.BGDE.(2)AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb,BCCGb一一,DCCEa又/BCGNDCE.-.BCGADCE/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；BGXDE.(3)連接BE、DG.根據(jù)題意，得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,BGDE,/BCD=ZECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+cE?+CG2=9

22、+4+2.25+1=16.25.點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.9.如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到點(diǎn)C,軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E,連接AC,(I)當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(n)設(shè)ABCE的面積為S,當(dāng)點(diǎn)C在線段自變量t的取值范圍；(出)當(dāng)t為何值時(shí)，BC+CAM得最小值.B坐標(biāo)為(0,4),M是線段AB的中點(diǎn)，將過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F,過(guò)點(diǎn)B作yBC,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t.EF上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出3.一一【答案】(1)(1,2);(2)S=t+8(0Wt&8;(3)當(dāng)t=0時(shí)，BC

23、+ACW最小值2【解析】試題分析：(I)過(guò)M作MGLOF于G,分另1J求OG和MG的長(zhǎng)即可；(II)如圖1,同理可求得AG和OG的長(zhǎng)，證明AMGCAF,得：AG=CF=-t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長(zhǎng)，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示AC和BC的長(zhǎng)，計(jì)算其和，根據(jù)二次根式的意義得出當(dāng)t=0時(shí)，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過(guò)M作MGLOF于G,，MG/OB,當(dāng)t=2時(shí)，OA=2./M是AB的中點(diǎn)，G是AO的中點(diǎn)，.OG=1OA=1,MG是4AOB的中位線，2.MG=1OB=1X4=2M(1,2);22(II

24、)如圖1,同理得：OG=AG=1t./BAC=90,2/BAO+ZCAF=90:/CAF+ZACF=90；/BAO=ZACF,/MGA=ZAFC=90；MA=AC,AAMGACAF,.AG=CF=1t,AF=MG=2,EC=4-t,BE=OF=t+2,221 .Sabce=EC?BE=(4工t)(t+2)=-t2+t+4;22242111“，5123Saabc=？AB?AC=一？J16t2?一416t=-t2+4,.S=Sabeo+Saabc=-t+8.22242當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2,此時(shí)t=0,當(dāng)C與E重合時(shí)，如圖3,AG=EF,即1t=4,t=8,，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S

25、=-t+8(0；2 2(III)如圖1,易得AB84CAF,旭=旭=OA=2,.-5=2,CF=t,由勾股定理ACAFFC2得:ac=7aF2CF2=22（-02=（41t2,BOJBE2EC2=J（t2）2（4）2=/（t24）,.BC+AC=（遍+1）點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何變換(旋轉(zhuǎn))、三角形的中位線等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.10.已知RtDAB中，/ADB=90,扇形DEF中，/EDF=30,且DA=DB=DE將RtAADB的邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖

26、1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到扇形DEF設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0/V180)(1)如圖2,當(dāng)0a90,且DF/AB時(shí)，求a；(2)如圖3,當(dāng)a=120；求證：AF=BE【答案】(1)15。；(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)./ADB=90,DA=DB,./BAD=45,.DF/AB,./ADF上BAD=45；a=45-30=15;(2)a=120；，/ADE=120；，/ADF=120+30=150/BDE=360-90-120=150,./ADF2BDE,在ADF和BDE中，J二/BDE,.ADFABDE；.AF=BE考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì).11.如圖1

27、,在4ABC中，CA=CB/ACB=90,D是4ABC內(nèi)部一點(diǎn)，ZADC=135,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,連接DE.(1)依題意補(bǔ)全圖形；請(qǐng)判斷/ADC和/CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.(2)在(1)的條件下，連接BE,過(guò)點(diǎn)C作CMLDE,請(qǐng)判斷線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)如圖2,在正方形ABCD中，AB=/2,如果PD=1,/BPD=90,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.(2)AE=BE+2CM,理由解析;【解析】試題分析：(1)作CE!CD,并且線段CE是將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，再連接DE即可；根據(jù)/ADC和/CDE是鄰補(bǔ)角

