數(shù)學(xué)必修四教學(xué)建議

1、問題情境問題情境學(xué)生活動學(xué)生活動意義建構(gòu)意義建構(gòu)數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用弧度弧度周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象任意角任意角三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)線三角函數(shù)線同角三角函數(shù)關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式三角函數(shù)圖象性質(zhì)三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用（1）任意角、弧度）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化的互化（2）三角函數(shù)）三角函數(shù) 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義弦、正切）的定義借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（/2, 的正

2、弦、余弦、正切），能畫出的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖象，了解三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性的周期性借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2，正切函數(shù)在（正切函數(shù)在（-/2，/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）軸交點(diǎn)等）1蘇教版的引言蘇教版的引言提供背景：提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動是一個簡單又基本的例子圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動是一個簡單又基本的例子提出問題：提出問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周

3、期性用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期性運(yùn)動？運(yùn)動？明確任務(wù)明確任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型教學(xué)的起點(diǎn)是教學(xué)的起點(diǎn)是：對周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）對周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究研究教材的定位是教材的定位是：展示對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究展示對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程（思維）過程三、本章內(nèi)容的定位案例：任意角三角函數(shù)案例：任意角三角函數(shù)實(shí)際問題實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題已知已知 f(1)3，f(37)?“周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)

4、周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)”xyO425813 對于對于 ，如果存在一個非零常數(shù)，如果存在一個非零常數(shù) T，使得定義域內(nèi)的每一個，使得定義域內(nèi)的每一個x，都滿足：，都滿足： f(xT)f(x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)叫做周期函叫做周期函 數(shù)數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期叫做這個函數(shù)的周期函數(shù)函數(shù)f(x)xyO4258xyO425 注：注： 定義域向數(shù)軸兩端無限延伸；定義域向數(shù)軸兩端無限延伸； 周期有無數(shù)個周期有無數(shù)個 不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期8最小正最小正周期；周期； 三角函數(shù)的周期性：三角函數(shù)的周期性： f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx tan(

5、k )tan ，kZ最小正周期：最小正周期：2 最小正周期：最小正周期：2 最小正周期：最小正周期： T4 T4 T4 T例例 求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期： f(x)sin x； g(x)sin( x )； h(x)2sin( x )； f(x)Asin( x )，其中，其中A0， 04 214 21 2| 221問題問題終 邊 的 的終 邊 的 的位置關(guān)系位置關(guān)系對 稱 的 位對 稱 的 位置關(guān)系置關(guān)系三角函數(shù)值之間三角函數(shù)值之間的關(guān)系的關(guān)系誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式（1）要突出數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用章）要突出數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用章引言提供的情境，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)習(xí)引言提供的情

6、境，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)習(xí)函數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，的經(jīng)驗(yàn)，自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的活動，使自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的活動，使學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識，在此基礎(chǔ)上，要充分注意運(yùn)用三角函數(shù)模數(shù)的意識，在此基礎(chǔ)上，要充分注意運(yùn)用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的全過程型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的全過程例例1在圖中，點(diǎn)在圖中，點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方

7、向，若已知振幅為取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計(jì)時始計(jì)時 （1）求物體對平衡位置的位移）求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間和時間t(s)之間的之間的函數(shù)關(guān)系；函數(shù)關(guān)系；（2）求該物體在）求該物體在t5s時的位置時的位置l用什么模型描述物體的運(yùn)動？用什么模型描述物體的運(yùn)動？l如何確定模型中的參數(shù)？如何確定模型中的參數(shù)？l已知條件已知條件“物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計(jì)時物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計(jì)時”怎樣應(yīng)用？怎樣應(yīng)用？例例1在圖在圖1中，點(diǎn)中，點(diǎn)O為

8、做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計(jì)時始計(jì)時回顧說明：回顧說明：n注意簡諧振動中的振幅、周期、頻率、初注意簡諧振動中的振幅、周期、頻率、初相的意義；相的意義；n本題的難點(diǎn)在于初相的確定；本題的難點(diǎn)在于初相的確定；n書寫函數(shù)解析式時，需要根據(jù)自變量的實(shí)書寫函數(shù)解析式時，需要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，書寫定義域際意義，書寫定義域. .圖2例例2如圖如圖2，某地一天從，某地一天從614時的

