近世代數(shù)期末試卷7

1、近世代數(shù)復習思考題一、基本概念與基本常識的記憶(一) 填空題1. 剩余類加群Z12有4個生成元.2. 設群G的元a的階是n，則ak的階是.3. 6階循環(huán)群有 2_個子群.4. 設群G中元素a的階為m，如果ae，那么m與n存在整除關 系為一ml n 。5. 模8的剩余類環(huán)Zs的子環(huán)有4個.6. 整數(shù)環(huán)Z的理想有 _無窮多個個.7. n次對稱群Sn的階是n!。& 9-置換勺2 3 4 5 6 7 8 分解為互不相交的循環(huán)之積是一Q43961827 丿9. 剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S= : 0 , : 2 , :4 ，則S的單位元是10. Z24中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23.

2、11. 凱萊定理的內容是：任一個子群都同一個變換群同構。12. 設G=(a)為循環(huán)群，那么(1 )若a的階為無限，貝U G同構于整數(shù)加群, (2)若a的階為n,則G同構于 _單位根群。13. 在整數(shù)環(huán)Z中，+3） =；14. n次對稱群Sn的階是15. 設 2為群G的子群，則A1A2是群G的子群的充分必要條件為。16. 除環(huán)的理想共有 2個。17. 剩余類環(huán)Z5的零因子個數(shù)等于 0.18. 在整數(shù)環(huán)Z中，由 2, 3生成的理想是 .19. 剩余類環(huán)Zy的可逆元有 6個.20. 設Zu是整數(shù)模11的剩余類環(huán)，則Zu的特征是1121. 整環(huán)1=所有復數(shù)a+bi（a,b是整數(shù)），貝U I的單位是22

3、. 剩余類環(huán)Zn是域二n是素數(shù).23. 設Zy =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6是整數(shù)模7的剩余類環(huán)，在Zy x中，（5x-4）（3x+2）=.24. 設 G 為群，若 |a=12，則 |a8 =3。25. 設群G= e, a1, a?,，a”1,運算為乘法，e為G的單 位元，則 a1n =_e_.26. 設A=a,b,c，貝U A到A的映射共有 6個.27. 整數(shù)環(huán)Z的商域是.整數(shù)加群Z有2個生成元.29、若R是一個有單位元的交換環(huán)，I是R的一個理想，那么R |是一個域當且僅當I是。30. 已知“ 2 3 4 5為S5上的元素，則-1 = 。G 12 5 4 丿31. 每一個有限群都

4、與一個 置換群群同構。32、設I是唯一分解環(huán)，則I X與唯一分解環(huán)的關系是二、基本概念的理解與掌握。（二）選擇題1.設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A X B中含有（）個元素。B.5A. 2C.7D.102.設A = B= R（實數(shù)集），如果A到B的映射:X x+ 2, - x R,則是從A到B的（A. 滿射而非單射B單射而非滿射C.6D.8C.6D.8C.映射D.既非單射也非滿射3. 設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（）個。B.42C.6D.84、 G是12階的有限群，H是G的子群，則H的階可能是（）A 5 ; B 6; C 7;D

5、9.5、 下面的集合與運算構成群的是（）A 0 , 1，運算為普通的乘法；B 0，1，運算為普通的加法；C -1 ，1，運算為普通的乘法；D -1，1，運算為普通的加法；6、 關于整環(huán)的敘述，下列正確的是（）A左、右消去律都成立；B左、右消去律都不成立C每個非零元都有逆元；D每個非零元都沒有逆元7、 關于理想的敘述，下列不正確的是（）A 在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的象是理想；B在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的逆象是理想；C除環(huán)只有兩個理想，即零理想和單位理想D環(huán)的最大理想就是該環(huán)本身.8、整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是（）。A.1個B.2個 C.4個 D.無限個9、設M2（R）=a打a,b,c,d R, R為

6、實數(shù)域；按矩陣的加法和疋d丿乘法構成R上的二階方陣環(huán)，那么這個方陣環(huán)是 （）。A.有單位元的交換環(huán)B無單位元的交換環(huán)C.無單位元的非交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)10.設Z是整數(shù)集，(T (a)=丿當a為偶數(shù)時2a+j當a為奇數(shù)時i2,Z，貝V彷是R的().A.滿射變換B.單射變換C.一一變換D.不是R的變換11、設A=所有實數(shù)x, A的代數(shù)運算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個子集 的同態(tài)滿射的是().A、X 10xB、x 2xC、x |x|D 、x -x .12、 設是正整數(shù)集Z上的二元運算，其中aGbmaxCab (即取a與b中的最大者)，那么在Z中()A、不適合交換律B、不適合結合律

