數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱數(shù)值分析課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容看上去比擬龐雜，不同的教程也給出了不同的概 括，但總的來說無非是誤差分析與算法分析、 根本計算與根本算法、數(shù)值計算與 數(shù)值分析三個根本內(nèi)容。在實際的分析計算中，所采用的方法也無非是遞推與迭 代、泰勒展開、待定系數(shù)法、基函數(shù)法等幾個根本方法。一、誤差分析與算法分析誤差分析與算法設(shè)計包括這樣幾個方面:(一) 誤差計算1截斷誤差的計算截斷誤差根據(jù)泰勒余項進行計算根本的冋題是(n 1)( x) xn 1X(n 1)!(01)，&求n。解：令 f(x)=e x,而 fk)(x)=e x,fk)(0)=e 0=1。由麥克勞林公式，可知2x彳Xe 1 x2!L

2、nxeXxn 1 (01)n! (nX(01)!當(dāng)x=1時，e11丄L2!1e(0 1)n! (n 1)!故 Rn(1)e(n31)!。(n 1)!例1. 1：計算e的近似值，使其誤差不超過10一6O當(dāng)n = 9時，期1)<10 一6,符合要求。此時,e 2.718 285。2、絕對誤差、相對誤差及誤差限計算絕對誤差、相對誤差和誤差限的計算直接利用公式即可根本的計算公式是：/_、 * e(x) = x - x = x = dx er(x)啤型魚dlnxx x x e( f (x) f (x)dx f (x)e(x) er( f (x) d(ln f (x)e(f(«X2)(為風(fēng)

3、宓 fx2 (為必川乂?fx1 (X1,X2)&xJfx (%,X2)e(x2)(f(X1,X2)( f (X1,X2)f (X1,X2)x注意：求和差積商或函數(shù)的相對誤差和相對誤差限一般不是根據(jù)誤差的關(guān)系 而是直接從定義計算，即求出絕對誤差或絕對誤差限，求出近似值，直接套用定義式e(x)或 ，xx這樣計算簡單。例1. 2:測得圓環(huán)的外徑di=10±).05(cm),內(nèi)徑d2=5±).1(cm)。求其面積的 近似值和相應(yīng)的絕對誤差限、相對誤差限。解：圓環(huán)的面積公式為：S(d1 dl)4所以，圓環(huán)面積的近似值為2 2 2S -(105 )58.905(cm )4由上述

4、討論，面積近似值的絕對誤差限為(S)4(2di (di) 2d2 (d2) -(di (di) d2 (d2)-(10 0.05 5 0.1)21.57(cm )相對誤差為(S)(S)S1.5758.905100%2.7%相對誤差要化成百分?jǐn)?shù)3、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的關(guān)系計算絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的關(guān)系依據(jù)如下結(jié)論討論:如果一個數(shù)x0.a1 玄2玄3 L an 1 anan 1L (a0)其近似值0.a a?a3 Lan 1 an是對x*的第n+1位進行四舍五入后得到的，那么x有n位有效數(shù)字，且其絕 對誤差不超過1 10 n ，即21x* x - 10 n 。 如果一個數(shù)*mx0

5、.a-ia2a3 L an 1anan 1L 10 (a10)的近似值0. ai a?a3 Lan 1 an10是對x*的第n+1位進行四舍五入后得到的，那么x有n位有效數(shù)字，且其絕 對誤差不超過1 10m n2x* x設(shè)x對誤差限為1120 a?a3 L an 1anm n10 。10m是x*的具有n位有效數(shù)字的近似值，那么其相101n反之，假設(shè)x的相對誤差限2(a11) 101 n那么x至少具有n位有效數(shù)字。例1.3 :求,3的近似值，使其絕對誤差不超過 1210 3。解：因為1、.3 2所以，化成1102由定理O.azasL a.何 10m的形式，有122，1 410 ，n=4，4位有效

6、數(shù)字。a11,m1。所以，所以近似值應(yīng)保存貝U ,31.732。例1. 4:要使11的近似值的相對誤差不超過10 4，應(yīng)取幾位有效數(shù)字?(5%)解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于10 4，那么12a1而3101 n 10 4，.1?12a14，顯然a13，此時，101 n 九 101 n 104，101 n104，即16也即6 10n 所以，n=5。例1. 5:近似數(shù)x的相對誤差限為0.3 %，問x至少有幾個有效數(shù)字? 解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9,那么0.3%1 101 n101 n - 10 n 10002(91)2 1022 10n由上可得6 10n 10