28、，所以/ADC+/CDE=180.(2)由(1)的條件可得A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，再通過(guò)證明4ACgABCE,易得AE=BE+2CM(3)運(yùn)用勾股定理，可得出點(diǎn)A到BP的距離.試題解析：解：(1)依題意補(bǔ)全圖形(如圖)；/ADC+/CDE=180.(2)線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM理由如下: 線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,.CD=CE/DCE=90. /CDE土CED=45.又/ADC=135, /ADC+/CDE=180, A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上. .AE=AD+DE又/ACB=90, /ACB-/DCB=ZDCE-/DCB,即/ACD=ZB

29、CE又.ACmBCcd=ce .ACDABCE.AD=BE. ,CD=CE/DCE=90；CMDE. .DE=2CM. .AE=BE+2CM(3)點(diǎn)A到BP的距離為2.考點(diǎn)：作圖一旋轉(zhuǎn)變換.12.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EF,EG分別過(guò)點(diǎn)B,C,/F=30.(1)求證：BE=CE(2)將4EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.(如圖2)EFG的兩邊.若EF,EG分求證：BEMCEN；若AB=2,求4BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sin/EBG的值.【答案】（1）詳見(jiàn)

30、解析；（2）詳見(jiàn)解析；2；拆母4【解析】【分析】（1）只要證明BA4CDE即可；（2）利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；如圖3中，作EH，BG于H.設(shè)NG=m,貝UBG=2m,BN=EN=J3m,EB=J6m.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題.【詳解】01四邊形ABCD是矩形，.AB=DC,/A=/D=90；2 .E是AD中點(diǎn),.AE=DE3 ABAEVAODE,.BE=CE由（1）可知，4EBC是等腰直角三角形,/EBO=ZEOB=45,4 /ABO=ZBOD=90,/EBM=/ECN=45;5 /ME

31、N=ZBEC=90,/BEM=ZCEN,6 .EB=EC7 .BEMACEN;.BEMACEN,8 .BM=CN,設(shè)BM=CN=x,貝UBN=4-x,1.Sabmn=?x(4-x)=-(x-2)2+222-10,2.x=2時(shí)，ABMN的面積最大，最大值為2.解：如圖3中，作EHIBG于H.設(shè)NG=m,貝UBG=2m,BN=EN=J3m,EB=J6m.，EG=m+由m=(1+向)m,11Sabeg=-?EG?BN=-?BG?EH，EH二%/am=m,2m23+.3在RtEBH中，sin/EBH=EH2mEB6m【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定

32、和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，13.在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與BC重合，點(diǎn)P在射線AM上,將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AQ,連接BP,DQ.(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)連接D巳若點(diǎn)P,Q,D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2；若點(diǎn)巳Q,C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關(guān)系為:【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；BP=AB.(1)根據(jù)要求畫出圖形即可;(2)連接BD,如圖2,只要證明ADQWABP,/DPB=90即可解決問(wèn)題;結(jié)論：BP=AB,如圖

33、3中，連接AC,延長(zhǎng)CD至ijN,使得DN=CD,連接AN,QN.由ADQAABP,ANQ0ACP,推出DQ=PB,/AQN=/APC=45；由/AQP=45,推出/NQC=90；由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB;【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖1:(2)證明：連接BD,如圖2,二線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AQ,，AQ=AP,/QAP=90；四邊形ABCD是正方形，.AD=AB,/DAB=90,.1./1=/2.ADQAABP,，DQ=BP,ZQ=Z3, 在RtAQAP中,/Q+ZQPA=90；/BPD=Z3+ZQPA=90, .在RtABPD中，DP2+BP2=BD2又.DQ=BP,BD2=2AB2,.DP2+DQ2=2AB2.解：結(jié)論：BP=AB.理由：如圖3中，連接AC,延長(zhǎng)CD到N,使得DN=CD,連接AN,QN. .ADQAABP,AANQAACP, .DQ=PB,/AQN=/APC=45, /AQP=45；/NQC=90；.CD=DN,DQ=CD=DN=AB,PB=AB.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S14.如圖，四邊形ABCD中，ABCADC45o，將