中考數(shù)學(xué)—直角三角形的邊角關(guān)系的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)一直角三角形的邊角關(guān)系的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里.在某時(shí)刻，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53。的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上.(1)求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；(2)若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76。的方向前去攔截.求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處成功攔截.(結(jié)果保留根號(hào))(參考數(shù)據(jù)：sin37=cos53°產(chǎn)cos37=sin53°去，tan37°

2、;空2tan76°戶【答案】(1)觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；(2)當(dāng)緝私艇以每小時(shí)647海里的速度行駛時(shí)，恰好在D處成功攔截.【解析】【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ACB=90°,再解RtABC,利用正弦函數(shù)定義得出AC即可;(2)過點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,易知，D、C、M在一條直線上.解RtAAMC,求出CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，根據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛AD所用的時(shí)間列出方程，解方程即可.【詳解】(1)在4ABC中，ACB180BBAC180375390.AC3

3、一在RtVABC中，sinB,所以ACABsin3725-15(海里).AB5答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里.(2)過點(diǎn)C作CMAB,垂足為M,由題意易知，D、C、M在一條直線上.在RtVACM中，CMAMACcosCAM在RtAADM中，tan所以MDAMtan76ACsinCAM1512,5DAM36.9.MDAM'所以ADAM2MD2.923629.17,CDMDMC24.設(shè)緝私艇的速度為V海里/小時(shí)，則有249所,解得v67.16v經(jīng)檢驗(yàn)，v6"是原方程的解.答：當(dāng)緝私艇以每小時(shí)6歷海里的速度行駛時(shí)，恰好在D處成功攔截A7$【點(diǎn)睛】此題考查了解直角

4、三角形的應(yīng)用-方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想.2.如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為1,且在水平線上的射影AF為不1cm）?A*【答案】解；過點(diǎn)上作四"LC口于P，月交C0于尸在READE中,DF=1,4x1.082=在及即中，tan=1,4x0.412=DS=1.5148-0.5768=0.938（）-又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有B=加二C

5、75=DE+C宣二§33十25二11&8總1190加.答：支架CO的高妁為11%因.分）/【解析】D4E，二af+JJ1.5148（w）ii0.5768（）（2分）（1分）?-25c：酬（2分）（2分:tan20.412.如果安裝工人確定支架AB高為25cm,求支架CD的高（結(jié)果精確到1.4m.現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為2,并已知tan11.082,過A作AFCD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用九他表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm再再根據(jù)DC=DE+ECS行解答即可.3.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是4AB

6、C的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,/EMF=135將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,請(qǐng)解答下列問題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM(2)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖，圖的位置時(shí)，請(qǐng)分別寫出線段BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;（3）在（1）和（2）的條件下，tan/BEM=/S,AN=J2+1,貝UBM=,CF=【答案】(1)證明見解析(2）見解析（3）1,1+*或1-*（1）由等腰4ABC中，/B=90°,AM是ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,可得BM=MN,/BMN=135,又/E

7、MF=135°,可證明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；(2)如圖時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得BE-CF=BM,如圖時(shí)，同（1）可證BMENMF,可得CF-BE=BM;BK=N1!在RtABM和RtANM中，”，Iaj=ak可得RtAABMRtAANM,后分別求出AB、ACCN、BM、BE的長(zhǎng)，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論對(duì)圖進(jìn)行討論可得CF的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45,°.AM是/BAC的平分線，MNLAC,.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=360909045=135°,/ENF=

8、135,°,/BME=ZNMF,.BMEANMF,，BE=NF,.MN，AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM,.CN=CF+NF.BE+CF=BM；(2)針對(duì)圖2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45J°,.NC=NM=BM,NC=NF-CF,.BE-CF=BM;針對(duì)圖3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM,.NC=CF-NF,.CF-BE=BM;,、4人力人由B后NM(3)在RtAABM和RtA