7、00 ,n2.2 ,所以取n=2。指出：也可以按首位為1 , 9分別計算，取較小者。4、計算方法的余項計算各種計算方法的余項的計算根據(jù)相應(yīng)的余項定理進行。(二) 誤差分析精度水平的分析主要依據(jù)兩個結(jié)論：相對誤差越小，近似數(shù)的精確度越高。一個近似數(shù)的有效數(shù)字越多，它的相對誤差越小，也就越精確 反之亦然。例1.6 :測量一個長度a為400米，其絕對誤差不超過0.5米，測量另一 長度b為20米，其絕對誤差不超過0.05米。問，哪一個測量的更精確些？解：0.5a；70.125%a400b0.05bb0.25%20顯然，sa <S b所以測值a更準(zhǔn)確一些。答：測值a更準(zhǔn)確一些。指出：衡量測量工作的

8、好壞用相對誤差解決這樣的題目就是三個步驟:第一，求出兩個相對誤差第二，比擬兩個相對誤差的大小第三，結(jié)論(三) 算法分析1穩(wěn)定性分析算法的穩(wěn)定性通過對計算的誤差的擴縮情況進行分析。例1. 7:設(shè)近似值To=S0=35.7O具有四位有效數(shù)字，計算中無舍入誤差，試 分析分別用遞推式1Ti i 5Ti 142.8和 Si i -Si 142.85計算T20和S20所得結(jié)果是否可靠。解：設(shè)計算T的絕對誤差為e(Ti)=Ti* Ti，其中計算To的誤差為那么 計算T20的誤差為e(T2o)=T20* T2o=( 5Ti9 142.8 ) ( 5Ti9 142.8 ) =5(T 19 Ti9) =5e(Ti

9、9)=52e(Ti8)=520e(T。)顯然誤差被放大，結(jié)果不可靠。20同理，e(S2o)1e(SO，誤差縮小，結(jié)果可靠。5指出：注意理論分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收斂性分析算法的收斂性分析主要是迭代法解方程的收斂性分析和迭代法解方程組的收斂性分析，其他計算方法的收斂性分析一般在具體計算過程中表達。(1) 迭代法收斂性判定的根本結(jié)論是：定理(迭代法根本定理)：對于任意的 f職n，和任意的初始向量X(0)職n, 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,)收斂的充分必要條件是迭代矩陣 B的譜半徑p(B) V 1。推論：假設(shè)|B 1，那么迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f

10、(k=0,1,2,)收斂。(2) 判定雅可比迭代法、高斯一賽德爾迭代法收斂的根本依據(jù)是：定理：設(shè)線性方程組Ax=b，其系數(shù)矩陣為a11a12La1naa21a22La2nA(aii0)MMMan1an2Lann那么雅可比迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件:a11a12Lai na21a22La2n0;MMOMan1an2Lann高斯-賽德爾迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件:an312La1na21a22L32n0。MMMan13n2Lann(3) 系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的方程組的迭代法收斂性：定理：系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)的線性方程組，它的雅可比迭代和高斯- 賽德爾迭代都是收斂的。指出：迭

11、代法根本定理是一般結(jié)論，對任意迭代法的收斂性都能分析。限定雅可 比迭代法和高斯-賽德爾迭代法那么不必應(yīng)用根本定理，以回避求迭代矩陣。例1. &線性方程組X! 2x2 2x3 1X! x2 x312x-i 2x2 x31求解這個方程組的雅可比迭代法和高斯一賽德爾迭代法是否收斂？解：122A111,221令1 12 2那么 301230 ,所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收斂 而2 221 0(2)010,232,2 2所以 p (Bg-s)=2>1所以高斯一賽德爾迭代法發(fā)散。-、根本計算與根本算法(一)秦九韶算法秦九韶算法是一種求多項式的值的計算方法。對任意給定的x

12、，計算代數(shù)多項式 的值，可以利用下面的方法計算:Pn(X) anXnn 1 Ian 1X La1xa0Pn(x) (L (anX an1)x an 2)x Lajx a。這種算法就是著名的秦九韶算法。是我國宋朝偉大的數(shù)學(xué)家秦九韶的偉大發(fā)現(xiàn)。 秦九韶算法可以寫成遞推的形式：sn anSk xSk 1 ak (k n 1,L 2,1,0)Pn(x) S0具體計算式，遞推格式是采用如下表格形式進行計算:akXSk ianan i an 2an 3 LQia。xsn xsn 12 Lx& xs， x$SkakxSk1Sn( an)Sn1sn2Sn3 LESS。根據(jù)遞推規(guī)那么，計算的過程是要把橫