9、時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x )b（1）求這一天該時段的最大溫差；）求這一天該時段的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式）寫出這段曲線的函數(shù)解析式例例3一半徑為一半徑為3m的水輪如圖的水輪如圖3所示，水輪圓心所示，水輪圓心O距離距離水面水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（圖中點(diǎn)從水中浮現(xiàn)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)算時間）開始計(jì)算時間（1）將點(diǎn)）將點(diǎn)P距離水面的高度距離水面的高度z（m）表示為時間）表示為時間t(s)的的函數(shù)；函數(shù)；l時刻時刻t時，物體位于何處？時，物體位于何處？l時刻時刻t時，物

10、體距離水面的高度如時，物體距離水面的高度如 何計(jì)算？何計(jì)算？l如何確定如何確定 ？（2）點(diǎn)）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多少時間？第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多少時間？例例4海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深洋下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深）選用一個三角函數(shù)來近似

11、描述這個港口的水深和時間的和時間的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時的水深的近似數(shù)，并給出在整點(diǎn)時的水深的近似數(shù)值值(精確到精確到0.001)；為什么是“12”？為什么是=0？（2）一條貨船的吃水）一條貨船的吃水深度深度（船底與水面的距離）為（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？多久？（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的

12、安全間隙（船底的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？多久？（3）若船若船的吃水深度為的吃水深度為4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m，該船，該船在在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？水域？如何求交點(diǎn)坐標(biāo)？ 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變

13、化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著十分重周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用要的作用 具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的相應(yīng)的“散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖”，通過觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行函，通過觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行函數(shù)擬合而獲得具體函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)擬合而獲得具體函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題 實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)因此往往需實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)因此往往需要使用要使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器計(jì)算機(jī)或計(jì)算器平面向量平面向量幾何表示幾何表示向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算加法加法數(shù)乘數(shù)乘數(shù)量積數(shù)量積向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用背景背景符

14、號表示符號表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示減法減法 小狗向西北方向逃竄，如果金錢豹向正東小狗向西北方向逃竄，如果金錢豹向正東方向追方向追請問請問: : 金錢豹能追上小狗嗎？金錢豹能追上小狗嗎？ 在四臺發(fā)動機(jī)的推動下，返回艙的速度由在四臺發(fā)動機(jī)的推動下，返回艙的速度由8米秒米秒迅速下降到迅速下降到1米米秒秒，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上 著陸場總指揮隋起勝從耳機(jī)中聽到了費(fèi)俊龍的聲音：著陸場總指揮隋起勝從耳機(jī)中聽到了費(fèi)俊龍的聲音：“我是神我是神舟六號，我已著陸舟六號，我已著陸” 費(fèi)俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手費(fèi)俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手返回艙內(nèi)柔和的返回艙內(nèi)柔和

15、的燈光，映著他們的微笑這一刻，距他們離開大地?zé)艄?，映著他們的微笑這一刻，距他們離開大地4天又天又19個多小個多小時，他們的總行程為時，他們的總行程為325萬余公里（注：費(fèi)俊龍萬余公里（注：費(fèi)俊龍 身高身高1.68米）米）神舟六號載人飛船現(xiàn)實(shí)生活中，還有哪現(xiàn)實(shí)生活中，還有哪些量只有大小沒有方些量只有大小沒有方向？哪些量既有大小向？哪些量既有大小又有方向？又有方向？ 距離、身高、時間、質(zhì)量等距離、身高、時間、質(zhì)量等位移、力、速度、加速度、電場強(qiáng)度等位移、力、速度、加速度、電場強(qiáng)度等既有大小又有方向的量叫向量. 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大

16、?。淮鷶?shù)運(yùn)算、比較大??；向量的定義：區(qū)別：區(qū)別：數(shù)量向量向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. |F| |s|cosABOsFabW|F| |s|cos|a| |b|cos|F| |s|cosABOsFabW|a| |b|cos|F| |s|cos對于兩個非零向量a和b，作 a， b，則AOB(0180)叫做向量a與b的夾角OAOB數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b，即a b|a| |b|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0問題：已知向量a與b的夾角為，|a|