9、ANM中，二,RtAABMRtAANM(HL.),.AB=AN=x/2+1,在RtAABC中,AC=ABV2+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+x/l-(V2+1)=1,在RtCMN中，CM=/2CN=/2,.BM=BC-CM=+1-=1,在RtBME中，tanZBEM.由（1）知，如圖1,BE+CF=BM.CF=BM-BE=1-J由（2）知，如圖2,由tanZBEM=/S,，此種情況不成立；由（2）知，如圖3,CF-BE=BM,CF=BM+BE=1【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解,一k4.如圖，反比例函數(shù)yk0的圖象與正比例函數(shù)

10、y2x的圖象相交于xA(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA/y軸，ABC90.(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.【答案】(1)k2,B1,2；(2)2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)ky-k0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH,AC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,根據(jù)ABC90,BHC90，可得CABH,再由已知可得AODABH,從而得CAOD,求出tanC即可.【詳解】(1)丁點(diǎn)A(1,a)在y2x上， a=2,A(1,2),，一k把A(1,2)代入y得k2,

11、xk. 反比例函數(shù)y-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象交于A,b兩點(diǎn)，x AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，B1,2；(2)作BHI±AC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,ABC90,BHC90,CABH,.CA/Iy軸，BH/x軸，AODABH,.CAOD,AD21tanCtanAOD-2.OD1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關(guān)鍵.5.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測(cè)角器測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的

12、仰角為30。，再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C,E,B三點(diǎn)在同一直線上），又測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測(cè)角器CD的高度為1.6米，請(qǐng)計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.（J3=1.73結(jié)果精確到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】解：在RtAFG中，tan/AFG=J3,AGAGFG=r，tanAFG.3,AGCG在RtACG中，tan/ACG=,.CG=tanAGACG=,3AG.又CG-FG=24m,即J3AG-=2=24m,'j3AG=123m

13、,.AB=126+1.6=2214.DB6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).Ji"'八圉圉(1)試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過點(diǎn)T(-4,0),Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3 23.一.【答案】(1)y-x-x3;(2)5PA+4PC的最小值為18;(3)直線l的解析式84,33人為y-x3或yx3.4 4【解析】【分析】(1)設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AGBC,過點(diǎn)

14、A作AELBC于點(diǎn)E,過PCPD4點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D,易證CD/COB,得到比例式，得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面積法求出AE=,即最小值為18(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸,所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90?；?ABQ=90°,即/AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿

15、足/AQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QGi±x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點(diǎn)為A(-2,0)、B(4,0).y=a(x+2)(x4)把點(diǎn)C(0,3)代入得：-8a=33.a=8.拋物線解析式為y=-3(x+2)(x-4)=-x2+-x+3884(2)連接ACBC,過點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD±BC于點(diǎn)D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.,.CDFACOBPCPDBCOB,.B(4,0),C(0,

16、3)ob=4,oc=3,bc=Job2oc2=54-.PDPC5.-.5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD5當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PG=5(PA+PD)=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BC .Saabc=-AB?OC=1BC?AE22yABnOC6318AE=BC55 -5AE=18 5PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90或/ABQ=90°/AQB

17、=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q 當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），/AQB=90° 直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB=90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QG±x軸于點(diǎn)G/FQT=90° .F為A(2,0)、B(4,0)的中點(diǎn) .F(1,0),FQ=FA=3,.T(4,0).TF=5,cos/QFT=FQTFRtAFGQ中,cos/QFT=FG3FQ53FG=-FQ=5,9xq=15QG=FQ2FG2.1322125若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q（412三)設(shè)直線l解析式為：y=kx+b4k012解得:，直線l：3-x34若點(diǎn)Q在x軸下方，則45'

18、;129，3八，直線l：y-x34綜上所述，直線l的解析式為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論7.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,AC±BC于點(diǎn)C,將ABC沿AC翻折得到AEC,連接DE.(1)求證：四邊形ACED是矩形；【答案】(1)證明見解析(2)舅1365【解析】【分析】(1)根據(jù)？ABCD中，AC±BC,而AB84AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，即可求出ZABD的