13、線上面每一豎列的兩個數(shù)相加得橫線下 的數(shù)。其中ak由多項式給出，而每一個xsk+i那么由前一列中的Sk+i與數(shù)x相 乘得出。所以可以由最前一列逐步遞推計算出最后結(jié)果。例2. 1 :用秦九韶算法計算多項式76432px x 2x 3x 4x x 6x 1 在x=2處的值p2。解：將所給多項式的系數(shù)按降幕排列，缺項系數(shù)為012 03416122006410810032549計算過程如下： S7 = a7= 1 o x. S7= 2o ss=a6+xs7=-2+2=0 豎向相加 重復(fù)以上過程。S0= 一 1 一 8 一 9 o所以，p2 9o二有效的根本算法所謂有效的根本算法是指，根據(jù)算法設(shè)計的原那

14、么，設(shè)計出的一些求值計算的根本算法，這些算法防止了兩個相近的數(shù)相減、較小的數(shù)作除數(shù)等使得計算誤差增大的問題，減少了計算次數(shù)，通過調(diào)整計算順序防止了大數(shù)吃小數(shù)例2. 2:指出以下各題的合理計算途徑對給出具體數(shù)據(jù)的，請算出結(jié)果1 1 cos1 ° 三角函數(shù)值取四位有效數(shù)字2 ln30302 1對數(shù)函數(shù)值取六位有效數(shù)字3 1 cosx 其中x的絕對值很小sin x45127x100 /1n 1 n(n 1)x解：1 1 cosx 2sin 2,sin0.5°0.0087330, 302 11 0.01667,30302 1ln(30,302 1)1 cosx sin x4.094

15、14sin x 1 cosx12724816x = x X X X X由小到大依次相加。100鼻100/亠(丄n 1 n(n 1) n 1 ntan23264X X丄)1 100n 1101101注意：能求出值來的求值。三數(shù)值分析的根底計算1、矩陣分解主要包括LU分解和喬累斯基分解。矩陣的手算分解就是應(yīng)用矩陣乘法。注意1 注意分解式的格式2 分解計算要認(rèn)真。3注意分解的順序。先求U的第一行，再求L的第一列矩陣的LU分解中，L是單位下三角陣，U為上三角陣，即ln1 ln2 L 11 U12Lu1nU22LU2nOMUnn注意L的對角線元素都是1喬累斯基分解的結(jié)構(gòu)是A=PTP注意:1 矩陣A是對稱

16、正定矩陣，那么分解前必須聲明“矩陣A是對稱正定矩 陣，可以進行喬累斯基分解。2 P是上三角矩陣。例2. 3:設(shè)有矩陣作矩陣A的LU分解設(shè)4 310 UnU22解：對矩陣2 1 l2110先計算U的第一行，由矩陣乘法，有Q a114 1 u11+0 0u114Q a123=1 u12+° u22U123再計算L的第一列，由矩陣乘法，有Q a?12l21U1110/ 1a?1 / u12然后計算U的第2行Q a 221l21u121 u221c1u22a22l21u121-322所以1 043L1,U1-10222、求范數(shù)和條件數(shù)1常用的向量范數(shù)有n I x|1Xii 1n 2 1 |x

17、2 ( X )2i 1 | X max Xji2 常用的矩陣范數(shù)有n 矩陣的1范數(shù)(列范數(shù))：| Ah max aj ;j i 11 矩陣的2 范數(shù)(譜范數(shù))：| A|2(AtA)2;其中(B) max j(B)稱為矩陣B的譜半徑。入(B)是矩陣B的特征值。in 矩陣的x 范數(shù)(行范數(shù))：| Amax aiji j imax為i3 矩陣A的條件數(shù)為con d(A)例2. 4:計算向量x (1, 2,4)t的各種范數(shù)解：X1 1 2 4 7,X2 一廠(2廠42 .21 ,x maxZA 4。例2. 5:給定矩陣求 A1,A2,A。解：因為 a11 a214, a12 a?26,所以Ai 6 ;

