極限導(dǎo)數(shù)積分計算

1、一.函數(shù)的極限的計算3)| f (x) | | f(|x|)| & |x| 例2.下列各式中不正確的是(1A. lim exx 02|x|x2J).|x|x22.B.1lim exx 0；C.Xim00 ； D.1lim exx1.1)初等函數(shù)f (x)在定義區(qū)間處處連續(xù):若f (a)存在,則有 lim f (x)x a2)變量代換:設(shè)lim g(x) b(g(x)x ab),若 lim f(u)u bA,則有l(wèi)im fg(x) lim f(u)x au bA3)lim f (x)a的充要條件為：limf(X)lim f (x)a .X xx xx Xo4)lim f(x)xa的充要條

2、件為：limxf(x)lim f(x)xa.5)極限的四則運(yùn)算f (a).6)“ 0 ”，“一 ”型洛必達(dá)法則0例1. 設(shè)f (x)、1x x21 x x2 ,則 f (x)為()A.有界函數(shù)；B.偶函數(shù)；C. lim f(x)x1; D.lim f(x) 1.x解題提示：1)f (x)為奇函數(shù).1e：4xsin x).|x|例3. 求lim (x 01 e解題提示：計算左右極限.洛必達(dá)法則是計算極限的有效方法 例4.計算下列極限：tan x 11) lim; 2)x - sin4x414) lim (x 0 x十);解題提示：5)令xln(1 lim - x5)tsin3x例5.右 lim

3、一3x 0 xsin3x解題提示:3 -x0 ln xlimxx或 ln(1f(x)2 x f(x)2In x;x2丄)xln(10,計算sin 3x 3x丄).x1 12 x2limWx 02x3 f(x)極限計算中無窮小的處理：在乘除運(yùn)算中，極限值不為0的因子先算出，“0 式”有理化.因子”作等價無窮小代換“0根例6.sin x cosx2x解:ex計算lim x 0 1. 1 sinxe sinx cosx limx 0limx例7.1) limx例8.11 sin2 xx esin xcosx2 sin xx esin xcosxn02 xx ecosxsin xxx esin xco

4、sx(1(x(x叫xm01（計算下列極限：3x25x 351si n ; 2)x3計算limx解題提示：令ux0代入,此式為1 sin2 x)(乘除運(yùn)算中“非“0根式”有理化）因子”先算出，“0因子”作等價無窮小代換）洛必達(dá)法則）洛必達(dá)法則）初等函數(shù)在定義區(qū)間處處連續(xù)lim x 2 2x 2、4x 14).xx2(.x 22.X 13lim x2 ( x 22 x 1xx)lim 1 2U 21 U 1u 01 f(x)sin x 1例9. 已知lim3xx 0e3x 1解題提示：利用等價無窮小代換計算左式2 ,求 lim f (x).x 0極限計算中無窮大的處理：“根式”有理化.“三角無窮大

5、”的導(dǎo)數(shù)仍然為無窮大求x中的“大頭”“三角無窮大”要先變.時的極限，分子，分母同時除以分子，分母中的最高次幕（“抓大頭”）.所謂“抓大頭”就是抓住關(guān)于 x的最高次的項(xiàng)，而把其余的項(xiàng)略掉n.anXximL.x bmX方法.如例10.1) limx tanx2n.anX xlim L x bmx計算下列極限：tan 3xa1x a0b|xb0limxx( x25. x21);3) lim (、x210xxx) ； 4)limx_4x2_x_1_x_1 xsin x在計算極限時，洛必達(dá)法則不要“濫用”例11.計算limx解題提示：用洛必達(dá)法則，觀察會出現(xiàn)怎樣的情形x sin x例 12. lim()

6、.x x si nxA. 1 B.不存在 C. 0 D. 1解題提示：1)分析以下錯誤運(yùn)算：例13.求limx解題提示：1).1cosxlim-1cosx1sin -lim-1sin -x sinx limx x sinx2)分析以下錯誤運(yùn)算：x sin x limx x sinxsi nx limx sin x0.xxeexxxeex先多次用洛必達(dá)法則1.觀察會出現(xiàn)怎樣的情形n2) lim 電 x eIn x為x的0次幕.3) 分子，分母同時除以分子，分母中的最高次幕1e.x試用洛必達(dá)法則看看.ln xlim n-0 ( n為正數(shù)),當(dāng)xx時，可認(rèn)為ex為x的無窮大次,即用“抓大頭”方法.例