17、4，|b|3，分別在下列條件下求a b：(1)45；(2)90；(3)120 問題：已知|a|4，|b|3，分別在下列條件下求a b：(1) ab ；(2) ab (1)當(dāng)0時，a與b同向，此時，a b|a| |b|；(2)當(dāng)180時，a與b反向，此時，a b|a| |b|；(3)當(dāng)90時，則稱向量a與b垂直， 記作ab此時，a b0；(4)a a|a|2或|a|a a問題：問題：向量a與b的夾角為45 ，|a|4，|b|3，試求：a b，b a，(2a) b，a (2b)和2(a b)運(yùn)算律(1) a bb a；(2) (a) ba (b)(a b)a b；(3) (ab) ca cb c思

18、考：向量的數(shù)量積是否滿足結(jié)合律？思考：向量的數(shù)量積是否滿足結(jié)合律？向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征通過向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問征，又有幾何特征通過向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁同時，向量也是解決許多物理問題合的橋梁同時，向量也是解決許多物理問題的有力工具的有力工具一、向量在物理中的應(yīng)用一、向量在物理中的應(yīng)用例如圖所示，無彈性的細(xì)繩例如圖所示，無彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分的一端分別固定在別固定在A，B 處，同質(zhì)量的細(xì)繩處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC 下端系著一下端系著一個

19、稱盤，且使得個稱盤，且使得OBOC，試分析，試分析OA，OB，OC 三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大 受力分析解解 設(shè)設(shè)OA，OB，OC 三根繩子所受的力分別為三根繩子所受的力分別為a，b，c，則，則abc a，b的合力為的合力為cab，c|c| 如圖，在如圖，在OBCA中，中，因?yàn)橐驗(yàn)镺B OC，所以所以| OA| OB， | OA| OC即即ab，ac，所以細(xì)繩，所以細(xì)繩OA 受力最大受力最大 二、向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用二、向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例例2 用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角已知：如圖，線段已知：如圖，線

20、段AB為為 O的直徑，點(diǎn)的直徑，點(diǎn)C為圓周為圓周上異于上異于A、B的任意一點(diǎn)求證：的任意一點(diǎn)求證：ACB是直角是直角 A BCO即即 OC AB= 0，所以所以O(shè)C AB 即即 OA(OCOB) = 0 ， OB (OCOA) = 0例例3 已知：已知：OABC， OB AC 求證：求證： OC AB 證：證： 因?yàn)橐驗(yàn)?OABC， OB AC 所有所有 OABC = 0 ， OB AC = 0 得得 OC (OBOA) = 0，例例3 已知：已知：OABC， OB AC 求證：求證： OC AB 你能否畫出一個幾何圖形來解釋例你能否畫出一個幾何圖形來解釋例3？你知道向量等式你知道向量等式 O

21、ABC = OA AC給出的是給出的是什么幾何關(guān)系嗎？什么幾何關(guān)系嗎？C C + S S + C2 T2 T T + S2 C C + S S + C2 T2 T T + S2 本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導(dǎo)出來本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導(dǎo)出來的，化歸思想是推導(dǎo)這些公式的主導(dǎo)思想在教學(xué)中，的，化歸思想是推導(dǎo)這些公式的主導(dǎo)思想在教學(xué)中，不論是在推導(dǎo)公式時，還是在應(yīng)用公式時，都應(yīng)該自始不論是在推導(dǎo)公式時，還是在應(yīng)用公式時，都應(yīng)該自始至終地貫徹這一思想至終地貫徹這一思想如圖，有一個小山坡如圖，有一個小山坡OA，OA的長度為的長度為a，ACOC，AOC15，求坡腳線，求坡腳線OC的長度？的長度？OAC如圖，如圖，OCOAcos15a cos15.問題問題1：你會算：你會算cos15嗎？嗎？問題問題2：還有其它方法算：還有其它方法算cos15嗎？嗎？如圖，向量如圖，向量a(cos45，