18、因為 aii3123, a2ia227,所以A 7 ；因為A A10 1010 20所以AtA的特征多項式為：10 10 22 30100 ,10 20解 2 301000 得115 5 5, 2 15 5 5。所以 A 215 5.5。3、求差分和差商求差商和差分應(yīng)用差商表和差分表進行差商表如下:Xkf(Xk )一階差商二階差商三階差商X0f(xo )fX 0 ,X1 X1f(X1 )fX 0 ,X1 ,X2 fX 1 ,X2 fX 0 ,X1 ,X2 ,X 3 X2f(X2 )fX 1 ,X2 ,X 3 fX 2 ,X 3 X3f(X 3)差分表如下:Xkyk一階差分二階差分三階差分X0y

19、o y0X1y1 2 y0 y1 3y0X2y2 2y1 y2X3y3三、數(shù)值計算與數(shù)值分析一插值與擬合方法包括拉格朗日插值、牛頓插值、等距節(jié)點插值、分段插值、保形插值埃爾 米特插值、樣條插值等插值方法和最小二乘法。1插值方法1拉格朗日插值多項式有兩種求法，第一種是待定系數(shù)法，第二種是直接 利用拉格朗日插值多項式的基函數(shù)法。建議應(yīng)用待定系數(shù)法。例3.1:函數(shù)fx在節(jié)點一1,0,1處的值分別是0.3679,1.000,2.7182,用待定系數(shù)法和插值基函數(shù)法兩種方法求出拉格朗日插值。解1:設(shè)所求的多項式為P2Xa。a1X a?x2，把條件代入得a 4(1) a2(1)20.3679a(0)a22

20、(0) 1.000a 4(1) a2(1)22.7182解之得a0 1,a1 1.751, a20.5431所以p2(x)1 1.1751x 0.5431X2解2:由插值基函數(shù)公式n(x Xk)k 0li (x) ¥(x xk)k 0k i(X0)( x1)(10)( 11)X(1)(x1)0(1)(01)x(1)(x0)1(1)(10)I°(x)h(x)12(X)x(x 1)2(x 1)(x 1)x(x 1)2代入插值公式得p2(x)O.3679l0(x) 1.000l1(x)2.7182l2(x)2P2(x)1 1.1751x 0.5431x 。(2) 牛頓插值和等距節(jié)

21、點插值在求出差商或差分后直接套插值公式。(3) 構(gòu)造埃爾米特插值仍然采用待定系數(shù)法和基函數(shù)法。例3. 2:f(0)0, f(1) 1,f (0)3, f (1) 9，求三次的埃爾米特插值多2ax a2Xc23asX ,a3x3，那么項式H(x)。解：設(shè) H(x) a。H (x) a1 2a2x由插值條件得3 H (0)a11 H(1) a。 a1a?a39 H (1) a 2a2 3a3解之得 a° 0,a 3,a212, a3 10 ,所以 H(x) 10x3 12x2 3x。例3. 3:設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且f(0)2, f (0)0, f (3)1,f (3)

22、1試用兩種方法構(gòu)造三次埃爾米特插值多項式 H(x)，使其滿足p(0)f(0)2, p (0) f (0)解一(待定系數(shù)法)： 解：設(shè) H (x) a0H (x) a1 2a2x由插值條件得22a1x a2x3a3X2，0, p(3)f(3)1,p(3) f (3)1。a3X3 ，那么H(0)H (0)H(1)H (1)a°a解之得a0所以H (x)a° a1a1 2a2 3a322,a1 0,a2-,a335322x x 2。273a2a3527，解二(基函數(shù)法)：解：設(shè) H3(x) f(Xo) 0(x) f(Xi) i(x) f (Xo) 0(x) f (xj !(x),

23、因為線性拉格朗日插值基函數(shù)為l0(x)xx-1Xo xXXoh(X)Xi Xoo(x)i2(xi2(xXo)Xoi2(xo)oi279x22x327同理2(xi(x)iXo由得o(x)(xXo)i(x)(xXi)-那么532H(x)X273由得指出:XiXoXo)lo(x)XoXiX xi - i XiXoXi3Xi)Xo9x2 2x3XiXiXo272XX-IXoXiXXox22x33x2待定系數(shù)法是求插值多項式的根本方法，而埃爾米特插值的基函數(shù)法構(gòu)造方 法及其余項分析方法是非標(biāo)準(zhǔn)插值構(gòu)造及余項討論的一般方法。(4) 樣條插值根據(jù)邊界條件不同求解不同的方程組解決。(5) 各種標(biāo)準(zhǔn)插值都有分段