7、14.求limx解題提示：1)12)令tlim uv(其中的“1。,0。”型，也可用配型)極限計算法：ln(lime法：uv) lim vln u .0, lim v(x)設(shè) lim u(x)例15.計算下列極限：1lim(1 u)v lim( 1 u)uuvlim uv e1) lim (sin 仝 cos-)n; 2)n n nlim (1x1x)l 3)xm (2 arctanx)lnx利用導(dǎo)數(shù)定義式計算極限例16.設(shè)f(x)在x a處可導(dǎo),f(x)0,1求lim f (a )/ f (a)n. nnf (a解題提示：利用配e法，計算limnn1-)nf (a)例17.設(shè)f (x)在點(diǎn)X

8、。處有二階導(dǎo)數(shù)，求極限moH hh) 2f(x。) f(x。 h)解題提示：先用一次洛必達(dá)法則注意：因二階導(dǎo)數(shù)(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)性不知不可再次用洛必達(dá)法則oXfmoH hh) 2f (xo)f (xoh)X/V -TmoHhx0lim 1陛h 02hh) f (Xo) f (Xoh) f(x0) f(x0).利用中值定理計算極限 例18.計算下列極限：21) lim x In arctan(x 1) In arctanx;xx 2cx2) lim arcta nxdxx x x 1解題提示：1)對函數(shù)f(t) ln arctant在x, x1 arctanIn arctan(x 1) In

9、arctanx1上用拉格朗日中值定理11x 1).2)利用積分中值定理，x 2 xarcta n xdxx x 1arcta n,(x2).利用麥克勞林公式計算極限 例19.計算下列極限：2-;2)1) lim cosx 4e x 0 sin x解：1) sincosxlim (1x 021 212x4x24ln22o(x4),cosx2x2x221疋244x12竺2O(x4),O(x4),112 .x.ln(1 )2e.4 sin xx ln(1 xW)22 213一 x 12丄2cosx limx 02) ln 22fo(x3)o(x3)O(x3),12 x尹廠)肌1112o(x3)x11

10、12:.導(dǎo)數(shù)與微分的計算1)四則運(yùn)算求導(dǎo)公式2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：f(g(x) f (g(x) g(x).3) 微分計算公式：df (x) f (x) dx.注意：微分等式中變量x可用任意可導(dǎo)函數(shù) g(x)作代換./2 坐，2(史)/空.dt dx2 dt dx / dt5)隱函數(shù)求導(dǎo)法：方程兩邊同時對 x求導(dǎo)，注意f(y)中y為中間變量6)幕指函數(shù)求導(dǎo)公式: f(x)g(x)f(x)g(x) g(x)ln f(x).7)取對數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)y fi(x) l(x) fn(x) n(x),則有l(wèi)n y i(x)ln fi(x)n(x)ln fn(x)8)設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，則有 f (x)d

11、x f (x). dx9)設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，u(x),v(x)可導(dǎo)，則有變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式d u (x)f(t)dt fu(x) u(x) fv(x) v(x)dx v(x)例1. 設(shè) f (x) sin x2 貝U df (仮).dx例2. 設(shè) y f (u)可導(dǎo)，y fef(x)，則 dy .例3.設(shè)y ln x，當(dāng) x 2 , x 0.01 時，dy解題提示：自變量的微分等于自變量的增量，即dx x例4.設(shè)f (x)dx In 一1 1 C，求Jx2 1 1lnxf(x).例5. 設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且F(x) 1 f (t )dt ,則F (x)xd x 2例6. 求 x2

12、 f(t)dt,其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù). dx 0x2x2解題提示:o x2 f (t)dt x2 0 f (t)dt.d x2例7. 求一 xf (x t)dt,其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)dx 0解題?提示：令ux t,x20 f(X例8.設(shè)f(x)x(x 1)(x 2)解題?提示：f (x)(x 1)(x例9.若f( x)f(x),在(0,().(A)f (x)0, f(x)0;(B)(C)f (x)0, f(x)0;(D)x xt)dtf (u)du.x(x n),則 f (0).n) x(x 1) (x n).)f (x)0, f (x)0,則 f (x)在(f (x) 0,

13、f (x)0;f (x)0, f (x) 0.解題提示：f(x)為偶函數(shù).試證明：1) 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)2) 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)例10.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程xef(y)ey確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f 1 ,求d2ydx2 .例11.設(shè)y|exJsin1 ,求y . x解題提示：In1 . 1 yln xx1 i1ln sin4816x例12.設(shè)x 0f(u )du其中f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f()0,求£_yy f(t2)2dx高階導(dǎo)數(shù)與泰勒公式n1)萊布尼茲公式：(uv)(n) c：u(nk)v(k).k 02)函數(shù)f(x)其中3)a函數(shù)f(x)f (x)在點(diǎn)

