課件第二章解析函數(shù)

1、華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversityofscienceandtechnology第2章函數(shù)本章要討論的問題：函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與1.的判別法（C-R方程）2.初等函數(shù)的性3.函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系4.2012-9-20華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of scienceandtechnology=f (f若函w數(shù)處處可導(dǎo),稱z )在點(diǎn)z及0的z某領(lǐng)域內(nèi)定義0( z)在0z。若f (z)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn)則稱f(z 為)D 上的函數(shù)或稱f(z)在D內(nèi)。若f( z )在點(diǎn)0z不, 則稱z0 為 f(z)的一個(gè)奇

2、點(diǎn)。注意：（1）函數(shù)在一點(diǎn)處與在一點(diǎn)可導(dǎo)不等價(jià)(2) 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的。函數(shù)概念一、02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology論函數(shù)f (z) =z2例1討.|的|性。| z2 除| 了在 z = 0 處可( z )=由前面的討論可知,f|z2( z )=導(dǎo)外 , 在復(fù)平面上處處不可,導(dǎo)因此,f|在復(fù)平面上處處不。例2. 討論函數(shù) f (z)= 1 的性。z-1(¢z=)由于 fz2=z所以,f (z )除了外0 處處可導(dǎo)。1函在數(shù)復(fù)平面上除了 z = 0 點(diǎn)外

3、處處,因此。z02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology=0z的) 奇點(diǎn) 但,前者在 z = 0以上兩例,中z都是 f (處可導(dǎo), 后者在 z = 0 處不可導(dǎo)。函數(shù)的性質(zhì)：( z ) ±）1)z2f 若z()g(、f、(z)則f¹ (gg ( 、z )（內(nèi)(f（(g）h) z=若g)z/(g) z(仍) z在 D0 內(nèi)。, 函數(shù) w =ÎD ,(z在)平z面上區(qū)域 D 內(nèi), 若"對(duì)zz)在=fg( h)在平h 面上區(qū)域 G 內(nèi)h( z )Î

4、=f G則,復(fù)合函w數(shù)g(;內(nèi)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案of scienceandtechnology(¢f設(shè)=f (且z "Î,D) ¹z3）w而wz )在0,（內(nèi)=h(內(nèi)(f)的z反函數(shù)zw)在相應(yīng)的區(qū)域1h=(¢G 內(nèi)連續(xù), z 則( w在), 且 hw)=(¢fz)（4）一個(gè)所 有函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上點(diǎn)的集合必為開集。；由以上性質(zhì)可得如下結(jié)論：an-1) a0+n z多項(xiàng)P式 z=(+z"a+n-1 zna在+ 復(fù)平面1上。P( z )

5、z¹Q(的0 區(qū)域內(nèi)為有理分式函數(shù)在函數(shù)。Q (z)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscience andtechnology 二、柯西黎曼方程 定理(可導(dǎo)的充要條件）)u= x() + iv)y內(nèi)某一點(diǎn)zD =+fz(,y(x在,xiy可導(dǎo)的充要條件是 :u( x,y) 、v(,x在)該y 點(diǎn)可微, 且滿足方程,-稱上述方程為柯西 黎曼方程C(R方程)還可推出：z)= ¶u + i ¶v= ¶v - i ¶u¶u¶v¶y1i(¢f=

6、15;+（證明略）¶x¶x¶y¶y¶y02012-9-2¶u = ¶v ,¶u=¶v¶x¶y¶y- x¶華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of scienceand technology定理 ( 函數(shù)的充要條件 )f函z(數(shù) )u=, y ) +( xiv(在, x其)定y 義域 D 內(nèi)的充要條件是:, y) 、v滿足方程 :ux(x ,在y)內(nèi)處處D 可微, 而且02012-9-2¶u = ¶v ,&