7、C、存在單位元D、每個元都有逆元.13. 設S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) ，則中與元(1 2 3)不能交換的元的個數(shù)是()A、1B、2C、3D、4.14、設G,t為群，其中G是實數(shù)集，而乘法；:a；)b二a b k，這 里k為G中固定的常數(shù)。那么群 G,C中的單位元e和元x的逆 兀分別是( )A、0 和- x ； B、1 和 0; C、k 和 x-2k ； D、-k 和-(x 2k)15、設H是有限群G的子群，且G有左陪集分類 HaH,bH,cHl如果h|=6,那么G的階g =（）A、 6 B、 24C、 10D、 1216.

8、整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是（）.A、1個B、2個C、4個D、無限個17、 設f：Ri R2是環(huán)同態(tài)滿射，f（a）=b，那么下列錯誤的結論 為（）A、若a是零元，則b是零元B、若a是單位元，則b是單位元C、若a不是零因子，則b不是零因子D、若R2是不交換的，則R1不交換18. 下列正確的命題是（）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)19. 下列法則，哪個是集A的代數(shù)運算（）.A. A=N, a b=a+b-2B. A=Z,a b=-bC. A=Q, a b= abD. A=R, a b=a+b+ab20. 設A=所有非零實數(shù)x,A的代

9、數(shù)運算是普通乘法，則以下B. xf映射作成A到A的一個子集A的同態(tài)滿射的是（）.A. x f -x1x1C. x fD. x f 5xx21.在3次對稱群S3中，階為3的元有（）.A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個22 .剩余類環(huán)Z6的子環(huán)有（）.A. 3個B 4個C. 5個D. 6個23、設a,b,c和x都是群G中的元素且x2a = bxc,acx = xac ,那么x =（）A. bca ； B.ca，；C. abe ； D.bca。24、設f：GG2是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（）A. f的同態(tài)核是G的不變子群；B. G的不變子群的象是G2的不變子群。C. G的子群的象是

10、G2的子群；D. G2的不變子群的逆象是 G的不變子群；25、設H是群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH?。如果H=6，那么G的階G =（）A.6 ；B.24；C.10；D.12。（三）判斷題（每小題2分，共12分）1、設A、B、D都是非空集合，則A B到D的每個映射都叫作二元運算。（）2、 除環(huán)中的每一個元都有逆元。（）（非零元）3、如果循環(huán)群G二a中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù) 加群同構。（T）4、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（）5、域是交換的除環(huán)。（T）6、唯一分解環(huán)I的兩個元a和b不一定會有最大公因子。（）7、設f: G g是群g到群g的同態(tài)滿射，a G

11、 ,則a與f （a） 的階相同。（）8、 一個集合上的全體一一變換作成一個變換群。（F ）9、 循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。（T ）10、整環(huán)I中的兩個元素a, b滿足a整除b且b整除a, 則 a= bo （）11、 一個環(huán)若沒有左零因子，則它也沒有右零因子。（F ）12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f，。 （T ）13、如果環(huán)R的階-2，那么R的單位元 仃0。（）14、指數(shù)為2的子群不是不變子群。（F ）15、 在整數(shù)環(huán)Z中，只有土 1才是單位，因此在整數(shù)環(huán) Z中 兩個整數(shù)相伴當且僅當這兩數(shù)相等或只相差一個符號。（）16、 兩個單位；和的乘積；也是一個單位。（）17、環(huán)K中素元

12、一定是不可約元；不可約元一定是素元。（）18、由于零元和單位都不能表示成不可約元之積，所以零元 和單位都不能唯一分解。（）19、整環(huán)必是唯一分解環(huán)。（）20、在唯一分解環(huán)K中，p是K中的素元當且僅當p是K中的 不可約元。（）21、設K是唯一分解環(huán)，則K中任意二個元素的最大公因子都存在，且任意二個最大公因子相伴。（）22、整數(shù)環(huán)Z和環(huán)QLx 1都是主理想環(huán)。（）23、K是主理想環(huán)當且僅當K是唯一分解環(huán)。（）24、整數(shù)環(huán)Z、數(shù)域P上的一元多項式環(huán)Px 1和Gauss整環(huán)Z 1都是歐氏環(huán)。（）25、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是唯一分解環(huán)。反之亦然。（）26、 歐氏環(huán) 主理想環(huán) 唯一分解環(huán) 有單位元的整