14、xa處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒展開式：(n1)(x n!(n 1)!(x a),01, 即卩 介于a與x之間.當(dāng)a 0時，稱麥克勞林公式f (x)在點(diǎn)xa處帶皮亞諾型余項(xiàng)的n5n!f (a) f (a)(x a)f (a) f (a)(x a)(n)(a)(x a)n階泰勒展開式：a)no(x a)nn 1a)例13.1)2)3)4)5)求下列函數(shù)的ln(x 1); coskx;xxe ;ex cos x.sin xsin 3x.n階導(dǎo)數(shù):解: 4)xe cosxxe sin x一 2ex cos(x(n)y(2)nexcos(x n例14.例15.求函數(shù)f (x)求函數(shù)f(x)ln(1 x

15、)在點(diǎn)2x10設(shè)f(x)產(chǎn),1 x1解題提示:f (x)1 x).4x0處帶拉格朗日型余項(xiàng)的ln(1 x)在點(diǎn)x0處帶皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒展開式.5階泰勒展開式例16.則 f (10)(x)(x9例17.求函數(shù)f (x) x2ex在x0處的解題提示：1)利用萊布尼茲公式(uv)(n)x 1), ( -)(n)a xn 階導(dǎo)數(shù) f (n)(0) (nnk)v(k).n!n 1 .(a x)2)利用ex解:exn!nxn!o(xn)及麥克勞林公式0(xn)f(x)x2x3nx(n 2)!o(xn),(n 2)!(n)(0)n!f(n) (0)n(n 1).sin x例18.設(shè)f(x)x1,求f(

16、0).解題提示：sin x3 x3!05x5!n 1 2n 1(1) xo(x2n1).(2n1)!例19.設(shè)解題提示:1y1：建立遞推公式(1 x2)y(n 1arcs in x,求 y(n)(0).(2n 1)xy(n) n2y(n1)0.三.不定積分的計算1.常用公式：tan xdxIn | cosx |C;cotxdxIn |sin x |C;secxdxIn | secx tanx| C ；cscxdxIn |cscxcotx | C ；dx1 arcta n°aaC;dx1 . .x ln 1- 2axa 1 C；a2 2x a dx2 2x a dxx arcsinC

17、；In | x、x2 a2 | C.a2x2ax2a22.分項(xiàng)法：通過代數(shù)或三角恒等變形把所給不定積分化為基本積分公式中的積分或 常見的積分類型.例1.計算下列不定積分：12 dx ； 3)sin xcos xx sin xdx.I cos2xx41)2dx; 2)1 x23.第一換元法(湊微分法):設(shè)F為f的原函數(shù)，(x)可導(dǎo)，則有f (x)(x)dx f(x)d(x)湊微分:(x) dx d (x)F (x)C.如何確定中間變量u (x)?A)從被積函數(shù)明顯的復(fù)合部分換元:f (x)dx F(x)f (u)去確定u .C中x換為(x)B) 通過湊微分確定U .C) 從被積函數(shù)中復(fù)雜的部分去

18、確定u .例2.計算下列不定積分：1)tan x21xx21dx; 2)lntanx dx; 3)sin xcosx4)7)x二dx;e 1dx5)x(1 x)解題提示：8)8)dxc、x ;6)2e 1cos x sin xxdx;1 xx dx. cosx (1 e cosx)(ex cos x) ex(cosx sin x).4.第二換元法(積分變量代換法)：設(shè)x(t)單調(diào)可導(dǎo)，則有f (x)dx1)作三角代換xasint去根式-a2 x22)作三角代換xa tan t去根式a22 x3)作三角代換xa sect去根式x22 a作根式代換4)tYT, tf (t) (t)dt.積分變量代

19、換法常見的有：-ax-eb.5)對三角函數(shù)有理式作萬能代換xtan 化為u的有理式,其中有dx2例3.1)2usin x2 , cosx1 u2計算下列不定積分：12 u 2 . u作萬能代換計算，時常較繁，不要濫用4)例4.1)2)2xdx; 2)1 xdx:23,(9 x )；3)dxx3 x2 a2(”X解題提示：dx ; 5)3x); 5)e 2xdx ; 6)dx1 sin x cosx(x2xdx1)2、x2 2x2x (x 1)21，作代換xsect.5.分部積分法：udv uvvdu.常見類型有：P(x)sin(ax b)dx, P(x)cos(ax b)dx,P(x)eaxd

20、x.取 u P(x).例5.xn lnP(x)dx,xn arctanxdx等.取 dvsec xdx, e sinbxdx,計算下列不定積分：eaxcosbxdx.1)(x2 x) sin2 xdx; 2)(x2x 1)exndx.用分部積分法“回歸”xdx;3)警x;5)xeax cosbx dx;6)ln x ,2 dx; (1 x)2ln cosx ,2 dx;cos x7) x sin2xdx；8)1 cos2xarctanx dx;x2(1x29)sinln x dx.例6.求a2 x2dx. 解題提示：1) 令x asi nt.2)分部積分回歸法.2x .例7.求(1 x2)2d

