影院座位設計

1、影院座位設計摘要 本文研究了電影院座位設計問題， 由于座位的滿意程度主要取決 于視角 和仰角 ，我們建立了滿意程度的數(shù)學模型，并進行最優(yōu)求 解。問題一，首先利用了加權平均數(shù)建立滿意度隨座位與屏幕距離的 變化而變化的模型，并利用 matlab 軟件對該函數(shù)進行分析，結果當 座位在最后一排時，觀眾的滿意度最大。問題二，在問題一的模型的根底上，將 角也定為變量，建立滿 意程度隨座位與屏幕距離和 角的變化而變化的模型，再對變量 x 求 相應區(qū)間的定積分，從而可以得到平均滿意度隨 角變化的模型，再 用 matlab 軟件分析模型，求得當 =20 時，平均滿意度最大。關鍵詞：加權平均數(shù) 滿意度函數(shù) 定積分

2、一、 問題重述影院座位的滿意程度主要取決于視角 和仰角 。視角 是觀眾眼 睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角， 越大越好；仰角 是觀眾眼睛到 屏幕上邊緣視線與水平線的夾角， 太大是人的頭部過分上仰，引起 不舒適感，一般要求 不超過 30 .記影院屏幕高h,上邊緣距地面高H，地板線傾角，第一排和最 后一排座位與屏幕水平距離分別為 d和D，觀眾平均坐高為c指眼 睛到地面的距離。參數(shù)， H=5m， D=19m ， 。1) 地板線傾角 =10 ，問最正確作為在什么地方？2) 求地板線傾角 一般不超過 20 ，使所有觀眾平均滿意 度最大。二、 問題的分析 根據(jù)觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角 和仰角

3、 越大越好， 越小越好，最正確位置 就是在這兩者之間找一個平衡 點，使觀眾的綜合滿意度最大。既然 >30 不可防止，那么在建立模 型時，必須將 與 同時考慮。于是本文通過對 與 分別設立權重， 建立適當?shù)淖鴺讼?，從而形成一個線性的滿意度函數(shù)。對于問題一，地板線傾角，求最正確座位所在，即將問題轉 化為求綜合滿意度函數(shù)的最大值，用 matlab 軟件做出綜合滿意度圖 像，在進行求解。對于第二問，將所有的座位想像為一個個連續(xù)的點，此時，綜合 滿意度為關于 x 與 的二元函數(shù)，先對 x 求所在區(qū)間的積分，從而求圖 1 所示：出其在所有位置上的平均滿意度，再利用 matlab 做出平均滿意度關于

4、的函數(shù)的圖形，從而可進行直觀求解三、模型假設1.忽略因視力或其他方面因素影響觀眾的滿意度；2.觀眾對座位的仰角的正切值的滿意程度呈線性；3.觀眾對座位的水平視角的正切值呈線性；4.所有的觀眾的座位等高，且為平均坐高。四、符號說明視角仰角地板線與水平線的傾角D最后一排離屏幕的水平距離d第一排離屏幕的水平距離h屏幕的高度H屏幕上邊緣離地面的高度P主觀給定 的權重P主觀給定 的權重五、模型的建立1、問題一以第一排觀眾的眼睛為原點，建立直角坐標系如其中，AB為屏幕，MS為地板線，0E為所有的觀眾的眼睛所在 的直線。那么由圖可設視覺線 0E上任意一點P的坐標為x,xtan， 屏幕上下點的坐標分別為 A-

5、d,H-c，B(-d,H-h-c), PA的斜率記為 kPA, PB的斜率記為kPB。那么直線PA與PB的斜率分別為?=?+? + ? ?+ ?尸?+ ? ?+ ?ta n? ?1 + ?(?+ ?)(?+ ?) +(?-?+ ?)(?-?+? ? + ?) / / /?- ? ?tan薩-?=?+ ?30?°?tan(30 ° -9=1+ ?30 ° ?由我們假設的模型可知，滿意度 S的表達式為:S = ?tan (30 - B)這里主觀設定P =P，再對S關于x的函數(shù)分析可得到其在其定義域 上的最大值，即所求。2、問題二 如上文建立坐標系，將 角設為變量，可得

6、此時滿意度?= ?tan(30 ° ®再對S1求其x 0,D-d上的定積分得到總的觀眾滿意度，再除以D-d得到平均滿意度S2,即：?-?r ?=.J0 1?-?那么得到的S2是關于 的函數(shù)，再對該函數(shù)進行分析，得到最大值及滿足條件的六、模型求解1、 問題一 運用matlab軟件對上面的S函數(shù)作圖見附錄二，如圖2所示:圖2由上圖知，當時，觀眾的滿意度最大，即對于我們所建立的模型，最后一排的滿意度最大。2、 問題二運用matlab軟件求出上述 L函數(shù)，在對L作圖見附錄三，如圖3所示：圖3由圖可知，觀眾的平均滿意度 S2隨增大而增大，故當=20時，觀 眾的平均滿意度最大。七、 附

7、錄附錄一 參考資料1、 鄭阿奇 曹弋 ? MATLAB 實用教程?第三版2、 王正林 劉明 ?精通 MATLAB ?升級版3、 吳禮斌 閆云俠 ?經(jīng)濟數(shù)學與建模? 附錄二 問題一的 matlab 語言x=0:0.05:14.5;y1=(1.8*(x+4.5)./(x+4.5).A2-(x*ta n(pi/18)-5+1.1).*(x*ta n(pi/18)-5+1 .8+1.1);y2=(5-1.1-x*tan(pi/18)./(x+4.5);y3=(tan(pi/6)-(5-1.1-x*tan(pi/18)./(x+4.5)./(1+tan(pi/6)*(5-1.1-x*t an(pi/18)./(x+4.5);y=0.5*y1+0.5*y3;plot(x,y)附錄三 問題二的 matlab 語言x=linspace(0,14.5,300);t=linspace(0,pi/9,300);y1=(1.8*(x+4.5)./(x+4.5).A2-(x.*ta n( t)-5+1.1).*(x.*ta n( t)-5+1.8+1.1 );y2=(5-1.1-x.*tan(t)./(x+4.5);y3=(tan(pi/6)-y2)./(1-tan(pi/6)*y2);y=0.5*y1+0.5*y