正弦穩(wěn)態(tài)分析

1、第 6 章 正弦穩(wěn)態(tài)分析 -相量法 186學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1866.1 正 弦 量 1866.2 復(fù) 數(shù) 1886.3 正弦交流電的相量表示 190問題的引入 1906.3.2 正弦量的相量式表示 190正弦量的相量圖表示 1926.3.正弦量的相量表示的應(yīng)用 1926.4 KCL 、 KVL 相量形式 1946.5 電阻、電感和電容元件 VCR 的相量形式 1956.6 正弦交流電路的阻抗、導(dǎo)納及等效 1986.6.1 阻抗的概念 1986.6.2 導(dǎo)納的概念 2006.7 正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般分析方法 2016.7.1 相量法的原理 2016.7.2 相量法的一般分析過程 2026.7.3 相量圖

2、法 2056.8 有功功率、無功功率、視在功率和復(fù)功率 2066.9 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率守恒 2086.10 正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸 2126.11 仿 真 實(shí) 驗(yàn) 214習(xí) 題 六 216第6章正弦穩(wěn)態(tài)分析-相量法學(xué)習(xí)要點(diǎn)(1) 正弦量的三要素及相量表示；(2) 復(fù)阻抗；(3) KCL、KVL的相量形式；(4) 有功功率、無功功率、視在功率和復(fù)功率。電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析是重要的根底性問題，相量法是分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的簡便有效的方法，重點(diǎn)理解 為什么要引入相量法？相量法與正弦量的關(guān)系？引入相量法后，還是利用電路的兩大約束，應(yīng)用電路的基 本分析方法，求解電路的相量響應(yīng)， 然后進(jìn)行相量反變換求出時(shí)

3、域響應(yīng)。本章涉及到的主要概念： 三要素、有效值、相量、阻抗、有功功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)、復(fù)功率和最大功率傳輸?shù)葐栴}。6.1正弦量在經(jīng)典電路理論中，一般把方向和大小均呈現(xiàn)周期性變化(交變)的電壓、電流等周期函數(shù)(信號)作為根本的分析對象。其中最重要的周期函數(shù)就是按正弦規(guī)律變化的正弦量?？梢圆捎胹ine或cos函數(shù)描述正弦量，本書采用 cos函數(shù)描述正弦量。1 .正弦量的表示以正弦電流i(t)為例，說明正弦量的表示方法和意義。如圖6-1所示，一段電路中有正弦電流i(t)，在如圖示參考方向下，i(t)在每一瞬時(shí)t的值(瞬時(shí)值)可表示為i(t)(6-1)(6-1 )式，稱為正弦量的三角函數(shù)

4、式或瞬時(shí)表達(dá)式，式中的幅值|m、角頻率* '和初相位'：i稱為正弦量的三要素。圖6-1一段電路中的正弦電流正弦電流i(t)是一個(gè)交變的電流，正半周時(shí)其值為正，說明其實(shí)際方向與參考方向相同，負(fù)半周時(shí)那么相反。正弦量的第二種表達(dá)方式是波形圖，也稱為正弦波，其橫軸可以是時(shí)間t,單位為s(秒)；也可以是-t ,單位為rad (弧度)。如圖6-2是正弦電流i(t)的波形圖。圖6-2 正弦電流i(t)的波形圖i (t)是時(shí)間t的函數(shù)，有時(shí)也簡記為i下面結(jié)合波形圖來說明正弦量三要素的意義。I m稱為正弦量的振幅或幅值。 顯然，當(dāng)COSjt ；) =1時(shí)，i(t)取得最大值Im ；當(dāng)cos(

5、t i) - -1 時(shí)，i(t)取得其最小值Im。最大值與最小值之差lm-(-lm)=2lm稱為峰-峰值。隨時(shí)間變化的角度 (t i)稱為正弦量的相位或相位角，其時(shí)間變化率稱為角頻率，容易求得角頻率 就是，單位為rad /s (弧度/秒)，它與周期T和頻率f之間的關(guān)系為=2 二 T = 2二 f( 6-2)周期T的單位為s (秒)，頻率f的單位為/ ( 1/秒)，稱為Hz (赫茲，簡稱赫)。是正弦量在t=0時(shí)的相位，稱為初相位(角)，簡稱初相，初相的單位為rad (弧度)或° (度)。 對一組同頻正弦量，初相代表了每個(gè)正弦量到達(dá)其最大值的先后關(guān)系，稱為相位關(guān)系。一般稱初相位為0的正弦

6、量為參考(標(biāo)準(zhǔn))正弦量，所以其它同頻正弦量的初相代表了“超前或“滯后參考正弦量的角 度。由于正弦量是以 2二為周期的周期函數(shù)，所以如果不對初相的取值范圍有所限制的話，就可能出現(xiàn)多 種“超前或“滯后的歧義說法。一般規(guī)定初相的取值范圍為-，二1。如果初相值超出取值范圍，可通過加減2二求出符合取值范圍的初相值。正弦電壓的表示方法和意義與正弦電流類似，這里不再贅述。2 相位差電路中常用相位差的概念來表示兩個(gè)同頻正弦量之間相位關(guān)系，相位差就是兩者相位的差，顯然也等于初相的差，相位差是一個(gè)與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)。例如，如以；：12表示電流i1(t) lm cos(t亠J和電壓U2 (t) UmCos( 42)

7、的相位差，那么有陣川廠(6-3) 同初相一樣，一般也規(guī)定相位差的取值范圍為L二，二。知道了相位差以后，就可以結(jié)合“超前和“滯后等概念來說明兩個(gè)同頻正弦量的相位關(guān)系。當(dāng)12 0時(shí)，稱i1超前U212，或稱U2滯后i1 ；：12 ；反之亦然。(1) 當(dāng):12 =0時(shí)，稱i1與u2同相；(2) 當(dāng)卩12 =兀，稱h與U2 (彼此)反相；(3) 當(dāng)I® 12 = %，稱i1與U2 (彼此)正交。顯然，當(dāng)改變某一正弦量的參考方向時(shí)，為保證正弦量的瞬時(shí)值不變，其新表達(dá)式應(yīng)取原表達(dá)式的反相，即初相加:或減二。在波形圖上更容易理解相位差意義，見例題6-1。22例 6-1 求正弦量 i1(t) = I