21、x.解題提示：1)分部積分法：(12x2 xdx2d12)令 x tant.例8. 求解題提示:例9. 求xxe .dx.ex 1 令 t .ex 1 . tan2 xsecxdx.解題提示：1)分部積分回歸法.2 sin x2八2) tan x secxdx3 dxcos xsin xd Acos x注：湊微分是計算積分的首要過程算，是積出積分的重要一環(huán)；分部積分法是過度性的主要手段 ，靈活多變，初學(xué)時不易掌握 出”，不常見的積分題,計算當(dāng)中會出現(xiàn)“恰好”1 In x ,2dx.(x In x)1 In x Jn x、x1 x (In x x),是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，第一換元法是復(fù)合求導(dǎo)的逆運(yùn),是

22、計算積分的一種初等函數(shù)并不是都能“積得“乘積”求導(dǎo)的逆運(yùn)算 .切記： 之處.例10. 求解題提示:1)2)分項(xiàng)(x2x1 In xIn x)2例11.1 sin x例12.(xIn x)2x In x-z (x ln x). (x In x)exdx.1 cosx沁 exdx1 cosxexd ta n 仝22 x x e求2(x 2)22 xx e , 2dx(x 2)21 sin xexdx2cos -2xxe tan2C.dx.x2exdx 22 x x ex 22 x x e6.特殊積分舉例例13. 求解題提示：例14. 求解題提示:例15. 求22)x例17.xex2 x、x e )

23、dxx2exxexdxex(x 2)ex2dxx 6x 5x 3_x2 6x 5 x 54x 1x2 4x 8dx.4x 1x2 4x 8x(x411)x(xna)dx4 x512 x14 x1dx解題提示:例16. 求解題提示:1)1 2x2 1x 2xdxsin x解題提示：1)例18.例19. 求2(2x4xx24)89(x 2)24-(a xx2 -4 xnxnx-dx.11x72 1x x(x -) _x_ ¥ x(x2)a).丄)x1 2 (x )x(x11 sin x1 si nx2 cos.化分母為單項(xiàng)x用此法可計空dx等. sin xcosxasin xdbcosx

24、a cosxbsin xasin xbcosxasin xbcosx解題提示:dxdx,1 cosx sin xdx . a si nx bcosxIn | a sin x bcosx | C ,a si nx bcosx.32.sin x cos xdx.解題提示：sin m x cos2n 1 xsin mx (1 sin2 x)n(sin x).例20.求3cos x I2 dx.sin x解題提示：m2n 1cos x sinxcosm x (1 cos2 x)n (cosx)例21. 求cos xdx.解題提示：1)降冪法cos4x 1(1 cos2x)22)分部積分回歸法，建立遞推

25、公式：n n 1cos xdx cos xd sinx2 sinx cosn 2 xdxncos2 xdx(n1) cosn xdx,1xn 1ncos2 xdx.nsin xcosn 1 x (n 1)sin xcosn 1 x (n 1)n i 1.ncos xdx sin xcos n1 cos x ,例22.求dx .3 sin x解題提示:13 sin2 x13cos2 x 4si n2x廠(ta n x)3 4ta n x四定積分與廣義積分的計算1.設(shè)2.牛頓一萊布尼茲公式f (x)在a, b上連續(xù),且F (x)baf(x)dx定積分的分部積分公式設(shè)u(x),v(x)在a,b上連續(xù)

26、，則有bu(x)dv(x)af (x),F(x)則有a F(b)F(a).u(x)v(x)】bbv(x)du(x).a3.定積分的換元法設(shè)f (x)在a, b上連續(xù), x (t)在a,b上變化,且x (t)在 ()a, b af(x)dx,上單值連續(xù)可導(dǎo)，當(dāng)t在, )b,則有上變化時例23.計算下列定積分：1)4 ta n2xdx；2)0dx1 x 1 ln 2 x1 23) ox arctanxdx; 4)2I例 24.計算x4 4 x2dx.0解題提示:1)令x 2si nt.2)記 In02sinn1例25.計算x(1解題提示：令x2xdx2 cosn xdx ,貝V有 I0342x )2dx.sin t.例26.計算 4ln(10tan x)dx.解題提示：令x 4t.例27.已知f (x)sin (x1)2,且 f (0)0,10 f(x)dx.解:0 f (x)dx xf (x) 01 2o xsin(x 1) dx10(1x) si n(x 1)2dx10xf (x)dx1 2osi n(x 1)2dx-cos(x2f (0): xsi n(x 1)2dx