19、正弦值.【詳解】(1)證明：WAABC沿AC翻折得到aAEC,BC=CE,AC±CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/BC,AD=BC,.AD=CE,AD/CE, ,四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖1所示，過點(diǎn)A作AF±BD于點(diǎn)F,.BE=2BC=2X26,DE=AC=4,在RtBDE中，BDBE2DE2、6242213.Sbde=XDE?ADAF?BD,43.AF2.136.1313RtAABC中,AB=/42=5,RtAABF中,AF6、136J13sin/ABF=sin/ABD=ab1365方法二、如圖

20、2所示，過點(diǎn)5O作OF±AB于點(diǎn)F,同理可得,OB=1BD而,2-Saaob=1-OFAB21-OABC,22.OF=5.在RtBOF中,/八0Fsin/FBO=OB5.13613,65,613.sin/ABD=.65B【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出sin/ABD.8.如圖，在RtABC中，ZC=90°,/A=30°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PD，AC于點(diǎn)D(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合)

21、，作/DPQ=60°,邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示線段DC的長(zhǎng)：;(2)當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；(3)當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過4ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.II351【答案】(1)-01；(2)1；(3)t的值為萬(wàn)或二或彳【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出AD,即可得出結(jié)論；(2)利用AQ=AC,即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】(1) AP=,AB=4,/A=30°.AC=,AD=.cd=y-甲i；(2) AQ=2AD=2/&當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合即2<

22、;&=2*尸t=1;(3)如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AB的中點(diǎn)F時(shí)，111II/PGF=90:PG=：PQ=：AP=t,AF=&AB=2./A=/AQP=30°,，/FPG=60；./PFG=30°,.PF=2PG=2t,11,-.AP+PF=2t+2t=2,.='如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AC的中點(diǎn)N時(shí),./QMN=90；AN=；AO小，QM=；PQ=AP=t.在RtANMQ中,NQ=MQCOS30".AN+NQ=AQ,如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過BC的中點(diǎn)F時(shí),二1八,.BF=BC=1,PE=kPQ=t,/H=30：/ABC=60；/BF

23、H=30=ZHI,.BH=BF=1.在RtAPEH中,PH=2PE=2t.5-，AH=AP+PH=AB+BH,，2t+2t=5,，t=T41|3|5即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為w或彳或不.【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關(guān)鍵.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-2x2+bx+c與直線y=x-3分別交x42軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD交x軸于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求/DCB的正切值；(3)如果點(diǎn)F

24、在y軸上，且/FBC=/DBA+/DCB,求點(diǎn)F的坐標(biāo).D1O1【答案】(1)yx22x3,D(4,1);(2)；(3)點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,1)或43(0,-18)【解析】【分析】(1)y=x-3,2令y=0,則x=6,令x=0,則y=3,求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、1 2.C坐標(biāo)代入拋物線(2)求出則點(diǎn)Ey=-x2+bx+c,即可求解;49則CH=,即可求3_(3,0),EH=EB?sin/OBC=丁，CE=3短,解；(3)分點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可.【詳解】(1) y=-x-3,令y=0,則x=6,令x=0,則y=-3,2則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,-3

25、),則c=-3,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線y=-x2+bx-3得：0=-x36+6b-3,解得：b=2,441C故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x-3,令y=0,則x=6或2,4即點(diǎn)A(2,0),則點(diǎn)D(4,1)；(2)過點(diǎn)E作EHI±BC交于點(diǎn)H,DC、D的坐標(biāo)分別為：(0,-3)、(4,1),直線CD的表達(dá)式為：y=x-3,則點(diǎn)E(3,0),OC3tan/OBC=一OB611-,貝UsinZOBC=5,貝UEH=EB?sinZOBC=CE=372,則CH=EH貝Utan/DCB=CH(3)點(diǎn)A、B、C、D、E的坐標(biāo)分別為(2,0)、(6,0)、(0,3)、(4,1)、(3,0),貝U