8、m1 cos( t )A 和 i2(t) = I m2 cos( t )A 的相位差。33解 根據(jù)式(6-3)可求得12此值已超出相位差的取值范圍L二，二1,所以相位差應(yīng)為 2 - 2 =，具體可表述為，i233超前h 2二，或i1滯后i2 -，結(jié)果如圖6-3所示。333 有效值通常交流電流表、交流電壓表的讀數(shù)、及常用交流電器所標(biāo)注的額定值都是有效值。人們常說的家用 照明電壓220V，也是有效值。交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來定義的，以周期電流i(t)為例，假設(shè)把一個(gè)周期電流i(t)和另一個(gè)直流電流I加到電阻值均為 R的兩個(gè)相同的電阻上，如果兩者在一個(gè)周期為T的時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱能相等，那么

9、這個(gè)直流電流I的值就是這個(gè)周期電流i(t)的有效值。顯然，可在一個(gè)周期內(nèi)表達(dá)這種相等關(guān)系， 即Ri2(t)dt =TRI 2T.2因此可求得(6-4)即一個(gè)周期電流的有效值等于其瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值的平方根，所以有效值也稱 均方根值、或方均根值。當(dāng)電流i(t)是正弦量時(shí)，可以推導(dǎo)出其有效值與振幅之間的關(guān)系。由式( 1+cos22t + £)可求得21I ：I m = 0.707 I m.2角公式 i2(t) =lm2cos2(J =lm26-1)和式(6-4),并根據(jù)三(6-5)據(jù)此，正弦電流i(t)也可記為如下形式(6-6)i(t) =、21 cos( ti)上式中

10、，I、 i也可稱為正弦量的三要素。注意，式(6-5)只適用于正弦量，對其它的周期函數(shù)不成立。電壓有效值的定義與電流完全相同，這里不再贅述。為了對正弦量進(jìn)行分析計(jì)算，首先對復(fù)數(shù)運(yùn)算作 簡要復(fù)習(xí)。6.2復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)F定義為F =a jb式中，a和b分別稱為復(fù)數(shù)F的實(shí)部和虛部，而j - . -1為虛數(shù)單位。此定義式一般稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。假設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛局部別相等，定義為兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。如圖6-4所示，復(fù)數(shù)圖6-4復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示為計(jì)算方便，還經(jīng)常把復(fù)數(shù)表示成其三角形式、指數(shù)形式及極坐標(biāo)形式。根據(jù)圖6-4，復(fù)數(shù)F的三角形式為F =|F cosG +j F sinG式中F = Ja2 +b2為復(fù)數(shù)

11、F的模，日=arctanb為復(fù)數(shù)F的輻角，因此有a = F co S ，ab = F sin日。日可以用弧度或度表示。根據(jù)歐拉公式ejr =cosv - j sinv，復(fù)數(shù)F可表示為指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式F =|FF =|F用ReF表示取復(fù)數(shù)F的實(shí)部，lmF表示取復(fù)數(shù)F的虛部，所以有，ReF二a，lmF = b。用F*表示復(fù)數(shù)F的共軛復(fù)數(shù)，即F* = a jb或F* =|F|N -日。復(fù)數(shù)的根本運(yùn)算包括加減和乘除。復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算定義為其實(shí)部和虛局部別相加減，所以一般適合以代數(shù)形式進(jìn)行。例如，設(shè)F a1 jb1、F2 二 a2 jb2，貝VR ±F2±a2 jb ±b

12、2復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算也可以在復(fù)平面上按向量加減的平行四邊形法那么進(jìn)行，如圖6-5表示了兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的運(yùn)算F = F1 F2。圖6-5復(fù)平面上兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的運(yùn)算顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)相減的運(yùn)算 F -F2可視作F =已-F2。復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算以指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式進(jìn)行較為簡便。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘定義為它們的模相乘、輻角相 加，即F =FjF2 = FF+02兩個(gè)復(fù)數(shù)相除定義為他們的模相除、輻角相減，即F2F1F2.匕 1 _二2下面講解幾個(gè)特殊的復(fù)數(shù)。e = 9是一個(gè)模等于1,輻角為9的復(fù)數(shù)。任意復(fù)數(shù)F =乘以e舊等于把復(fù)數(shù)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度v而F的模不變，所以e -1二稱為旋轉(zhuǎn)因子。當(dāng)二=90，稱為旋轉(zhuǎn)90因子

13、,ej90 二cos90； j sin90 二 j，所以，j - 90，-j - -90 , -仁.180 都是特殊的旋轉(zhuǎn)因子。6.3正弦交流電的相量表示問題的引入在14章屬于直流穩(wěn)態(tài)分析,路，因此，不包含電感和電容。第根據(jù)-L加0，電感視為短路，根據(jù)晉。電容視為開5章屬于直流動(dòng)態(tài)分析，電感和電容的 VCR，都不為零，因此列出的是微積分方程。然而，在交流電路中，電流或電壓都是變化的，此時(shí)列出的方程是含有正弦函數(shù)的微積分方 程，給電路分析計(jì)算帶來困難。例如圖 6-6所示電路，鼓勵(lì) us(t)二200cos(314t 50)。假設(shè)用支路電流法求iL、 iC、 i R，那么電路方程為iLiCI A(