13、環(huán)。（）27、 設環(huán):R,的加法群是循環(huán)群，那么環(huán)R必是交換環(huán).（T）28、對于環(huán)R,若a是R的左零因子，則a必同時是R的右零因子（ F）29、剩余類Zm是無零因子環(huán)的充分必要條件是 m為素數(shù).（T）30、整數(shù)環(huán)是無零因子環(huán)，但它不是除環(huán)。（T）31、 S2=于是M 2 (C )的子域.()2 0 J32、 在環(huán)同態(tài)下，零因子的象可能不是零因子。()33、理想必是子環(huán)，但子環(huán)未必是理想.()34、群G的一個子群H元素個數(shù)與H的每一個左陪集aH的個 數(shù)相等.()35、有限群G中每個元素a的階都整除群G的階。(T)二、基本方法與技能掌握。(四) 計算題1 .設 為整數(shù)加群，：；-求Z : H =

14、?解二在Z中的陪集有：0 + ff=5z|zEZ 1 十1 十5糾占7 2 十2 十5糾 W2) ) )3十77=3十5糾上込,4十丹=4十5名|込,所以，Z : H = 5.2、找出S的所有子群。解：S3顯然有以下子群：本身；(D) = (1) ； (12) = (12), (1) ;(13) = (13), (1) ; (23) = (23), (1) ;(123) = (123), (132), (1) 若S3的一個子群H包含著兩個循環(huán)置換，那么H含有(12), (13)這兩個2-循環(huán)置換，那么 H含有(12) (13) = (123), (123) (12) = (23),因而H=S3

15、。同理，若是S3的一個子群含 有兩個循環(huán)置換(21), (23)或(31) , (32)。這個子群也必然 是S3。用完全類似的方法，可以算出，若是S3的一個子群含有一個2-循環(huán)置換和一個3毎環(huán)置換，那么這個子群也必然是S3。3. 求Zi8的所有子群。解Zi8的子群有= 一 ； =1；:JI-.；J厶；5=9 - 2ig = 0j./ 1 2 3 4 5 6 74. 將表為對換的乘積.解 (7 = (1 7X2 3 6 4) = (1 7)(2 3)(3 6)(6 4).容易驗證：；(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5. 設按順序排列的13張紅心紙牌A, 2, 3,

16、4, 5, 6, 7, 8, 9,10, J, Q, K經一次洗牌后牌的順序變?yōu)?, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9問:再經兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的解 每洗一次牌，就相當于對牌的順序進行一次新的置換.由題意知，第一次洗牌所對應的置換為r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I 3 8 13 1 4 10 12 11 5 7 6 2 9 丿則3次同樣方式的洗牌所對應的置換為r 1 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 12 13 XI 9 6 5 13 3 12 8 10 1 2 7 11 4 J6. 在Z6中,計

17、算:丨； (2);!-;4 1 解 (2) 2 二 _ 一 _ 一；(3) -； 1 一 二-：.7. 試求高斯整環(huán)二丄的單位。(可逆元)解設(二；二)為_ |: |的單位,則存在I; -| , 使得=,于是1 = 11= (o + bi )(c + di )(a + 6 i )(c + di)=3+備(衣+旳因為-J-f：-,所以從而；：,-.,或 匚-.因此可能的單位只有1_ 1* i _ i.顯然它們都是引i的單位.所以訂恰有四個單位1? li ? 一i 8. 試求Z12中的所有零因子與可逆元，并確定每個 可逆元的逆 元素.解由定理可知:1U心丄為Z12的全部零因子.（2）為Z12的全部

18、可逆元.直接計算可知，相應的逆元為1 1 1 1 ,r ,.9、找出模6的剩余類環(huán)Z6的所有理想。解：R=0，1，2，3，4，5。若I是R的一個理想，那么I 一定是加群R的一個子群。但加群R是循環(huán)群，所以它的子群一定也是循環(huán)群，我們有Gi= (0)=0G2 =（1）=(5)=RG3 =(2)=(4)=0, 2, 4G4 =(3)=0,3易見，G1， G2， G3， G4都是R的理想，因而是 R的所有理想。10. 在Z12中，解下列線性方程組:| 3工十= 62x y = 1解：f 、x卜 1-5丫6、IIa 一1 丿 l1 丿13r23人1丿即工=11, 9 = 9.11 .求Zi8的所有子環(huán)