24、插值，分段插值的精度僅受局部數(shù)據(jù)影響。 非標(biāo)準(zhǔn)插值是重要的插值問題。非標(biāo)準(zhǔn)插值在一些論著中歸為埃爾米特插值。例3. 4:設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且f( i) ig 2, f(o)o, f (3) i,f (3) i(i)試構(gòu)造一個次數(shù)最低的插值多項式p(x)，使其滿足p( 1) f( 1)1,P(0)f(0)2,p(0) f (0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)1給出并證明余項f(x)-p(x) 解：(1)由例3. 3可以求出滿足 p(0)f(0)2, p (0) f (0)的三次埃爾米特插值多項式H (x) x3 2x2 2 0273的表達式。0, P(3)f(3)1

25、,p(3) f (3)1設(shè) p(x) H (x) a(x3)2x2p(0) 由f( 27(所以f(0)2, p (0)1) 1得3 (1)23f (0)53x270, p(3)f(3)a(x 3)2x2，那么 p(x)滿足1,p(3) f (3)1,p(x)1)3a(1 3)2( 1)21108，H(x) a(x3)2x25 3x273)2x20413 3x x10854(2)余項具有如下結(jié)構(gòu) r(x) f(x) p(x) k(x)(x 作輔助函數(shù)2 2(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t (t 3) 那么顯然在點x,(x) 0,( 不妨假設(shè)x 由羅爾定理， 使得(1)1)x2(

26、x 3)21) 0,(1,0)存在0,(1,0,3處有6個零點0, (3) 0,(3) 0，(其中0,3是二重零點)，即(0)1(2)0,0, (0)1,x),(0 ,再注意到 (0)0, (3)再次由羅爾定理得，存在1 使得(1)0,( 2)0,(第三次應(yīng)用羅爾定理得，存在23)即(3 )使得(1)0,( 2) 0,(第四次應(yīng)用羅爾定理得，存在 使得(4)( 1)0, (4)( 2) 0，第五次應(yīng)用羅爾定理得，存在 使得(5)( ) 0 注意到(5) (t)13)(x,0), 3(0,3)，0，(t)有5個互異的零點(4)2),1, 1), 20,(1,0，(1,1,(5)r(5)(t)5!

27、k(x) f(5)(t)5!k(x)2),2)2,0),02(2,2,1(0, 3),3),3(r(t) f (t) p(t)中p(t)是4次函數(shù)，其5次導(dǎo)數(shù)為0)033(3,3)，4)所以()f(5)( ) 5!k(x)=0k(x)=丄5!，代入余項表達式，有f(5)( )22r(x) f (x) p(x)(x 1)x (x 3) o5!指出：此題是非標(biāo)準(zhǔn)插值問題，所謂非標(biāo)準(zhǔn)插值是指不同于拉格朗日插值等條件規(guī) 范、插值多項式已有現(xiàn)成結(jié)論的插值。比擬簡單的求解方法有： 求插值問題的根本方法是待定系數(shù)法。以此題來說，有 5個條件，可以確 定一個4次的插值多項式，設(shè)為y ao aix a?x2 a

28、sx3 asx3，將條件代入，建 立一個5元的線性方程組，求出各參數(shù)，就可以求出插值多項式。 求插值問題的第二種方法是基函數(shù)法，即根據(jù)給定條件設(shè)定插值多項式的 結(jié)構(gòu)和各基函數(shù)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)條件確定基函數(shù)即可。具體方法與拉格朗日插值基 函數(shù)構(gòu)造和埃爾米特插值基函數(shù)構(gòu)造相似。 以標(biāo)準(zhǔn)插值為根底的方法是一種更簡單的方法，此題中，首先利用 4個條 件構(gòu)造一個埃爾米特插值，在此根底上設(shè)定所求插值多項式的一般形式， 保證其 滿足埃爾米特插值條件，代入未利用條件解方程(組)，求出其中的未知參數(shù)，即可求出插值多項式。在構(gòu)造新的插值多項式中，要求新的插值多項式仍然以H(x)的插值節(jié)點為節(jié) 點，那么可以寫成p(x)