14、6-7)L 理 icdt =200cos(314 t 50鋼 dt C1 .R iRi c dtC此方程是關(guān)于正弦量三角函數(shù)式的微分方程，所以直接在時(shí)域內(nèi)分析此電路非常繁瑣，為此利用數(shù)學(xué) 知識，探尋全新的方法相量法。在線性電路中，對正弦交流電路進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析計(jì)算時(shí)，會遇到大量的同一頻率的正弦量相加、相減、積分、微分等運(yùn)算，如(6-7 )式，如果，此時(shí)全部鼓勵(lì)都是同一頻率(frequency )的正弦量，那么電路中的全部電壓與電流的響應(yīng)與鼓勵(lì)的頻率相等。即只要鼓勵(lì)的頻率且相同，響應(yīng)的頻率不用再求。正弦交流電的求解就是要關(guān)注正弦量的三要素，其中響應(yīng)的頻率與鼓勵(lì)的頻率相等，因此，只要求解正弦量的幅值和

15、初相位，下面將根據(jù)數(shù)學(xué)和電路原理探尋正弦量的幅值和初相位的求解方法一一相量法。正弦量的相量式表示正弦量除了用三角函數(shù)式(瞬時(shí)表達(dá)式)和波形圖來表示以外，利用歐拉公式還可以表示成復(fù)指數(shù)的形式。例如，一個(gè)正弦交流電流h(t)二、2 IcosC t )A，可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部：h(t) = 2l cos( t )二 Re“2lej( t) = Re 2lej ： ej t(6-8 )式(6-8)中，方括號內(nèi)是一個(gè)復(fù)數(shù)，符號Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。其中的 ej t在復(fù)平面上，是一個(gè)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位矢量；矢量 -2Iej包含了正弦量的 最大值和初相位 兩要素的矢量，再乘以 ej t，即得一個(gè)

16、以 角速度，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量，因此 旋轉(zhuǎn)的矢量 能完整的表示正弦量的三要素。這個(gè)旋轉(zhuǎn)的矢量稱為正弦量的相量，用I。我們將正弦電流i(t)(對應(yīng))的相量，記為II = Iej®=|Z®(6-9)其與正弦電流i(t)的一一對應(yīng)關(guān)系可表示為i(t)= I(6-10)要特別強(qiáng)調(diào)，式(6-10 )表示的是一個(gè)正弦量與其相量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，不是相等關(guān)系，不能用等號。顯然，一個(gè)正弦量與其相量的關(guān)系也可表示為i(t) =Re. 2llej 片i(6-11)+1jj(b) - ti=60+1j(a)t o=0C?3 ( (c) - t2=900i綜上可得，正弦交流電流i (t) = i

17、2 IcosC t亠°)A的相量式Im =Qle"或 |Im=QIN®(6-12 )在電路分析中，復(fù)數(shù)中的模也可以取為正弦量的有效值，即可以把正弦交流電流的相量形式為I = le或( 6-13)注意用有效值代表相量的模時(shí)，要想得到如圖 6-7所示，對應(yīng)的物理意義必須將有效值乘以、2。正弦量的相量圖表示假設(shè)把復(fù)數(shù),2lej ； er t在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間用一帶箭頭的有向線段畫出，為了做圖方便， 將復(fù)數(shù)坐標(biāo)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90。例如，當(dāng)初相位是 0°幅值是J2l，即把J2lej0 旳，畫在如圖6-7中,有向線段長度是21、初相位是0°勺矢量，

18、且以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如圖6-7 (a)圖中，當(dāng)t=0時(shí)，該相量與實(shí)軸夾角為正弦函數(shù)的初相位角=0，此時(shí)，相量在實(shí)軸上的投影等于21 cosO；。該相量以角速度隨時(shí)間逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)t=t|時(shí)，相量轉(zhuǎn)到圖(b)中所示位置。此時(shí)與實(shí)軸夾角為C4 )=60；。由圖可以看出，該相量在實(shí)軸上的投影等于2l cos60，即等于對應(yīng)的正弦函數(shù)在該時(shí)刻的瞬時(shí)值，以此類推。相量的定義構(gòu)建了兩個(gè)數(shù)域之間的變換關(guān)系，正弦量的三角函數(shù)式和波形圖在時(shí)間域，其相量式和相 量圖在復(fù)數(shù)域。在后續(xù)課程中我們會發(fā)現(xiàn)，類似的變換方法在科學(xué)研究和工程技術(shù)中廣泛采用。綜上可得，正弦交流電流i (t)2 lcos r )A 的相量圖

19、，如圖6-8所示。圖6-8相量圖在用復(fù)平面上的相量表示正弦函數(shù)時(shí)，只要確定其初相位時(shí)的相量即可，即相當(dāng)于取t=O時(shí)的復(fù)指數(shù)函數(shù).2ler。實(shí)際的正弦時(shí)間函數(shù)只要把該復(fù)數(shù)乘以ej t ,再取其實(shí)部就可以得到 i (t _ 2 l c o s C t o ) A掌握三角函數(shù)式，相量的復(fù)數(shù)表達(dá)式和相量圖形表示，并理解它們之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)換關(guān)系和意義，是穩(wěn) 態(tài)正弦交流電路中相量計(jì)算的根底。6.3.正弦量的相量表示的應(yīng)用對于圖6-9 ( a)所示的電路，假設(shè)兩條支路中的電流為h 二-2l1cos( t1)i2 = 2Jcos(，t 2)iiRii i2 R2*I I圖 6-9a那么，總電流i =h +i2=

20、 Re、.2lej jJ Re&lej 2 ej '= Re邁川 |l2ej 勺= Re、2llej l-21 cos，t Il = I, |l2由上式可知，要計(jì)算總電流i只要知道總電流的相量 I即可，于是兩個(gè)同頻率的正弦電流相加問題，就轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)正弦電流對應(yīng)的相量的相加問題，即把三角函數(shù)的相加轉(zhuǎn)化為兩個(gè)復(fù)數(shù)的相加運(yùn)算。以上 是轉(zhuǎn)換的推導(dǎo)過程，以后的計(jì)算直接轉(zhuǎn)換為相量利用Ml, l2相加即可。我們還可以在相量圖上直觀地來分析兩個(gè)正弦量的相量相加的意義。電流ii與i2的相量I,、|2，如圖6-9b、c所示。(b) t=0(c) t=t i圖6-9相量圖當(dāng)t=O時(shí),相量處于初始位