7、#182;u=¶v¶x¶y¶y- x¶華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology說明：-(1f是) 否滿足CR方程是定理的主要條件, 如果)在-(z)在D內(nèi)不滿足C。 滿足CR方程,那么f(zD-內(nèi)一定不條件。(DR方程是的必要)在內(nèi)滿足C -(f2 若z)方R程,具u有一v階、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)( 從而v 、v在內(nèi)D 可微),則f( z) 在D 內(nèi)。= x(u y) + iv推f論: z函(數(shù) )u,y、vxf(x,在 )y內(nèi)有定義D ，u存yv在、且連續(xù)，并滿足若

8、Cx、-R方程,則z)在內(nèi)。02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchina universityofscienceandtechnology例3:以下函數(shù)的可導(dǎo)性與性x= e(=)=(cos y + 2iyRze(1)f(2f) fz) z(zisyin)x)2z(3(x cosy,xye=x(=:(1u)解(x, y)v,)esiny¶u =¶uxxy ¶,=e- sinecosy¶xy¶v =¶vxxy, =eesincosy¶x¶y02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East ch

9、ina university變換課程教案of science and technology在復(fù)平面內(nèi)這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),則 u(x ,y)、且, 滿足C-v (x,)y處處可微R條件于是,由定理知f (z)在復(fù)平面上處處。) z(=+2 ,x)2)=x2iy(u2fx, =)2yx(, yv(y¶u¶u¶v¶v2=,=0=0,=x,y2¶x¶y¶x¶y¶u=¶v-x在復(fù)平面連續(xù)且¶y¶但僅當(dāng)y=x時(shí)才有 ¶u = ¶v¶x¶y0201

10、2-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology)僅在 y=所以f不) f(z=)x(z。上x可導(dǎo), 從而在復(fù)平面上處處)=(3(zzRze+(iyRe= xx )=2y)x+xyfzz)ixy=x2 , v( x , =uy,¶u¶u¶v¶v¶ 2=0, = y,= xx,¶y¶x¶yx=在y= 0 時(shí)= 0z 點(diǎn)這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù), 但僅當(dāng)x才滿足C-) = zR,條件所, 以f( zRe僅z?？蓪?dǎo),故f(z 在)

11、復(fù)平面處處不02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology3設(shè)fz(z)在D內(nèi),證明 :若滿足下列條件例之一,則f在D內(nèi)必為常數(shù):f ¢ (z Rfef|=)(1)(2)0z =(常數(shù))z( = 常)(3)數(shù)|02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscienceandtechnology若f ¢ (z =，)證( ：1)0即z)= ¶u + i ¶v=¶u¶v = 01(

12、62;×+iy¶yf¶x¶x¶¶u = ¶v = ¶u = ¶v = 0于是¶x¶x¶y¶yz(=)u +所以u(píng)、 v為常數(shù),f即為iv常數(shù)。所¶以u(píng) = ¶u = 0z(= 常) 數(shù)R方程得 :即常u數(shù)=,2（R）e f由C-,0¶x¶y¶v = ¶v =¶x¶yz 為)即 u、v為常數(shù),從而f(常數(shù)。02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china unive

13、rsity of science andtechnologyz )為|常數(shù) 即u,2+ v2為常數(shù)，所以（3|f）(2u ¶u + 2v ¶v =，20u ¶u + 2v ¶v =0¶x¶xR方程 :¶y¶yu ¶u - v ¶u =0,v ¶u + u ¶u = 0-代入C¶x¶y+ v¶x¶y得到:(¶u¶u+)¶ =0) =2222uv, u (0¶yxu若+=2v2u =0v = 則f(2

14、v00¹則,)z =0則¶u = ¶u = 0若u 2+從而u為常數(shù)。¶x¶y同理可推得v為常數(shù)。所以 f (z)為常數(shù)。02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology參照以上例題可進(jìn)一步證明:如果f(z)D內(nèi)(則以,下條件彼此等價(jià).在區(qū)域f ¢(z=)2)0;z(= 恒) 取實(shí)值;(1) f( z =)(;4)f(z;(3)f常數(shù)z( =(常)數(shù)6z ( = 常)數(shù)z =(常數(shù))(5)Ref);Imf;7 v) =u2(;(8)arg