29、 H (x) g(x)的形式，因為p(0) H (0)2, p (0) H (0)0, p(3)H(3)1,p (3) H (3)1，所以必有 g(0) g (0)g(3) g (3)0因此0, 3是g(x)的兩個2次零點，貝U g(x)包含(x 3)2x2因子。又因為多項式p(x)是4次的，g(x)也應(yīng)該是4次的，所以可以設(shè)g(x)為2 2g(x) a(x 3) x o此題也可以先利用 p( 1) f( 1) 1,p(0) f(0) 2, p(3) f(3) 1構(gòu)造一 個2次插值多項式P2(x)，以此為根底構(gòu)造4次插值多項式P4(x)， p4(x)的結(jié)構(gòu) 是P4(x)P2(x) (ax b)

30、(x 1)x(x 3)，滿足P( 1) f( 1)1, P(0)f(0) 2, p(3) f(3) 1再根據(jù)P (0) f (0) 0, P f (3)1列出兩個線性方程組成的方程組，求出a、b兩個參數(shù)，即可求出所求的插值多項式。求插值函數(shù)余項r(x)的常用方法是：r(x) f(x) p(x)應(yīng)具有如下形式(以此題為例)2 2r(x) f (x) p(x) k(x)(x 1)x (x 3)作輔助函數(shù)(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t2(t3)2那么t在點x, 1,0,3處有6個零點其中0, 3是二重零點。反復(fù)應(yīng)用羅f ()5!k(x)=0k(x)=(5)()5!0。此時即有爾定

31、理，直到至少有一個 4,4，使得5代入余項表達式即可求出這里，作輔助函數(shù)的方法和中值定理討論中作輔助函數(shù)方法一樣。指出：插值公式的構(gòu)造方法主要就是待定系數(shù)法和基函數(shù)法，埃爾米特插值這兩種方法的構(gòu)造與余項討論都非常充分，是重要內(nèi)容。不僅應(yīng)該能構(gòu)造典型的插值公式，還要能構(gòu)造一般的具有特定條件的插值公用待定系數(shù)法構(gòu)造埃爾米特插值等各種插值的方法也是必須掌握的。7推廣的牛頓插值法埃爾米特插值廣泛意義上的也可以用構(gòu)造差商表的方法求出，尤其是 插值條件中出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)的情況，利用構(gòu)造差商表的方法按牛頓插值多項式求 埃爾米特插值很方便。具體做法如下：1把具有一階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點看成2重節(jié)點即2個數(shù)據(jù)節(jié)點，具有2階

32、 導(dǎo)數(shù)的節(jié)點看作3重節(jié)點，以此類推。2用公式1f1*2L43xi nZxn 1計算n+1個相同節(jié)點的差商。3求出相同節(jié)點處的差商后按正常的差商表計算方法求差商表。4按牛頓插值多項式寫法求出埃爾米特插值。這種方法稱為推廣的牛頓插值法。例3.5 :函數(shù)y=fx的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下表：Xiyiyiyi-100-4061-25利用所給條件構(gòu)造fx的埃爾米特插值多項式解：由公式f伯2L40i 9%)n 1得1f0,0 - f (0) 0 1!f0,0,01 f (0)-32! 21f1,1 -f (1) 51!得差商表為Xif (Xi)一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商-10-40-440-10-

33、4300-110-422211-2351-2所以，5次埃爾米特插值多項式為2 2H5(x)4(x 1) 4(x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)。2、擬合方法最小二乘法是重要的數(shù)據(jù)擬合方法。其求解過程為：1 分析數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)描畫在坐標(biāo)紙上，得到一個散點圖，從圖上可 以直觀地看出數(shù)據(jù)的變化趨勢。2 建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)上述分析，確定擬合函數(shù)的類型。3 應(yīng)用最小二乘法，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)。4 寫出擬合函數(shù)。例3. 6:給定一組實驗數(shù)據(jù)如下表X2468y1.12.84.97.2求x、y的函數(shù)關(guān)系。解：先做出草圖，從圖上可以看出，這些點的分布接近于一條直線設(shè) y=a+bx，貝U42L

34、 (a bxi) yii 1對a、Lb分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得42(a bxi) yi0i 1(ai 1bxi)yi o4Xii 142(ai 14a b4yi 0i 1bxj yJXj0(ai 14aXii 1bxi)yix2Xixi yi0i 1將數(shù)據(jù)代入得4a ba (2化簡得a 5b(246 8)8) (1.1 2.8 4.9 7.2) 0b (22 42 62 82) (2 1.1 4 2.8 6 4.9 8 7.2) 020a 120b 100.4 0解之得a 1.1b 1.02那么x與y的函數(shù)關(guān)系是y=-1.1+1.02x。例3.7 :給定數(shù)據(jù)表x-21012y0. 10