21、置。按兩個(gè)相量相加的平行四邊形法那么，作山、|2平行四邊形或首尾依次連接得合成相量I，如圖6-9 b所示。當(dāng)t=t i時(shí),相量|,、I?以角速度隨時(shí)間逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了ti角度，平行四邊形或首尾依次連接得合成相量I，如圖6-9 c所示。分析6-9b圖，合成相量I的初相位，應(yīng)根據(jù)圖 6-9 b求得。由圖6-9 b和c可見t=O時(shí)和 t等于任意時(shí)刻，其合成的相量 I的幅值不變，因此只要畫出 t=O時(shí)，的相量圖，即6-9b圖就可以求 出三要素中初相位和幅值或有效值。綜上所述，分析了正弦函數(shù)相量式與三角函數(shù)式的關(guān)系，正弦函數(shù)相量圖與波形圖的關(guān)系，簡言之, 正弦量可以用以下四種表達(dá)方式：三角函數(shù)式，如，i

22、 t二2 Icosf t A ； 波形圖如圖6-2 ； 相量式如 6-i2式或6-i3式； 相量圖如圖6-8 。正弦量的這四種表達(dá)方式可以相互轉(zhuǎn)換，各有特點(diǎn)，對正弦量運(yùn)算，用相量式更簡便，用相量圖做 輔助分析比擬直觀，下面通過例題，進(jìn)一步說明同頻率正弦量的轉(zhuǎn)換表達(dá)方式等問題。例6-2寫出以下三角函數(shù)式的相量式、并畫出相量圖h(t)二 _14.14cos(628 103t 60 )mAu2(t) =220、2sin(314t -120 )V解 注意，首先要統(tǒng)一用 cos或sin函數(shù)表示正弦量，而且表達(dá)式前的負(fù)號要等效到其初相位中，變 換后還要注意初相位是否超出其取值范圍。據(jù)此，兩個(gè)正弦量應(yīng)首先變

23、換為h(t) =14.14cos(628 103t 60 -180 ) =14.14cos(628 103t-120)mAu2(t) =220.2cos(314t-120 -90360 ) =220、2cos(314t 150 )V所以，兩者(對應(yīng)的)相量式為11 =10. - 120 mAU2 =220 150 V相量圖相量圖中的水平參考，可以不用畫出，請讀者自己畫出對應(yīng)的波形圖。 從的三角函數(shù)式，可以直觀的找到幅值、角頻率，和初相位三個(gè)要素； 從波形圖可以直觀的看到幅值、周期T和初相位三個(gè)要素。 從相量式和相量圖中可以直觀的找到幅值(或有效值)、初相位兩個(gè)要素；可以認(rèn)為角頻率，被隱含在相量

24、式的“ 中，因此，寫相量式或畫相量圖時(shí)，一定不能丟掉大寫字母上方的“*，如果只寫大寫字母表示有效值， 大寫字母上方的加 “ *，表示一個(gè)完整的正弦量的相量式。而小寫字母表示隨時(shí)域變化的三角函數(shù)式，請大家一定注意寫法的不同，代表的物理意義各不相同。6.4 KCL、KVL相量形式由基爾霍夫電流定律(KCL)，在任意時(shí)刻，對電路中任一節(jié)點(diǎn)，流出該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù) 和恒等于零，即h心2廠3 +ik =0或簡記為送ik =0k當(dāng)電流均為同頻正弦量時(shí)，可對上式兩邊用相量表示，有I 1 I 2 I Tk=0 或簡記為.一 I k = 0( 6-14)k此即KCL的相量形式，可表述為，任一結(jié)點(diǎn)上，同頻

25、正弦電流對應(yīng)相量的代數(shù)和等于零。同樣，由基爾霍夫電壓定律(KVL)，當(dāng)支路電壓均為同頻正弦量時(shí)，有U1 U2 U3Uk=0 或簡記為' Uk =0(6-15)k此即KVL相量形式，可表述為，任一回路中，同頻正弦電壓對應(yīng)相量的代數(shù)和等于零。由于振幅相量與有效值相量僅有2倍的差異，所以對振幅相量，KCL和KVL的相量形式同樣成立。實(shí)際應(yīng)用中，總是先畫出所謂原電路對應(yīng)的相量模型，然后根據(jù)相量模型直接寫出KCL方程和KVL方程的相量形式。要特別強(qiáng)調(diào)的是，KCL、KVL的相量形式并沒有什么新的物理意義，本質(zhì)上，其所反映的仍是其對應(yīng) 的正弦量在時(shí)域內(nèi)每一時(shí)刻滿足KCL或KVL。由于只有相量才對應(yīng)其

26、正弦量，所以要特別注意，只有相量才滿足 KCL或KVL ,其有效值不滿足 KCL或KVL。i,(t) =3、. 2cos(314t)A，例6-3 在圖6-11a中，電流的參考方向如圖，且電流i2t =3、2cos314 60 A，求另一電流 i3t。圖6-11例6-3圖(a)解 1將正弦量的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為相量式-相量的正變換，得山=3 0 I2 = 3 6 0根據(jù)節(jié)點(diǎn)A的KCL13 二11一|12=3.0一 3.60=3.03/-120 =3/- 60 A2將正弦量的相量式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式-相量的反變換，得i3t =3.2cos314t-60 A也可在復(fù)平面上用圖解法求解|3， II1 -1

