案例設(shè)計資料7任意角的三角函2

1、任意角的三角函數(shù)（2）惠安一中 孫經(jīng)一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)（4）（人教A版）。三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用.直角三角形簡單樸素的邊角關(guān)系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數(shù)定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，自然地導(dǎo)出三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導(dǎo)公式、圖象和性質(zhì)。三角函數(shù)定義必然是學(xué)好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學(xué)生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身.二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)

2、。因此本課的內(nèi)容對于學(xué)生來說，有比較厚實的基礎(chǔ)，新課的引入會比較容易和順暢。學(xué)生要面對的新的學(xué)習(xí)問題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。三、設(shè)計思想教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程. 根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).四、教學(xué)目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；

3、2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.借助有向線段進一步認識三角函數(shù). 4、通過任意三角函數(shù)的定義，認識銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解。5、通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。通過學(xué)生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴謹性與科學(xué)性。

4、五、教學(xué)重點和難點重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；六、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入、回想再認（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù). 請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調(diào)： 對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 設(shè)計意圖：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，又是一種推

5、廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）. 溫故知新，要讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)就必不可少. 二、 引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學(xué)生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo). 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學(xué)生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角

6、的三角函數(shù). 設(shè)計意圖：從學(xué)生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程. 教師對學(xué)生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學(xué)們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！師生共做（學(xué)生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構(gòu)造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設(shè)P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個比

7、值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)比值：xOMP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（圖2）設(shè)計意圖：此處做法簡單，思想重要. 為了順利實現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形. 由于前一節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學(xué)生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數(shù). 初中以直角三角形邊角關(guān)系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標系來研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義. 這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能

8、力,為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎(chǔ). （情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？a的終邊P(x,y)Oxy顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù)：; ; .思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題任意角的三角函數(shù).先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角的每一個確定值

9、，三個比值都是xOMPy（圖3）PM確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 三、探究新知1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.

10、注意:當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.設(shè)計意圖：初中學(xué)生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次，扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據(jù)，是準確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵. 這樣做能夠使學(xué)生有效地增強函數(shù)觀念. 四、 探索定義域（情景4）1、函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應(yīng)法

11、則、定義域、值域. 正弦函數(shù)sin的對應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)sin的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sin的定義：對的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應(yīng)，即 y/r= sin.2、布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sincostan定義域引導(dǎo)學(xué)生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關(guān)于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數(shù)），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R. 對于tan=y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義

12、，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟。設(shè)計意圖：定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域. 指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握. 五、符號判斷、形象識記（情景5）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r0,三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：yxyxyxsin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0 tan=y/x：交叉正負設(shè)計意圖：判斷三角

13、函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求. 要引導(dǎo)學(xué)生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵. 六、 練習(xí)鞏固、理解記憶1、 自學(xué) 例1：求的正弦、余弦和正切值。2、 角的終邊經(jīng)過點P（3，-4），求的正弦，余弦及正切值. 課堂練習(xí)：p17題1、2、3處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義. 強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值. 設(shè)計意圖：及時安排自學(xué)例題、自做教材練習(xí)題，一般性與特殊性相結(jié)合，進行適量的變式練習(xí)，

14、以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習(xí)活動進行思維訓(xùn)練，把“培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學(xué)始終. 七、 回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：1你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，-，在終邊上任意取定一點P，-）2你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義，-）3你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據(jù)定義，想象坐標位置， -）設(shè)計意圖：遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時總結(jié)識記主要內(nèi)容是上策. 此處以問題形式讓學(xué)生自己歸納識記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認知能力. 八、布置課外作業(yè)1書面作業(yè)：習(xí)題1.2第1、2題.2認真閱讀p20“閱讀與思考：三角學(xué)與天文學(xué)”，了解三角學(xué)在天文學(xué)中的重要作用。 七、教學(xué)反思 新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗新知識的發(fā)生過程，這節(jié)任意角三角函數(shù)的教案，主要圍繞這一點來設(shè)計。到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢？讓學(xué)生提出自己的想