35、.10.40.91.6用兩種方法求其二次擬合曲線。解一：設(shè)所求的擬合函數(shù)為y a bx cx2，5那么 L (a bxi cx2) yi2。對a、L2bXi cx ) y 0b、c分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得52(a(a b<i 155a bXii 152(ai 12、CXi )bxiyj2Xi2、cx )yi 0yXi(ai 15Xi152(ai 1yXi2XibXi2、 cx )Yi Xi2X%0(ai 152a Xii 1CX23XiYiX24 Xi2Xi Yi0將各數(shù)據(jù)點的數(shù)值代入,5a 10c 2.9i 1得方程組為i 110b4.210a 34c7解之得 a=0.4086

36、, b=0.42，c=0.0857，所以數(shù)據(jù)點所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為2y 0.40860.42x 0.0857x解二：設(shè)所求的擬合函數(shù)為y a bx cx2， 將數(shù)據(jù)代入方程得a 2b 4c 0.1a b c 0.1a 0.4a b c 0.9a 2b 4c 1.6方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為1240.11110.1A 100,B0.41110.91241.6因為1 241111 11 115010ata2101 21 0001004101 41 11100341 240.11111 10.12.9atb2101 20.44.24101 40.971.6所以5010a2.90 1C1 0b4

37、.210 034c7解之得a=0.4086,b=0。42, c=0.0857,所以數(shù)據(jù)點所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為2例3. &試驗數(shù)據(jù)x1925313844y19. 032. 349. 073. 397. 8y 0.40860.42x 0.0857x指出：解二依據(jù)的結(jié)論是：定理：x*是超定方程組Ax=b的最小二乘解的充分必要條件是 x*是方程組 A Ax ATb 的解。即 x (AtA) 1 ATb。用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗公式，并計算均方誤差。 解：設(shè)y a bx2那么5L (a bx2) yi2對a、b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得L 52(a b#)a i i5(a

38、i 1yi05a bbx2)yj52Xii 152(a bx2)yk205yii 1Lb i 15(ai 152axii 1將數(shù)據(jù)代入得2 25a b (1925a (192252 312312 49.0 382 73.3bx2)yjx24 Xi2Xii 1312382yi02 23844 ) (19.0 32.3 49.0 73.3 97.8) 0442) b (194 254 314 384 444) (192 19.0 252 32.3442 97.8) 0化簡得5a 5327b 271.4 05327a 7277699b 369321.5 0第二個方程減去第一個方程乘以1065進一步化

39、簡得5a 5327b 271.4 02a 1604444b 80279.5 0解之得a 1.01b 0.05那么x與y的函數(shù)關(guān)系是丫=1.01+0.05/。此時，平方逼近誤差為52 2L (a bxj yi0.017i 1所以,均方誤差為0.0170.13。指出：均方誤差實際上就是按最小二乘法那么確定的殘差。例3. 9:用最小二乘法求方程組2x4y113x5y3x2y6x2y14的近似解。分析：這是方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)的超定方程組，是矛盾方程組，用最小乘法求解。aiX by Ci，那么0,得解：設(shè)方程組中各個方程的一般形式為42L (ax biy) Cii 1y分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于42

40、(aiX by) Gkii 1gxi 142x aii 1L 4by) caj 04yaibii 14aiCii 12gx by)y i 14gxi 14x aibii 1將數(shù)據(jù)代入得15x 3y 51 03x 49y 69 0解之得x 3.727by)cb 0b24biCi 1y 1.636指出：最小二乘法需要記住的是根本原理。n第一，殘差表達式L (xj y2i 1第二，對殘差求偏導(dǎo)數(shù)，使每一個偏導(dǎo)數(shù)都等于0,列方程組第三，解方程組，求出a,b,第四，寫出擬合函數(shù)。(二) 解非線性方程的方法非線性方程的數(shù)值求解問題包括如下根本問題： 判斷方程根的個數(shù)，求隔根區(qū)間判斷方程f(x)二0有幾個根