27、2，如圖6-11b所示。也可用最大值表示相量，此時(shí)得到的是I3m。6.5電阻、電感和電容元件VCR的相量形式電阻、電感和電容這三種根本二端元件都可以視作最簡單的單口。下面講解這三種元件VCR的相量形式，并對其正弦穩(wěn)態(tài)下的特性做深入分析。1.電阻0 +16Ca b c圖6-12電阻的時(shí)域模型、相量模型和相量圖電阻R的時(shí)域模型如圖6-12 a所示，設(shè)電流和電壓呈關(guān)聯(lián)方向，其中iRt =2|RC0S，t *J，iR = Ir :i根據(jù)歐姆定律URt二 RiRt6-16可求得uRt二.2RI Rcos t 6-17可見，其電壓有效值是電流有效值的R倍，電壓與電流同相。直接對6-17式寫出相量式，可求得

28、電阻的 VCR的相量形式為Ur 二 RIr.1 二 RUr式6-18可分解為有效值的關(guān)系和輔角的關(guān)系，即工 Ur =RIr此結(jié)果與時(shí)域分析結(jié)果一致。(6-18)(6-21)由式6-18可得，電阻 R的相量模型如圖 6-12 b所示，式6-18可根據(jù)此相量模型按歐姆定 律直接寫出。圖 6-12 c是電阻的相量圖，其簡明地說明了其電壓相量和電流相量的關(guān)系，電阻元件上電壓和電流同相位。a b c圖6-13電感的時(shí)域模型、相量模型和相量圖2.電感電感L的時(shí)域模型如圖6-13a所示，其中電流和電壓呈關(guān)聯(lián)方向，設(shè) ijt二.2ILCOS4，那么lL = ：i，根據(jù)楞次定律電感的VCRd iLt ULt=L

29、 2 6-22dt可求得uLt = -2 L lL sin t 1二 L、21L cost 廠 90 6-23可見，其電壓有效值是電流有效值的L倍，并電壓超前電流 90。直接對6-23式寫出相量式，可求得電感的VCR的相量形式為Ul = LIl i 90： = LIlJ ' ej90 因?yàn)?amp;=債"又ej90°=j， 譏=妙口1 6-24式6-24可分解為有效值的關(guān)系和相位的關(guān)系(6-25)當(dāng)；-； 06-13Ul"LIlk 札=%+90。由式6-25，定義XL二L為感抗，具有電阻的量綱 k； | ；與電阻不同，感抗隨頻率改變: 時(shí)直流，L 0 ,電

30、感相當(dāng)于短路；當(dāng)；：；：一-時(shí)，L ，電感相當(dāng)于開路。圖6-13 b是電感的相量模型，式6-24可根據(jù)此相量模型并按歐姆定律的形式直接寫出。圖c是電感的相量圖。3.電容a圖6-14電容的時(shí)域模型、相量模型和相量圖 電容C的時(shí)域模型如圖6-14a所示，其中電流和電壓呈關(guān)聯(lián)方向，設(shè)uc t h2Uc cos t u，那么 Uc 二 Uc u根據(jù)電容的VCR可求得xtrc 豈®dtic (t) = C、2Uc cos( t u 90 )(6-26)可見，其電流有效值是電壓有效值的C倍，并電流超前電壓 90。直接對6-26式寫出相量式，可求得電容的 VCR的相量形式為因?yàn)閨lc = CUc

31、( u 90 CUcej uej90 t&C = Uc _ - u又ej90j-'rl C = j Be U C式6-27也可分解為有效值的關(guān)系和相位的關(guān)系Ic=CUc> 90由式6-28，定義x =丄為容抗，具有電阻的量綱 心】；與電感的特性相反，當(dāng)國tcoC電容相當(dāng)于開路；當(dāng) 時(shí)，1> 0，電容相當(dāng)于短路。灼C圖6-14 b是電容的相量模型，式6-27可根據(jù)此相量模型并按歐姆定律的形式直接寫出。圖 c是電容的相量圖。(6-27)(6-28)0時(shí)，丄:，-C6-144.電阻、電感和電容的 VCR的相量形式總結(jié)根據(jù)本節(jié)的分析，可總結(jié)出，電阻、電感和電容的. VCR的

32、相量形式為Ur=RIrUl = j LIlUc5.受控源的VCR的相量形式 最后分析受控源的 VCR的相量形式。其中控制系數(shù)g為常數(shù)，當(dāng)控制電壓它們都具有歐姆定律的的形式。以 VCCS為例，其控制關(guān)系為it =g utut是正弦量時(shí)，受控電流it也是同頻正弦量，因此，有(6-29)=gu式中 1=1.= i(t), u =u . u= u(t)。式6-29就是VCCS的VCR的相量形式，圖 6-15是VCCS的相量模型，可見形式上與時(shí)域模型完 全相同，只是將電壓、電流換成了對應(yīng)的相量。VCR的相量形式和相量模型，其結(jié)果與比照上述分析方法，我們也可得到其他三種類型的受控源的 上述VCCS類似，這

33、里不再贅述。圖6-15 VCCS的相量模型6.6正弦交流電路的阻抗、導(dǎo)納及等效阻抗的概念上一節(jié)分析了單一參數(shù)的正弦交流電路，引出了感抗、容抗，下面通過分析 路，進(jìn)一步介紹阻抗和導(dǎo)納的概念。圖6-16 a所示單口 N是一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)下的無源單口，其端口電壓RLC串聯(lián)電路和并聯(lián)電ut和端口電流it對單口而言呈關(guān)聯(lián)方向。a b c圖6-16單口的阻抗圖6-16 b是無源單口N所對應(yīng)的相量模型 N ，其中的端口電壓和端口電流均以其對應(yīng)的相量表示。記端口電壓相量為 u，端口電流相量為I =1/%,兩者也呈關(guān)聯(lián)方向，那么定義z6-30IZ為單口 N.,的阻抗，也稱為復(fù)阻抗或輸入阻抗。顯然對確定的頻率，阻抗Z