15、 f.02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscienceandtechnology-例4證明CR方程的極坐標(biāo)形式是¶u=¶v¶u¶v¶r1r× q ,=-r¶q¶r¶證明:令q ,y),qsiny ,x c=orsy = rv=u (=,uxvx()由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及 C條- 件R,得到02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchina universityof scienceandtechnology¶u

16、82;u¶x¶u¶y =¶u¶ucosq×+ sinq=×+×׶x¶y¶ru¶q¶¶x¶r¶y¶r= ¶u× x¶+ ¶u× ¶y¶u¶ur sinq¶ × +r cosq=-×yq ¶x q¶¶y¶¶x¶v = ¶v × &#

17、182;x + ¶v × ¶y=¶u× +¶u-cosqsinq×x¶y¶¶r¶vq¶¶x¶r¶y¶r¶u+¶u= ¶ v× ¶x+ ¶v× ¶yr sinq×r cosq=×q ¶x q¶¶y¶x¶y¶¶u=¶v1r× q比較一式與四式 ,:得&#

18、182;r¶¶u=¶v×比較二式與三式 ,得 :-r¶q¶r02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology思考：判別正誤：¢ ( z0為f (（1 ）若f存) 在，則f(z0)在z0點(diǎn)。（）2z的z ) 奇點(diǎn)，則f( z在)0z點(diǎn)不可導(dǎo)。0）3（z0為f(z )g、(的z奇) 點(diǎn)，f (z)z ) +則也f是(g(、z)的奇點(diǎn)。g (z)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversit

19、y ofscienceandtechnology2.2 初等函數(shù)及其性 1.指數(shù)函數(shù) 對(duì)z"=x+x+ iy =e,iy定義關(guān)系式定義e= ey s+ini。z(cxos)y為復(fù)數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)e z還可以用exp(z表示)特別地：y=0,即z取實(shí)數(shù)時(shí) , 與實(shí)指數(shù)函數(shù)定義一致;當(dāng)iy=cos=+ i當(dāng) ziy時(shí), 得到 Euler:公式eysiny02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of scienceandtechnology指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)+ y p 2=( z =e )z|,x Arg(1 e )| e為k 整(數(shù) k

20、)e z還可以用exp( z表示) 。2 e)z 在復(fù)平面內(nèi)處處有定義, 且是單值的；(ez¹ 0+z3z)對(duì)",CÎ2=e×有,z1z2z(ze1e12證明留作練習(xí)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchina universityof scienceandtechnologye)以p 2i為周期z(4+2ip=e2p××= ，ze事實(shí)上e ，zez5 e )z 當(dāng)®zzien+2 ip=e2pni =ze ze時(shí)¥ 無(wú)極限(證:因?yàn)楫?dāng) z 沿實(shí)軸正向趨于 + ¥ 時(shí),zlime

21、=xlim=e+¥®z¥®x+¥z=x >0當(dāng) z 沿負(fù)實(shí)軸趨于 ¥ 時(shí),z=ex-¥=limelim®x0®z¥z=x <002012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案of science andtechnologye z)¢ =(6指)數(shù)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上ez,z并且(ex1zy2 cos(y)2ex+2y2z 2x-=)e1|例|e R, e（ex+2y22=xiy+)2x-22y +2解ze(ixy= ee:xy11

22、z-i+ iy=x2e+2y2+2= exxye02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversityof scienceandtechnology 二、對(duì)數(shù)函數(shù) w=z ¹0=定義滿足方程 e(z的)函數(shù)wz(f)z,稱為對(duì)數(shù)函數(shù)= Ln, 則 ievuw記作iq ,u rreq+ iv =0k= ,i若z 令 re=w=u+q2+p于是有e := ,=v"1± ,(k)lnu =,得: 到v = Arg zz ¹ (r0),由此lwn0為多)值函數(shù)02012-9-2| = | z+ iArgz¹ (z華