26、BC=375,.OE=OC,ZAEC45；11tan/DBE=642故：/DBE=/OBC,貝U/FBO/DBA+/DCB=/AEO45°,當(dāng)點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸時(shí)，過點(diǎn)F作FGJ±BG交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G,則/GFG=/OBC=a,設(shè)：GF=2m,則CG=GFtana=m,./CBF=45°,BG=GF,即：3J5+m=2m,解得：m=3/5,CF=JgF2CG2=75m=15,故點(diǎn)F(0,-18);當(dāng)點(diǎn)F在y軸正半軸時(shí)，同理可得：點(diǎn)F(0,1);故：點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,1)或(0,-18).【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等相關(guān)知識(shí)，

27、其中(3),確定/FBC=/DBA+/DCB=/AEC=45°,是本題的突破口.3,10.如圖，在4ABC中，ACBC10,cosC一,點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A,C5重合)，以PA長(zhǎng)為半徑的eP與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D,過點(diǎn)D作DECB于點(diǎn)E.1當(dāng)eP與邊BC相切時(shí)，求eP的半徑;2聯(lián)結(jié)BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；3在2的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的eQ與eP相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng).【答案】(1)40；(2)y5x，x28x800x10；(3)1027593x20【解析】【分析】3一(1)設(shè)

28、。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP，BC,cosC=,則5sinC=4,sinC=HP=R=4,即可求角軍；5CP10R52(2)PD/BE,則EB=BF,即：45xPDPF收8x80y,即可求解;y(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，貝UAG=GP=BD即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,sinC=r=40R=CP10R5(2)在ABC中，AC=BC=10cosC=3,5設(shè)AP=PD=x,ZA=ZABC=3,過點(diǎn)B作BH,AC,貝UBH=ACsinC=8同理可得：CH=6,HA=4,AB=45

29、/5,則:tan/CAB=2BP=，82DA=25x則BD=475-25x5'5，x42=Jx28x80，如下圖所示，PA=PD/PAD玄CAB=ZCBA=3,tan3=2貝Ucos3=j,sin3,EB=BDcos3=(475-2-5x)I).PD/BE,EB=BF,即:PDPF整理得:5xx28x80y=3x200x10；(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示,一二兩個(gè)圓交于點(diǎn)G,則PG=PQ即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D,GD為相交所得的公共弦， 點(diǎn)Q時(shí)弧GD的中點(diǎn)， DGXEP,.AG是圓P的直徑，/GDA=90； .EP/BD,由(2)知，PD/BC,二.四邊形PDB

30、E為平行四邊形，.AG=EP=BD.AB=DB+AD=AG+AD=4、,5,設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中,AD=2rcos85,DG=-y5,AG=2r,2r2075+2r=4V5,解得：2r=后,則:DG=%=10-2T5,相交所得的公共弦的長(zhǎng)為10-275.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓知識(shí)的綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，其中(關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.11.在RtABC中，/ACB=90°,CD是AB邊的中線，DE±BC于E,連結(jié)CD,點(diǎn)P在射線CB上(與B,C不重合)(1)如果/A=30°,如圖1,/DC

31、B等于多少度；如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DF,連結(jié)BF補(bǔ)全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3,若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，且/A=a(0°<“V90°),連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系(不需證明)AA【答案】(1)/DCB=60°.結(jié)論：CP=BF.理由見解析；(2)結(jié)論：BF-BP=2DE?tana理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=300,只要證明4CDB是等邊三角形即可；根據(jù)全等三角形的判定推出4DC百DBF,根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF,(2)求出DC=DB=AD,DE/AC,求出ZFDB=ZCDF2a匕PDB,DP=DF,根據(jù)全等三角形的判定得出DC國(guó)DBF,求出CP=BF,推出BF-BP=BC,解直角三角形求出CE=DEtan”即可.【詳解】(1)./A=30°,/ACB=90