34、是一個(gè)復(fù)常數(shù)，并具有電阻的量綱門。下面通過實(shí)際電路進(jìn)一步說明，阻抗的計(jì)算規(guī)那么也同電阻的計(jì)算規(guī)那么完全一樣。(a)圖6-17 RLC串聯(lián)電路圖6-17a是RLC串聯(lián)電路，設(shè)加在其端口的鼓勵(lì)是角頻率為的正弦電壓U，那么，在支路上將產(chǎn)生同一頻率的響應(yīng)，如圖中I，根據(jù)KVL得U 二U R Ul Uc1 1式中，令 Z = R j 丄R j( L ) = R j(xL -Xc) = R jX，得j©CoCU = I Z上式，與式6-30相同，Z稱為該串聯(lián)電路的復(fù)阻抗，它等于端電壓相量與相應(yīng)電流相量的比值。復(fù)阻抗的極坐標(biāo)表達(dá)式Z = R + jX = zZ<Pz復(fù)阻抗Z在代數(shù)形式中，實(shí)部

35、R稱其為電阻，虛部X稱其為電抗局部X = XL - Xc，合起來稱為 復(fù)阻抗。在極坐標(biāo)形式中，Z是復(fù)阻抗的模，輔角鵜稱為阻抗角。兩種形式可以互化?？蓪⒆杩筞 = R + jX或Z = ZZEz畫在復(fù)平面上，如圖6-18所示，其Z、R和X構(gòu)成直角三角形，稱為阻抗三角形，所以有2 2 2(6-31)(6-32)R2X2z = ar ct anR根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算規(guī)那么，式圖6-18阻抗三角形6-30可分解為其模的關(guān)系和輔角的關(guān)系Z +Z 八u 一 i(6-33)在RLC串聯(lián)電路中，其總阻抗 Z的特性是由角頻率-和電感L、電容C的值決定的，如果感抗 Xl 大于容抗 Xc，即卩X 0，那么阻抗角;Z .0

36、,這時(shí)電路阻抗呈感性，電路中的電壓超前于電流。如果容抗Xc大于感抗Xl，即X ：:0,那么阻抗角 Z : 0,這時(shí)電路阻抗呈容性，電路中的電壓滯后于電流。如果X=0，即容抗Xc等于感抗Xl，那么阻抗角;：Z= 0，這時(shí)電路阻抗呈純電阻性，電路中的電壓與電流同相位。如圖6-17 b是圖a的相量圖，因?yàn)槭谴?lián)電路每個(gè)元件上流過相同的電流，所以，設(shè)I =1. 0，圖b簡明地說明了相量間的關(guān)系假設(shè) 役汕。說明，對圖6-17 b出現(xiàn)了電壓三角形，其中的一個(gè)直角邊是電阻電壓Ur,另一直角邊是電抗電壓U l U c，斜邊是總電壓 U，對圖6-18的阻抗三角形每個(gè)邊同乘電流串聯(lián)電流相同，便得圖6-17 b的電

37、壓三角形。此時(shí)的電壓三角形與阻抗三角形是相似三角形。推廣，圖6-19是兩個(gè)阻抗 乙、Z2串聯(lián)的電路，I是端口電流的相量， U二是端口電壓的相量，I與U呈關(guān)聯(lián)方向。由KcL的相量形式可知，串聯(lián)電路中電流相量是相同的，所以由KVL的相量形式有U =Z“ I Z2 I =0 Z2) I其中Zi Z2可等效為一個(gè)阻抗 Z ,z 二 Zi Z2當(dāng)有n個(gè)阻抗串聯(lián)，進(jìn)一步推廣，那么Z 二乙 +Z2 +HI + Zn662導(dǎo)納的概念圖6-19兩個(gè)阻抗的串聯(lián) 在相量法中還用到導(dǎo)納的概念。在如圖6-16 b所示的關(guān)聯(lián)方向下，定義丫二 U = G jB 二 丫 y 6-34Y為單口 N時(shí)的導(dǎo)納，也稱為復(fù)導(dǎo)納或輸入導(dǎo)

38、納；G為Y的電導(dǎo)局部，B為Y的電納局部；丫為Y的模，；y為Y的導(dǎo)納角。由阻抗和導(dǎo)納的定義式 6-30 和6-34可見，導(dǎo)納是阻抗的倒數(shù)，因此單口 N也可等效為導(dǎo)納 Y , 如圖6-16 c所示。形式上，導(dǎo)納對應(yīng)電阻電路中的電導(dǎo)。導(dǎo)納具有電導(dǎo)的量綱S。F面通過實(shí)際電路將進(jìn)一步說明，導(dǎo)納的計(jì)算規(guī)那么同電導(dǎo)的計(jì)算規(guī)那么完全一樣。"is6i g 1gQicir+C十UclfiL* IseIglcQC 士1 Il+ 1 Uc j.L(a)(b)圖6-20 GCL并聯(lián)電路導(dǎo)納是阻圖6-20 a是RLC并聯(lián)電路的時(shí)域模型，首先將其變成對應(yīng)的以導(dǎo)納表示的相量模型,抗的倒數(shù)，如6-20 b所示，設(shè)加在

39、其端口的鼓勵(lì)是角頻率為，的正弦電流，如圖中IS，那么,在支路上將產(chǎn)生同一頻率的響應(yīng)，設(shè)每個(gè)元件上的電壓為U ，根據(jù)KCL得IIg Ic I L=U G U j C U二 U(G j C11式中，令 Y =G j C，得Zj«L(6-34)UIs =U Y =U 二 u 0；，圖Z如圖6-20c是圖a的相量圖，因?yàn)槭遣⒙?lián)電路每個(gè)元件上的電壓相同，所以，設(shè)c簡明地說明了相量間的關(guān)系。綜上，電路并聯(lián)的問題也可以用阻抗來計(jì)算，完全可以按個(gè)人的習(xí)慣，在此注意它們的實(shí)質(zhì)還是歐姆定律，當(dāng)然，阻抗是廣義的，它可能只是一個(gè)純電阻或是一個(gè)純電抗等。例如，當(dāng)只有一個(gè)電感元件時(shí)， 此時(shí)的阻抗就是感抗，當(dāng)一個(gè)