23、東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science andtechnology當(dāng) Arg z 取主a值rgLn z 的主值, 記為z時(shí),Lz為n一單值函數(shù), 稱為lnarg因而Lnzi+2k plnz =(k= ±±1,2,.)表示其它各分支,對(duì)每個(gè)k,上式表示一個(gè)單值函,數(shù)稱為 Lnz 的一個(gè)分支。02012-9-2zl=n| z +| iz華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology例2Ln(Ln解(的主值 :i 3計(jì)算下列函數(shù)值及它們)ei

24、(-()-) Ln ( -3- | +i1)11)123)1Ln(= ln|-)Arg()( kp2+ pln=+i1)+1 p)i(2= k為k( 整數(shù)=1pi )0 k = ,3時(shí)得主值ln( -當(dāng)-3i) =ln -i|3 + iArg3-|)Ln(i(33)p-k(p=ln3+i22) (k為整數(shù))602012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscienceandtechnology2 - p 3i0k =,時(shí)得主值ln當(dāng)6) i =i |i+i|3)Ln(elnee (Ar(garg)= )ei1(+ 2k p +0 =1i+2k

25、 p( i=1)為k( 整數(shù))L得eni 的主值為 ik0 =時(shí),當(dāng)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscience andtechnologye-z1+-i= 0例3解:3解方程e對(duì)z=zL=n(13i兩端取對(duì)數(shù),得 :3 i+ p+1+pk=iln 3 |2(k+ p)1+i|2()3)p3=i2+ln(取k 整數(shù)x+ e=iy 1e|=, x 1令= x,+ iy+i | =:zi332或即有 x =lnArg(1+2,3 i =p+p=y)2k( 取整數(shù)k)3+2i æ p2+ pk ö所以 z=

26、31; 3÷lnèø02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology注意：在實(shí)函數(shù)中 , 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是(0,+¥而), 復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是除 z = 0 外的全體復(fù)數(shù) ;實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)是單值函數(shù) , 而復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)。, 可以得到復(fù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) :由輻角的性質(zhì)z1× z） z1)=2)=z1L+n(1)Ln(z2LnzLn -2（Ln(zLn12z2注意： 以上兩式理解為兩端可能取的函數(shù)值的全體是。相同的02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)

27、變函數(shù)與變換課程教案East china university of science andtechnology性 :對(duì)數(shù)函數(shù)的l=n|+主ln值z(mì)|z的ia在rzg除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上是并且 d(ln= 1z)dzzLn z 各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也, 且具有相同的導(dǎo)數(shù)值。02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university of變換課程教案science and technology三、冪函數(shù)za= eaLnz(=z ¹ 0稱w為a任意復(fù)常數(shù),)為冪函數(shù)。za1(除 a 為整數(shù)外)一般是多值函數(shù)當(dāng)) a 為整數(shù)時(shí),(2ka = ei

28、alnzippk+2=a z=(lnez)=e×ezaeaLnalnz為單值函數(shù)整數(shù))2 當(dāng)) a =( p zeq)p ppk 2+( iargz +ln=arzg+ kpz+ ( iln2)az= e qq02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案science and technologyEastchinauniversityof p ln zéùpp= e qcos êz) a+rgksin+ 2izar+g ( (k)ú2qqëûp具z, 個(gè)值即0取,k =12 ",q ,- ( 時(shí)相應(yīng)1,的)

29、 值.特殊情況:當(dāng)a=n 正(1)整數(shù) 時(shí)),znenLn=e Lnz =Len=(指數(shù) n 項(xiàng)因子 n 個(gè)因子 n 個(gè))z+Lz+n"L+nzzLzn"×L×enz× e= z × z ×"× z.02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchinauniversityofscienceand technologya = 12 當(dāng))1,時(shí)n11kp2kp2ùLnz+éargzargzln zn= e+ i sinnenzêë cosú&

30、#251;n+nkp2kp2ù+1 éargzargz=+ i sin=zn êë cosnz ,úûn2n10其,中1k =, " , n( -).3 當(dāng)) a 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí), za 有無(wú)窮多值。(02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university of變換課程教案scienceandtechnology2.1冪函數(shù)的) 冪函數(shù) zn性在復(fù)平面內(nèi)是單值(,的) n¢ =nzn-1.(z1(2) 冪函數(shù) zn是多值函數(shù), 具有n個(gè)分支.它的內(nèi)是各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面的