41、并求隔根區(qū)間的方法過程是：(a) 求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y/ =f/(x)。(b) 令f/(x) = 0，用零點將函數(shù)定義域分成幾個不同的區(qū)間，確定函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性。(c) 求出函數(shù)在區(qū)間端點上的值，判斷函數(shù)值是否發(fā)生變號，排除不存在根的 區(qū)間。(d) 確定根的個數(shù)和隔根區(qū)間。例3. 10:判斷方程2x3-3x2-12x+25=0有幾個實根，并求出其隔根區(qū)間。 解：令 y=2x3-3x2-12x+25,y/=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)當(dāng)=0時，有x=-1，x=2，而且函數(shù)沒有不可導(dǎo)點。顯然，當(dāng) x v-1 時，x+1v 0，x-2 v 0,所以，y

42、/=6(x+1)(x-2) >0，同理可以 判斷出在其他幾個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號。 進一步可以得導(dǎo)函數(shù)在每一個區(qū)間上的單 調(diào)性。列表如下：x(4 ,-1)-1(-1,2)2(2,+ m )/y+0一0+y5 - y(-1)=32 >0，y(2)=5>0，在區(qū)間(-1,2)上方程無根。又 y(2)=5>0,函數(shù)在(2,+ 上又是單調(diào)增的，函數(shù)值不可能再變號, 在區(qū)間(2,+上方程也沒有根。函數(shù)在(一一1) 上單調(diào)， 方程在該區(qū)間上最多有一個根。而 y( 2) = 21>0, y(-3)=-20v0,方程在區(qū)間(一3, 2)內(nèi)有一個根，區(qū)間(一3, 2)是方程的隔根區(qū)間。

43、所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一個根，隔根區(qū)間為(3， 2)。 用二分法求根的初始近似值 用二分法求根的初始近似值要注意兩個問題，第一是要進行確定二分的次數(shù)。在二分法中，Xn乩衛(wèi)1,2,3丄。2如果bn務(wù) b an 22n這里&為預(yù)定的精確度，知道了&就可以求出n來。而第二個問題就是每一步都要進行函數(shù)值符號的判定例3. 11:用二分法求方程f(x)=x3-x-仁0在區(qū)間(1，1.5)內(nèi)的實根，要求 誤差不超過0.005。解：因為f(1) V0, f(1.5) >0,所以，方程在區(qū)間(1，1.5) 上有根0.005bn an b a 1.5 10.51x* x

44、八八n小jj 12 2 2 2 2 有，2n+1 > 200, 2n > 100。又因為 27= 128> 100所以n = 7,即只需要二分7次即可列表討論如下:nanbnXnf(Xn)的符號11.01.51.25一21.251.51.375+31.251.3751.31341.3131.3751.344+51.3131.3441.329+61.3131.3291.321一71.3211.3291.325+x* 艮=1.325。 用切線法(Newton法)解方程求解方程f(x)=O的切線法迭代格式為f (Xk)IXk 1 Xk-(k 0,1,2,L )f (Xk)例3. 1

45、2:用切線法求方程x=e-X在x=0.5附近的根。解：首先將方程X=e-X改寫為xeX 1= 0,于是有f(x)=xeX 1,相應(yīng)的迭代公式為兀 eXkXk 1 Xk 1 Xk取xo=O.5為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123Xk0.50.571020.567160.56714所以，方程的近似根為x* X30.56714。指出：一般地，當(dāng)滿足預(yù)定精度的有效數(shù)字全都相同時，就可以終止計算過程，輸 出結(jié)果。 用切線法求算術(shù)根 對于給定的正數(shù)C,應(yīng)用切線法解二次方程x2-c = 0可以導(dǎo)出求開方值.C的計算程序Xk 1Xk可以證明，這種迭代公式對于任意的初值都是收斂的 例3. 13:計

46、算115的算術(shù)平方根。解：取初值X0=10,對于c=115利用迭代3次，得k01234Xk1010.75000010.72383710.72380510.723805所以 115的算術(shù)平方根的近似值為115 x4=10.723805 用割線法解方程割線法的迭代公式為:Xk 1Xkf (Xk)f (Xk) f (Xk 1)(XkXk I)(k1,2,L )例3. 14 :用割線法求方程X3 3x 1 0在初始值Xo 2鄰近的實根(取 Xi 1.9，要求精確到10 3 )。解：因為x3 3x 10所以有f (x) x3 3x 1，相應(yīng)的迭代公式為f(Xk)/、Xk 1 Xk(Xk Xk 1)f (Xk) f (Xk 1)取X0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下:kXkXk-