40、電感和電容元件串聯(lián)時(shí)，此時(shí)的阻抗就是電抗，不管怎樣阻抗對應(yīng)直流電路 中電阻的特性。F面再看一個(gè)例6-4單口 N. 的相量模型如圖 6-21所示，其端口電壓為 uC(t) h$2 10cos314t,求單口的阻 抗，及電流I1、I、ii、i o圖6-21例6-4圖解可求得單口 N.，的阻抗為10 15Z =1 j21 j2 2 j4 =3 j6 門10 + j5電壓的相量式U =1 o. o v總電流3 j6 一1.563.4 A進(jìn)一步，由分流公式可求相量反變換求出山 血 I =0.67 0 A10 j5i,t) =0.67 一 2cos314ti (t) =1.5、“2cos(314t -63

41、.4)6.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般分析方法相量法的原理在相量和阻抗概念的根底上，本節(jié)具體講解線性非時(shí)變電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析一一相量法，它是正弦穩(wěn) 態(tài)分析的一般方法。首先，有了相量和阻抗的概念以后，就可以將電路的時(shí)域模型變換成其相量模型。在相量模型中，電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變相量模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與原時(shí)域模型相同，只是電壓、電流以相量表示，R、L、C元1件分別以R、j .L、表示，受控源也以其相量模型表示。那么相量模型下的電路方程，電路的拓?fù)鋔«C約束KCL、KVL和元件的約束 VCR，均可以統(tǒng)一寫成相量形式，例如：二 I k = 0k、Uk =0kU =ziI這些電路方程形式上與電阻電路的方程完全相

42、同。電阻電路的各種分析方法， 如支路電流法、節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法等，疊加定理、戴維南定理等，均是以KCL、KVL及元件的VCR為根底推導(dǎo)出來的。既然在電路的相量模型下，電路方程形式上與電阻電路的方程完全相同，那么根據(jù)類比原理，那么電阻電路的各種分析 方法均適用于相量模型的分析，這就是相量法。所以可以說，在一定程度上，相量法“只有新概念，沒有 新方法。相量法的一般分析過程從相量法的原理可知，相量法的根本是在相量模型下完成對時(shí)域模型的求解，一般應(yīng)遵循以下步驟建 立電路的相量模型并求解：1相量的正變換 一一由正弦鼓勵(lì)的時(shí)域形式，變換成對應(yīng)的相量形式。也就是將電路的時(shí)域 模型變換成其相量模型，電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

43、不變，其中 R、L、C元件都用阻抗或?qū)Ъ{表示； 將獨(dú)立電源和待求的電壓、電流等都用其相量表示； 受控源變換成其相量形式。2在相量模型下，比照前四章直流穩(wěn)態(tài)的電路定律、定理和分析方法，解待求電壓和電流的相量 及其它問題。3根據(jù)題目要求，進(jìn)行 相量的反變換 一一得到時(shí)域模型的解或進(jìn)行其它分析。以上步驟，具有一般性。有時(shí)，根據(jù)和所求變量的不同，步驟可以省略或變化。下面將通過例題 做具體說明。例6-5 圖6-22a是一種40W日光燈正常工作發(fā)光時(shí)的電路模型，其中燈管的電阻約為R =250Q,鎮(zhèn)流器等效為電阻 Rl = 50 Q和電感L = 1.6H的串聯(lián)，電源電壓為220V 50Hz。求電路的電流、鎮(zhèn)

44、流器的端電壓、燈管的端電壓。(a)圖6-22例6-5圖解 電路的相量模型如圖 6-22(b)所示，可求得鎮(zhèn)流器的復(fù)阻抗為ZL = R+jcoL =50 +j314漢1.6 =50 + j502.4 =505/84：。電路的總復(fù)阻抗為Z =ZL R =50 j502.4 250 =300 j502.4 = 585.2 59.2 11電路的電流為鎮(zhèn)流器的端電壓為燈管的端電壓為U 220Z 二 585.2二 0.376AUL =I ZL =0.376 505 = 190VUr=IR=0.38 250 = 94V思考1為什么Ur UL -U ？2驗(yàn)證 UR UL =U。例6-6 正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖6-2

45、3 a所示，其中電壓源ust = 6 3 COS2 -30 ，電流源ist =3、2cos2t -30 A，求電流 L。解法 1 1相量的正變換Us =6z -3 0|IS =3/- 30°A ；2相量模型如圖 6-23b所示，由.-2rad /s可計(jì)算出的各阻抗的值，也已標(biāo)記在圖中。下面分a)(b)3用結(jié)點(diǎn)法求解。選節(jié)點(diǎn)u1和u 2的節(jié)點(diǎn)方程為0圖6-23例6-6圖0為參考點(diǎn)，關(guān)于未知節(jié)點(diǎn)電壓Ui -UsUi -U2 丄J u-+可解得進(jìn)一步可求得4相量的反變換Ui 二 jIs，U2 二Us - jIsl)L =Ul _U2 = jUs 2|IS =6、2 15 A jiL(t)

46、=12cos(2t 15 )A以上第3步用了節(jié)點(diǎn)法求解，當(dāng)然也可以用其他方法，見如下分析。13，方向均為順時(shí)針方向，顯然解法2用網(wǎng)孔法求解。設(shè)由左至右，網(wǎng)孔電流相量分別為|1、|2、I3 =ls，因此關(guān)于未知網(wǎng)孔電流I1、I 2的網(wǎng)孔方程為(T 一 j)li 一(7)12 =Us-(-j)Ii (j -j2)I2 jIs可求得解法3用疊加定理求解 Us單獨(dú)作用時(shí)的分響應(yīng) I s單獨(dú)作用時(shí)的分響應(yīng) 由疊加定理，Il "2 = jUs 2IsIL 二 jUsIL =2IsIl "L IL JUs 2Is一L或C電路，方程僅是一階二階微分方程的求解就比擬繁11章講的運(yùn)算法較適宜。