31、,¢¢æö1næö11n¢1= (z) = ç eè-1nLnzçzè÷ø÷ =z nn.ø02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology1n外,a)=z出(去 a=(3w）是多值函數(shù)n由于 Ln z 的各分支在除去原點(diǎn)和,負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)za因而也是各分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)d的。a-1=a z azdz02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變

32、函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology(+1 i 1-i。) 的值求i, i例4i 2 ( p +2p2kp-2kp-)解:=ii Lni= e=eie(k為整數(shù))2-i)()-iLn(+ i( 11+ i1=e1)p+p(k1- i)ln+(i2 2)= e4+ppp )+i 2 (+pk ln(ln+-2 2k2)= e44p +2kp2e 4pp=colsn(-2) + isiln( -2)440k =,±1(,.)02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china universi

33、ty of science andtechnology 四、三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 由Euler公式 y 為實(shí),數(shù)時(shí),e-iy=cosiy=coysi+-ye iyeysi，nsiine-y+iye-e iyiycos y =sin y =從而有,2i2由此, 我們定義復(fù)變量的三角函數(shù) :ize-eiz-sinz =正弦函:數(shù)2i+均為單值函數(shù)。e-eizizcosz =余弦函:數(shù)202012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology2012-9-20華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china unive

34、rsity of變換課程教案scienceand technology性質(zhì) :(1)czos是偶函數(shù),sinz 是奇函數(shù) , 即-zco=s-szin=(-cos()z ,z )sinczos 以p 為周2期(2()sin、z;3)sinzz在co復(fù)s、平面內(nèi)處處且z c¢o=sz(c¢o=s-(sin)z,z)sin(4三) 角恒等式成立)1 z± si2n=cosz2±sin(zz 1z cos2zsin102012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversity of science andtechnology1

35、z±c2os=cosz2m1=(n ppcos(z)z 1co2s zz sin2zsin12z +=sin=0n0,±n,=(5)szin的零點(diǎn):是z"1,±)n p+(cos z 的零點(diǎn)是z=:1,.)2(6)|1=例如：取ziyye> e- i (e-y+e+i( iy )iy)ye因?yàn)?cos( iy = )=2¥)2¥|2®, 所以 |有co®siy當(dāng) y(02012-9-2sinz | £、1|z £cos不再成|立。華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china universi

36、ty變換課程教案ofscienceandtechnology2z2sinz不總是非負(fù)的。3 - i)注意co，s,-e i ( -e( i3i)2例如：i 3= )-(2sin2ie-3ö2e-3æe-(e323)÷ =ø-= çè42i:其它三角函數(shù)tan z = sin zcos zcotz = ,cos zsin z11sec z = ,cscz =cos zsin z02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchina university of scienceandtechnology雙曲函數(shù):e-e- z

37、-+zzzeez h=,cosz =hsinzcz22sinh和 co¢s=osz在復(fù)h平面內(nèi), 并且hz¢o=sh)hz,(c關(guān)系:z)sinh雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的（利用定義即可推得）=iz=sinihzizsiin coszh,cozsz,i sincos z h iz ,=sincosh1cos02012-9-2h2z-sin2z =h華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology=hi5例解方:程sinze-zz-e= i解: 方程等價(jià)于21 =z-2iez-即(e)20所以有=zeLni,i2=

38、 p ()+k p(z=0 k,±1i,.)202012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science and technology§2.3函數(shù)與 調(diào)和函數(shù)的關(guān)系調(diào)和函數(shù) :如果實(shí)二元函數(shù)u (x,y在)區(qū)域 D 內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 并且滿足 Laplace 方程:¶ 2u + ¶ 2u =0¶x 2¶y 2則稱u (x,為y)區(qū)域 D 內(nèi)的 調(diào)和函數(shù) :定理D 內(nèi)的函數(shù) , 它的實(shí)部和虛部任何在區(qū)域都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。)=u+證明：f設(shè)z(iv為內(nèi)的D函數(shù),¶