19、 解設為Zi8的任一子環(huán)，則是Zi8的子加群，且存在二；, 訓18,使得 十)二行).d的可能取值為1, 2, 3, 6, 9,12相應的子 加群為A =二 Zia,fa=(2) = 2Zifl = OJJ, &瓦 12#14#18,h= (?) =3乙坤=0*瓦&玄12*兩,Z4 = (6) = 6Zlfl = 0,6(12,Zs = (9) = 9Zifi = 09,人=(18) = 18 Z 坤=直接驗證可知，以上六個子加群都關于剩余類的乘法封閉 ，所 以它們都是Z18的子環(huán).于是Z18恰有6個子環(huán):0? Z2Z曲 3Zig? 6Zie? 9Z)g,12.試求二的所有理想.解設為二的任意

20、理想，貝為二的子環(huán)，貝VI = ATi , dZ,且圧仝 u.對任意的二士 心,-,有da 曲=- d) E rfZ da - z z- du rfZ 從而由理想的定義知，：二為二的理想.由此知，二的全部理想為 dZ,且才A 0.13、數(shù)域F上的多項式環(huán)F Lx 的理想(x2 1,x5 x3 1)是怎樣的一個主理想解 由于 X5 X3 1 -X3 X2 1 =1，所以 1- I：x2 1,x5 X3 1，于是得253x 1,x x 1 = 1 二 Fx。14、在：心中，求二-一的全部根.解共有16個元素：,二 將它們分別代入可知共有下列4個元素-，,-,-為二-1的根.15. 試舉例說明，環(huán)R

21、X1中的m次與n次多項式的乘積可能不是 一個m+n次多項式.解例如，環(huán)Z6 X中多項式f (x 2x3 X2 - 3x 5 與 g(x)二 3x2 1的乘積f (x)g(x) =3x4 - x3 4x2 - 3x 5就不是3+2次多項式.16. 求出域Z3上的所有2次不可約多項式.解 經驗算得知，Z3上的2次不可約多項式有三個，它們是：X2 1,X2 x -1,X2 - x-1.17、指出下列哪些元素是給定的環(huán)的零因子(1)在M2(f)中.設=-1 C = F 210 一1 0 一4 2 一2(2) 在Zi2中，它的全部零因子是哪些.(3) Zu中有零因子嗎？解(1) | A|=|C | =

22、0= A,C是零因子，但B不是.(2) Z12 中的零因子為2,3,4, 6,8, 9, 10(3) 乙i中沒有零因子.19.舉例說明，非零因子的象可能會是零因子.20設R為偶數(shù)環(huán)證明：N 二如 r R_R.問：N4；是否成立？ N是由哪個偶數(shù)生成的主理想？解：1) _4n,4m N,n ,m R :4n-4 m = 4 (n - m) N, n-m R故(4n - 4m)，N , N為子加群。2)另夕卜一門 R, -4r N,r R(4r)n 二 4(rn) N, rn Rn (4r) =( n4)r =(4 n)r=4( nr) N, n R= n r R,故 n(4r),(4r)nN.總

23、之有 N = 4r r 乏 RlR.另方面，由于N = Ur r R 一 , 16,8,0,8,16,且4 N.而且實際上N是偶數(shù)環(huán)中由8生成的主理想，即N =4rr R=(8= 8r + 8nr R,z=，但是4= = Qnn,8, 4,0,4,8 因此，N4.實際上是N = 84.21、舉例說明，素理想不一定是極大理想。22、設H二(1),(12),求S關于H的所有左陪集以及右陪集解 S3 = (1 ) , ( 1 2) , (1 3) , ( 2 3),(1 23),( 1 32 )H 的所有左陪集為：(1)H =(12)H =(1),(12) =H ；(13)H =(123)H =(1

24、3),(123) ； (23)H =(132)H 二(23),(132).H 的所有右陪集為：H (1) = H (12)二(1),(12)；H(13) H (132) =(13),(132) ； H (23) = H (123) =(23),(123).四、綜合應用能力（五）證明題1 .在群中,對任意 二方程.二與L 都有唯一解. 證明 令；一：利 那么故.： .：為方程鳥.的 解。又如T為二1的任一解,即 氣則少= a 飛口少）=aL6這就證明了唯一性.同理可證另一方程也有唯一解.2. 全體可逆的階方陣的集合關于矩陣的乘法 構成一個非交換群.這個群的單位元是單位矩陣每個元素（即可逆矩陣卜的