47、定理和分析方法列些方程，此時(shí)不但解1-1根據(jù)諾頓定理，此含源單口可等效為其諾頓等效電路，并且，當(dāng)其輸出阻抗Z。1 、 丫。二、即輸出解法4用戴維寧等效電求解。將節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2間的0.5H電感移出去，那么從端口1-2看進(jìn)去為一含源單口，其開路電壓U OC =52Us(-J"-s)Us'jIS-J - J2其輸入阻抗ZO就是其對應(yīng)的無源單口的等效阻抗1Zoj=-j1"J2由此可求得Il 二出 JUs 2Is Zo J請讀者探討其它的求解方法。說明，1-4章以直流穩(wěn)態(tài)(即電阻電路)為背景，所闡述的電路定律、定理和分析方法，完全可以推 廣到各類電路的分析。電阻電路不用涉及微

48、積分方程，因此比擬簡單。隨著分析的深入第 5章開始動(dòng)態(tài)電路的分析，還是利用1-4章講到的電路定律、定理和分析方法列些方程，但此時(shí)電路中的電壓、電流發(fā)生變化，因此出現(xiàn)了微積分方程，對單 微分方程，求解結(jié)果可歸納為三要素形式。當(dāng)電路僅出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件時(shí)， 瑣，此時(shí)在利用前四章講到的電路定律、定理和分析方法的根底上，用第 第6-10章是交流的穩(wěn)態(tài)分析，還是利用前四章講到的電路定律、出現(xiàn)了微積分方程，而且還有正弦函數(shù)，因此引入相量法。例6-71導(dǎo)納Yo -r c0時(shí)，此 含源單口就等 效為一個(gè)理想電 流源，可滿 足題目要求。因此由JOL1 11Yo - j C0，可求得，：。即當(dāng)時(shí)，R變化時(shí)I不變。J

49、 L. LC. LC例6-8一含有受控源的單口如圖 6-25所示，求其輸入阻抗。0 CZI+uiq r=打=9)圖6-25 例6-8圖解法1簡單。假設(shè)在端口處施加電流等于求含有受控源的無源單口的輸入阻抗，應(yīng)采用外施電源法。具體到此題，采用加流求壓法更I的電流源，那么可求得端口電壓為1暑也魯戶UJ 1 s1 +j«C u與呈關(guān)聯(lián)方向，因此可求得其輸入阻抗為解法2也可以采用加壓求流法。假設(shè)在端口處施加電壓等于U的電壓源。首先采用節(jié)點(diǎn)法求出節(jié)點(diǎn)的電壓u1，那么端口電流I =- Ul。請讀者自行練習(xí)。1相量圖法在前面幾節(jié)我們已注意到，相量圖可以簡明地展示各相量之間的關(guān)系。在用相量法分析正弦穩(wěn)

50、態(tài)問題 過程中，如果利用相量圖做輔助分析-相量圖法，那么可以使概念和分析過程更加簡明和清晰。在相量圖法中，首先要確定所謂參考相量參考相量對應(yīng)參考正弦量初相位。由于并聯(lián)電路的電壓 相等，所以對并聯(lián)電路，一般取并聯(lián)電路的電壓相量為參考相量；由于串聯(lián)電路的電流相等，所以對串聯(lián) 電路，一般取串聯(lián)電路的電流相量為參考相量。為使問題簡化，一般的，假定參考相量的初相位為0，其它的電流、電壓相量的初相位，可根據(jù)元件的阻抗確定。下面結(jié)合例題來說明具體做法。例6-9在圖6-26a所示的RC串聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路中， 電壓表讀數(shù)分別為，V1 : 40V，V2：30V，求總電壓u的有效值U。(a)解電路的相量模型如圖6-2

51、6 b所示。設(shè)端口電流為參考相量，即設(shè)I =1. 0：A，那么由條件和元件的VCR，可知，電阻電壓為UR I =401 0 V，電容電壓為 U2 - - j I =301/ -90 V， qC這樣電阻電壓相量和電容電壓相量模和相位根據(jù)相量運(yùn)算的平行四邊形規(guī)那么，可求得總電壓均，相量圖如圖6-26c所示，總電壓U =U1 UC， U =50/- 37，所以，總電壓u的有效值U等于50V。由本例可見，正弦穩(wěn)態(tài)電路中，正弦量的疊加，不僅與有效值有關(guān)，還與相位差有關(guān)。本例中，電阻電壓和電容電壓不同相，所以總電壓不等于70V！例6-10 在圖6-27a所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容電流有效值|C為100A，

52、電感電流有效值lL為141A，并且端口電流I和端口電壓U同相，求I的有效值。解 設(shè)端口電壓為參考相量，U =U 0 V，那么由條件可知，電容電流為 1lC二cu=10090 A，電感電流為IIU =141 L A，- 90 ： L : 0 電感支路呈感R j L性；而端口電流為I=Ic+Il，并由，I與U同相，所以如圖6-27 b所示，電流I、lc、Il構(gòu)成直角三角形，因此可知，電感電流為|L =141 -45 A，端口電流為I =100 0 A，I的有效值是100A。(a)(b)圖6-27例6-10圖6.8有功功率、無功功率、視在功率和復(fù)功率正弦穩(wěn)態(tài)的功率問題較復(fù)雜，并具有其特點(diǎn)。1. 瞬時(shí)功率我們首先回到時(shí)域模型，從瞬時(shí)功率展開分析。o +Utt)N(a)(b)圖6-28單口 N的端口電壓和端口電流如圖6-28 (a)所示，設(shè)單口 N的端口電壓u(t)和端口電流i(t)呈關(guān)聯(lián)方向，設(shè)u(t)二、2U cos( t )i(t)=罷 cost)并記端口電壓相量 U二u.二端口電流相量i=i. 0。根據(jù)已有知識，單口 n所吸收的瞬時(shí)功率為p(t)=u(t)i(t)=2UI cos( t : )cos( t)、 1根據(jù)積化和差公式 cosCOS cos(、；'') cosC -)可求得2p(t)= U lcos(2 十® +) U