39、;u = ¶v ,¶u=¶v-x則¶x¶y¶y¶02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與East china university變換課程教案ofscienceandtechnology¶ 2u =¶ 2v¶ 2u=-¶ 2v,從而¶x¶y¶x¶y¶x¶y22由于則u函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)與v具有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),¶ 2v¶ 2v=¶y¶x ¶x¶y¶ 2u&#

40、182; 2u¶ 2v¶ 2v+ ¶y2= 0¶x2 + ¶y2= 0從而同理¶x2u即 ( x ,y)、v(,x都)是y 調(diào)和函數(shù)。02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science andtechnology共軛調(diào)和函數(shù)u 設(shè)(x ,y),v (x,是區(qū))y域 D 內(nèi)的兩個(gè)調(diào)和函數(shù),¶u = ¶v ,¶u=¶v-x且滿C足-方R程¶x,¶y¶y¶則v (稱x,y)(ux在) 區(qū)y域內(nèi)的D

41、 共軛調(diào)和函數(shù).是= x() + ivf定z 理(v)u( x,y(x在,)y內(nèi)的D 充要條件是 :,y ) 是u(,x的共) y軛調(diào)和函數(shù).注u意：(若x, yy ), v( x,是y區(qū)) 域,x不一) y定是內(nèi)的任D 意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)函數(shù).+u( x,iv(02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of science andtechnology,3y而32 x為調(diào)y和函數(shù) , 并求其共軛,y =)-1例驗(yàn)u 證x(z(=)u+調(diào)和函數(shù)v (x,y)從,函數(shù)fiv一個(gè)¶u=¶ 2u=解:因?yàn)?6 xy-6 y¶

42、;x¶x 2¶u=¶ 2u- 3x= 6 y223 y¶y¶y2¶ 2u¶ 2u+= 0 u (x,為y)調(diào)和函數(shù)。所以¶x2¶y202012-9-2已知一個(gè)函數(shù)的實(shí) 部u (x,（y) 或虛部v(,xy)可求其虛(部v, x ) （y或?qū)嵅縰( x , ）y ).華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案science and technologyEastchina universityof¶v = ¶u=6-xy,得由¶y¶x¶vv = ò - 6

43、xydy=-3 xy2+g (x)+¢ ( =-23ygx)¶x-¶v=¶u ,2g +( ¢-y3y-x=)+3223 xy由得：¶x¶òx+=)dx=xv+323yCgx (函數(shù) :從而得到=)y-3+ i (- 32+y 23xfz(x3xy)C02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversityof science andtechnologyx22y例2 已知調(diào)和u函數(shù)x (y, =-函數(shù)f+z()xy)= u +)=求一個(gè)滿足條件(f 0的0iv¶u=&#

44、182;u解:+ y=-2y+x2x¶x-¶y¶v = ¶u=由CR條件得：+ y2x¶y¶x+1=(ò x2+ y于v是)= dy2xy2 y+ j(x )2¶v¶u+j ¢ ( x = 2 y=- =- x2y)¶y¶x02012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of scienceandtechnology- 1 x2j(¢x)= -xxj( = )+C212y-12(y , =xy2+x +22vx)C得到

45、從而:1+1 y 2-2= x ()-y+ x2 y+(ix +22fz2xy)C2) =0解,得 C = 0函數(shù) :代入(f0由此得到1121= x() -y2+2+(+2y)=-2xi-z)2fzxyi2xy(22202012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East chinauniversity of scienceandtechnology(¢u)=2x= x=2 2x= (=u- 2 +y y-(+x解法f二z:iuy+y i +i+y2 -(iz)2- (i -y2 +)- ix) ixiy)( ¢=,x) =( - 2 iz)+或y令0fx)1z( = )2 -if(C2)=0得,到 C =再利(用0f01(z =2-i)2f)(z所以, 有202012-9-2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)與變換課程教案East china university of scie