25、逆元是上的逆矩陣丄.證明(1) 設三都是.階可逆矩陣,貝則卜,-,從而 AB = A-BQ.所以且占也是階可逆矩陣.這說明矩陣的乘 法是心江的代數(shù)運算；(2) 因為矩陣的乘法滿足結合律,所以 丫匸的乘法也滿足結 合律；(3) 設二為.階單位矩陣，貝U引一-故人*,且對任意的 L，,有EA = AE = A所以，U是*1：的單位元.設則:從而丄可逆,設為丄的逆 矩陣，貝UW：故：；-，且止丄丄丄2.所以丄的逆矩陣丄為丄在中的逆元.因此，丄U構成 群.由矩陣的乘法易知，當時是非交換群.3. 二。那么H是S3的一個子群。證明I.H對于G的乘法來說是閉的，(1) (1)=(1), (1)(12)=(1

26、2), (12)(1)=(12), (12)(12)=(1);II. 結合律對于所有G的元都對，對于H的元也對;V.(1)(1)=(1), (12)(12)=(1)。4. 一個群G的一個不空有限子集H作成G的一個子群的充分而且必要條件是：匸已-:匚證明 必要性。H是G的非空子集且H的每一個元素的階都有限。若H是子群，則由子群的條件必有-a,b H - ab H;充分性。由于H是G的非空子集，若一 a,b H - ab，H ;又 H的每一個元素的階都有限二 a H, n N, an 二 e_ aan詔二 e_ a二 anH，綜上知H是G的子群。6. 群亠的任何兩個子群的交集也是一的子群.證明設二

27、壯為1的兩個子群，貝y(1) 所以 eeHQ K,即 HCK 蓋 0；任給qgRnk,e hnk,則 比e r, 百e k, 因此仃k；(3)任給- r; I二；那么二艮-,因此二上X上八, 所以I L從而由定理2知匕是二的子群.7. 設弓為亠的子群.則弓在二中左陪集的個數(shù)與右陪集的個數(shù) 相同.證明 設丄，三分別表示 三在中的左、右陪集所組成的集合.令 卩:A 一B:工 hi- ,- h_ J.則是丄到F的雙射.事實上(1) 如果丄上,那么廠二，,故；小一二所以，士. ：-.于是,:為丄到_?的映射.(2) 任給乩-心有+廠；-亠,因此，：,為滿射.(3) 如果莎-三：-那么己 因此，1 上,

28、從而得1為雙射.即三在中左陪集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同.8. 有限群的任一元素的階都是群一的階數(shù)的因子.證明 設G的元a的階為n,則a生成一個階是n的子群，由 以上定理，n整除G的階。9. 設匚與為群,是 一與一的同構映射，則(1) 如果為的單位元，貝V 一為的單位元；(2) 任給二j 為的逆元,即證明(1)因為r.r r 2 由消去律知，二為 二的單位元.(2) 任給毗。-J = t) =0G的單位元)，從而知 j 為的逆元.所以，J卞I10. 如果是交換群，則的每個子群 三都是二的正規(guī)子群. 證明 因為匚為交換群，所以二的每個左陪集-/也就是右陪集12. 設 G = GG(R), H=3L

29、R),則恥G.證明(1)丨,-I ,則總匸Jl 所以，養(yǎng)“T為小.的子群.任給：一；.， -宀.,則|CAC-l| = |C| |A| |C|-l = l.所以,CAC_SLff(JJ),從而 3N(R)1GLR).13. 群二的任何兩個正規(guī)子群的交還是二的正規(guī)子群.證明設三與乂為、的兩個正規(guī)子群，：則1為二的子 群.又任給】二二.則因為三與土都是的正規(guī)子群，所以 ；丄 匚 亠所以,二 二人.故丄-匸.14. 設二與二是群是二到二的同態(tài)映射.(1) 如果】是匚的單位元，則土是匸的單位元；(2) 對于任意的二丄匚是二在？中的逆元.即P(Q-1)=(皆何廣證明(1)因為是一的單位元，設丁是匚的單位元，貝Vb華= 習佃)=甲3 - e)= 羽)習)從而有消去律得:-,貝U .：二證明設上-目貝貝I-君7因為三無零因子,且 ,所以:,從而-.同理可證另一個消去律成立.27、 群G的兩個子群的交集還是 G的子群。證明：設Hi、H2為G之子群，a、b HiA H2,貝U a、b Hi,且 a、b H2.又 Hi、H2為子群，故 ab-1 Hi, ab-1 H2,從而 ab-1 Hi n H2.又顯然e Hi nH2, 即卩HinH2非空，故h” H2